|
в) векторнинг берилган нормасига мосланган бошқа ҳар қандай
нормасидан катта эмас.
И сбот. Норма таърифининг 1) шартини текширамиз. Фараз қи-
лайлик, А т^=0 бўлсин. У ҳолда, доимо Ау
ф.
0 шартни қаноат-
лантирувчи
у
вектср топилади. Энди
у
векторга кўра
х —
_ 1!>'Ц
векторни қараймиз. Вектор нормаси таърифининг 2) шартидан ||х|| =
= Л = -.||у [|= 1
келиб чиқади,
А х ф
0 бўлганлигидан 1)
шартга кўра
\\Ах\\
> 0 демак,
|[А|| = шах ||Ал:|| > 0
бўлади. Агар А = 0 бўл са, у ҳолда ||А[| = т а х [|0-д:|| = 0 бўлади.
117
ц
=1
115
www.ziyouz.com kutubxonasi
2
) шарт >;ам осонгина текширилади:
||аЛ|| = шах (|аЛл:|| = шах |а| •
\\Ах\\
=
|а|
шах
\\Ах\\
=
|а(
• ||Л ||.
1Г'~|1=1
1И1=1
|"||=1
Энди 3) шартни текширамиз. Юқорида айтганимиздек, хар қан-
Дай Л +
В
матрица учун > ар доим шундай х (0) вектор топиладики
унинг учун ||л (0)|| =
1
ва
||Л +
В\\
= шах || (Л +
В)х\
| = ||(Л + £ ) х (0)||
1 И 1 = 1
тенгликлар ўринли бўлади.
У ҳолда
||Л +
В\\
= ||Л х (0) +
В х ^
|| < ||Л х (0)|| + ||5 х (0)|| <_шах ||Лл|| +
+ га ах||5х|| = ||Л|| + ||5||.
1
И
1
=
1
'
Норма таърифининг 4) шартини текширишдан аввал, мосланганлик
шарти (7.8) ни текширамиз.
Агар х =
0
бўлса, (7.8) нинг бажарилиши кўриниб турибди.'
Фараз қилайлик, х +
0
бўлсин. У қолда у (0) = -^ -
векторни
_
.
1М1
оламиз. ||у(0)|| =
1
бўлганлиги учун
||Лх|| = ||Л (||х||у(0))|| = ||х|| • ||Л у(0)|| < ||х|| шах ||Лу1 = ||Л|| •
\\х\\.
ПЯ1 = 1
Энди 4) шартни текширайлик. Худди аввалгидек
АВ
матрииа
учун шундай х (0) топиладики, у қуйидаги тенгликларни қаноатлан-
тиради:
| + (0)|| = 1 ва ||Л 5 х (0)|| = ||Л 5|
У ҳолда
\\АВ\\
= ||Л ( 5 х (0))|| < ||Л|| • ||£ х (0)|| < ||Л|| •
\\В
\1
• Р (0)|| = ||Л|| •
\\В\\.
Ниҳоят, теореманинг охирги шартинигина текшириш қолди. Фа-
раз қилайлик, ||Л|| матрицаиинг векторларнинг берилган нормасига
бўйсунган нормаси бўлиб, ||Л|| — векторларнинг шу нормаси би-
лан мосланган ихтиёрий нормаси бўлсин. У вақтда, маълумки, Л
матрица учун
||х (0)|| = 1, ||Л|| = ||Л х (0)||
тенгликларни қаноатлантирадиган х (0) вектор топилади.
Лекин
||Л х (
0
)| | < | | Л | | | | х (0)|| = ||ЛЦ,
демак,
1И11<1Й|.
Шу билаа теорема тўлиқ исботланди.
.
116 1
www.ziyouz.com kutubxonasi
Энди матрицанинг векторларнинг юқорида киритилган нормала-
рига бўйсунган нормаси кўринишларини келтирамиз. Улар мос ра-
вишда қуйидагилардан иборатдир:
П
ЦЛЦ! = ш а х 2
|
а 1к\
( к у б и к н о р м а ),
(7 • 1 0 >
||Л ||8 = ш а х 2
1^*1
(о к т а э д р и к
н о р м а ),
1<к<П1=1
( 7 . 1 1 )
1И11з = ||~ !1 =
УГ^
(с ф е р и к н о р м а ).
( 7 ■ 12 >
Бу ерда
А'А
матрицанинг энг катта хое сони.
Э н д и
(7.10) — (7.12) нормаларнинг мос разишда ( 7 . 4 ) — ( 7.
6
>
нормаларга бўйсунган_нормалар эканини кўрсатамиз.
Ҳақиқатан ҳам,
А х
вектор қуйидаги
П
П
Л х =
( 2
а шх к,
• • • .
2
а пкх кУ
к=
1
к=
1
кўринишга эга бўлганлиги учун вектор нормасининг таърифига;
кўра
[[ЛЦ, = т а х
к=
1
< т а х
I к =
1
1
^ *
1
- N
в а а г а р [[ЗсЦ! = 1 б ў л с а , у ҳ о л д а
||Л
]]1
= ш ах||Л х
||1
< шах 2 !а «1-
11
*
111=1
•
• -
(7.13>
I
к
= 1
Фараз қилайлик, 2 I
а
1
к\
максимумга
I
= у бўлганда эришилсин..
к=1
У ҳолда
3?°) = (
31
§п
а п ,
31§па;-2, . . . . 51§па;-яУ
вектор учун ||л
;(0)[]’1
=
1
ва шу билан бирга
I Ф
у бўлганда
п
п
п
п
2
< 2 1а «! < т ғ 2
\а1к\
= 2 1а ;*1
к= 1
к=1
‘ к=1
к— 1
тенгсизликлар бажарилиб,
I —)
бўлганда эса
п
п
п
2
а )ъх Ч
=
2
а /*
8
^ пад! =
2 1
а д!
к—
1
тенглик бажарилади.
к=1
к=
1
117
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу ердан
||А>
с
<0>|[1 = т а х
1
| А = 1
^
а ш ^ ]
!2 к * 1 - т а х 2 м
.
(7.14)
*=
1
£=1
.Демак,
1И1К = = т а х
\\Ах\\г
> ||Лх<0>[[ = т а х
I-
11
^
111=1
1 < ;< п
к
= 1
Қуйидаги
Чк\
И Н
1
< т в х
ва [ И
111
> т а х
6= 1
1
к
= 1
тенгсизликларни таққсслаш айтилган тасдиқни исботлайди.
.
Энди (7.11) тенгликпинг тўғрилигини кўрсатамиз.
[|лс
[[2
= 1
деб олайлик, у ҳолда
':!И*1|и
1=1
а 1к*к
к=
1
п
п
: 2
2
М - К
1
< ш а х
( 2 м
п
т
*=1
к=
1
к
/=1
к~
1
=
т *а х 2 1 а «!-
N
/=1
Фараз қилайлик, т а х
га ^ = / бўлганда эришилсин. Бу ер-
к
1=1
.да л:<0> = (лс<°>, л^°>.............
х (п0))
векторни шундай танлаймизки
к ф ]
■бўлганда л:^0* =
0
бўлиб,
х (0)
=
1
бўлсин.
Кўриниб турибдики, ||
х
<0)||2
=
1
ва шу билан бирга
и ^ м
1 | . - 2
- 2
1=1 к = 1
1=1
а и \
= шах 2 1аи1-
к
1=1
.Демак,
-яъни
гнах ||Л
а
-Ц
2
= [ | Л
а
<°>||2
= т а х ^ |а«[.
1 М Ь = 1
*
1 = 1
п
||Л
||2
= т а х Т М
.
к
1=1
Ниҳоят, (7.12) формуланинг ўринли эканлигини кўрсатамиз.
Фараз қилайлик, [|х
|[3
= 1 бўлсин. Сферик норманинг квадрати скал-
яр кўпайтма билан устма-уст тушганлиги учун ва скаляр кўпайт-
манинг хоссасига кўра
|[Л
а
||° = (
А х
,
Ах)
=
(х, А'Ах).
п
п
118
www.ziyouz.com kutubxonasi
А'А —
манфий бўлмаган симметрик матрицадир (агар барча
х
лар учун
{Вх, х)
> 0 бўлса,
В
симметрик матрица
манфий бўл-
маган матрица
дейилади). Чизиқли алгебра курсидан маълумки,
бундай матрицаларнинг барча хос сонлари манфий эмас. Фараз қи-
лайлик,
> . . . >
1п
лар
А'А
матрицанинг хос сонлари бў-
либ,
х {1\ х {2\ . . . ,х {п)
уларга мос келадиган ҳақиқий ортонормал-
хос вектор бўлсин. Агар ||х||, = 1 шартни қаноатлантирувчи х век-
торни хос векторлар бўйича ёйсак,
х = схх {Х)
+
с
2
х
{2)
. . . +
спх {п),
у ҳолда
с\
+
с\
+ . . . +
с\
=
1
тенглик ўринли бўлади ва
\\Ах\\2
3
=
(х, АА'х) =
( с + (1> + . . . +
спх {п),
+ . . . +
+ ХяС„х
(»0
= Х
+ 2
+ . . . +
\ пс2
п
+
\ { с \
+ . . . +
с2)
= V
Энди л = х (1> деб олсак,
||Л х (1>||2 = (х (1>, А М * (1>) = (В » , М (1>) = ^ .
Ш у билан учинчи тасдиқ ҳам исботланди.
Векторлар ва матрицалар кетма-кетликларининг яқинла-
шишлари.
Фараз қилайлик,
х {к)
=
(х[к), х {к),
. . . ,
х {к)У (к =
1, 2, . . .)
векторлар кетма-кетлиги берилган бўлсин. Агар
п
та чекли
,Х; = П
т х\к) ( 1 = 1 , п)
к->оо
лимитлар мавжуд бўлса, у ҳолда х = ( + ,
х 2,
. . . ,
х п)'
вектор
{ х {к)} векторлар кетма-кетлигишнг лимити
дейилади ва бу
кетма-кетликнинг ўзи
х
векторга яқинлашади дейилади.
Шу каби
А<*> =
[а\к)] (I, ] = \ТгЦ к =
1
,
2
, . . . )
матрицалар кетма-кетлиги берилган бўлиб,
п
2
та й+ = Нш
а {} )
ли-
к~+со
митлар мавжуд бўлса, у ҳолда
А =
[а+] матрица
(А{к)) матри-
цалар кетма-кетлигининг лимити
дейилади.
Бу таърифга кўра, агар матрицалардан тузилган чексиз қа-
тор қисмий йиғиндилари кетма-кетлигининг лимити
мавжуд
бўлса, у ҳолда бу қатор яқинлашувчи дейилади. Бу лимит бе-
рилган қаторнинг йиғинднси дейилади.
,
Кўриниб
турибдики, матрицали қаторнинг
яқинлашувчи
бўлиши учун матрицанииг мос равишдаги элементларидан ту-
зилган барча
п2
та қаторнинг яқинлашувчи бўлиши зарур вз
етарлидир. Шу билан бирга бу қаторларнинг йиғиндилари бе-
Do'stlaringiz bilan baham: |
