|
шартларни қуйидаги кўринишда ёзиб олиш мумкин:
? \
г 1
г „
а " ~ ^ \
+
а » Т ^ \
+ • • • + + « ^ 7 +
+
0
-
1
,п+\
=
0
(I
=
1
,
2
. , . ,
п).
Буни (6.1) система билан солиштирсак, берилган системанинг
ечими
эканлиги келиб чиқади. Бу ечимни топиш учун
пъ
+
« 2
та кў-
пайтириш, у (
2
д
3
—
« 2
—
п)
та қўшиш,
п
та бўлиш,
п
та илдиз
чиқариш амалларини бажаришга тўғри келади.
Юқорида келтирилган жараён барча матрицалар учун ҳам қо-
ниқарли ечимни топиш учун имкон беравермайди. Бунинг асосий
сабаби (
6
Д) рекуррент муносабатнинг турғун эмаслиги бўлиб, б у
нарса г>
1
. г>2, . . . ,
ъп+\
векторлар системасининг ортогоналлигиии
бузади. Аниқроқ натижага эришиш учун қуйидагича йўл тутамиз:
110
www.ziyouz.com kutubxonasi
{а ь
у ) =
0
, / =
1
,
2
,
, «, шартни қаноатлантирадиган у*=—
*=(У
1
....................
!)' векторни
(г
+1
ў
" = 2
йР }
(б -8>
/ = 1
кўринишда излаймиз. Ушбу
{аь
у) = 0 ( / ' = 1 , я) ортогоналлик
шартларидан
ларга нисбатан қуйидаги тенгламалар системаси
келиб чиқади:
га
+ 1
.
2 а ;(+- ?/) = 0 (/ = 1 ~ ) .
(6-9)
1=1
Бундан ташқари у векторнинг
{п
+ 1)-координатасининг бирга
тенглиги яна бир
2 ^ ; - " + 1
=
1
(бЛ 0)
/=1
тенгламани Геради. Бу тенглама (
6
.
8
) вектор тенгликнинг коорди-
наталарда ёзилган охнрги тенгламасидир.
Агар ҳисоблашлар яхлитланмасдан олиб борилса, у ҳолда / <
< у бўлганда
(аь,
бўлганлиги учун (6.9) — (6.10) тенгла-
малар системаси қуйидаги кўринишга эга бўлади:
{ ^ ( £
1
, ®
1
) =
0
, __ _
^ ) + ^ { а 2,
-^) =
0
,
— —
-
-
(6Л1>
^ 1
{ а п,
^ 1) +
^ 2 {а п,
^г) + • • • +
а п { а п ,
+ ) — 6>
п
+ 1
+ <^
2
+ , п
+1
+ • • • +
1
+
1
Т
1
ц
+Ь
п
+ 1
=
1
.
Кўриниб
турибдики, бу системанинг ечими
2Г(о) = (
0
, ■. •
0
, +Г+
1
,
п + \ У
вектордан иборатдир.
П
Агар ҳисоблашлар яхлитлаш билан олиб борилган бўлса,
у
ҳолда (
6
.
1 1
) системанинг матрицаси кичик бўлса-да, лекин нол-
Дан фарқли элементларга ҳам эга бўлади. Ҳосил бўлган системани
Са + Ш = £
(
6
.
12
)
кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда £ = (0, . . . .
0
, 1)' ва С (
6
.
1 1
)
системанинг матрицаси ҳамда
п
0
(а и
Т)2)
(а.и ю
3) . . • (+ - ?я
+ 0
0
0
(а 2, ®8)._. • ( + , ^ + о
0
0
0
(
(
+ О
(0
0
0
0
111
www.ziyouz.com kutubxonasi
Дастлабки яқинлашишни
деб олиб, навбатдаги
яқин-
лашишларни
са^+ъ
+ £Ю<*> =
£
(6.13)
итерацион жараёндан аниқлаймиз.
Бу муносабатни қуйидаги
2
(к+
1
)
= _
+ с - 1
Т
(6.14)
кўринишда ёзиш қулайроқдир. £> матрицанинг нормаси кичик бўл-
ганлиги учун
С~Ю
матрицачийг нормаси ҳам кичик бўлади. Шу-?
нинг учун ҳам бу итерациоя жараёндан (
8
-§ га қ.) топилган кет-
ма-кет яқинлашишлар тез яқинлашади. Бу усул ёрдамида ҳисоблаш
хатосининг таъсирини камайтириш мумкин.
М и с о л. Қуйидаги тенгламалар системаси
(
0,6*4 -р 0,3*2
0,4лгз = — 1,
| — 0,2*^ + 0,7*2 — 0,2*з = 0,
'
I 0,1 *1 — *2 + 0(4*з
ортегоналлаштириш методи билан ечилсин.
Е ч и ш. (6.2) формулага кўра
= (0,6; 0,3; 0,4; 1)''
•
Ц 1
« 1
и \
1,1 ~
у
~ /0 ,3 6 + 0,09 + 0,16 + 1 ~ 1,26886 ”
= (0,47287; 0,23643; 0,31524, 0,78811).
Энди (6.4) формула ёрдамида
Х21 = — (а2,
Иг)
= — 0,00788
ви топамиз, кейии (6.5) дам
к
= 1 бўлгапда
й 2= а 2 — {а2,
й.)
у~=
(-0,20373; 0,69814; — 0,20248; — 0,00621)' ни ҳосил
қи-
ламиз. Бундан
ц
2
=
II
2
II',
_ и2
~
0,75495
= (— 0,26986; 0,92475; — 0,26820; — 0,00823).
Энди скаляр кўпайтмаларни ҳисоблаймиз:
(а3, + ) = — 1,24521;
(а3,
Ғ2) = — 1,04667.
(6.5) формулада й = 2 деб олиб
и3
ва в3 лар учун қуйидагиларни ҳосил қила-
миз:
йз
= а3 —
(й3,
(а3,
Ъ2)
Ў2 = (0,40600; 0,26232; 0,51152; — 0,52725)'»
%
= 0 87954 = (°,4616°; 0,29825; 0,58192; — 0,59946)'
Худди шу тарзда қуйидагиларни топамиз:
К ,
1
Қ) =0,78811; (а4,
Ъ2)
= — 0,00823; (я4,
Ў3)
= — 0,59947,
й4 = ( — 0,09817; — 0,00007; 0,09819; 0,01944)', ||й 4|| = 0,10479.
Ниҳоят,
«£ = (— 0,93683; 0,00066; 0,93702, 0,18551)'.
112
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу вектор компоненталарининг охиргисини 0,18551 га бўлиб, қуйидагив
такрибий ечимни '.топамиз:
х^
= — 5,05002;
= 0,00356; х3 = 5,05105.
Буни аниқ ечим
х*
= — 5,
х* =
0,
х* —
5 билан солиштирсак, ортогонал-
лаштириш методи билан топилган ечймнинг аниқлиги нисбатан катта эмас-
лиги кўриниб турибди.
Бу ечимнинг аниқлигини юқорида айтилган усул билан орттириш мум-
кин, лекин биз бунга тўхталмаймиз.
7- §. ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРАДАН АЙРИМ МАЪЛУМОТЛАР
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини итерацион метод-
лар ёрдамида ечиш жараёнида биринчи навбатда векторлар ва мат-
рицаларнинг нормалари ҳамда лимитлари тушунчаларига эҳтиёж,
туғилади. Шунинг учун ҳам бу масалаларга алоҳида тўхталиб
ўтамиз.
В ек тор ва матрицаларнинг нормалари. Аввало вектор узун-
лиги тушунчасини умумлаштирувчи вектор нормаси тушунчасинж
киритамиз.
х
векторнинг нормаси деб қуйидаги уч шартни қано-
атлантирувчи ҳақиқий |]х|| сонга айтилади:
1) ||х|[ >
0
ва
х = 0
бўлгандагина ЦхЦ = 0;
2
) ҳар қандай_а сон_учун ||ал|| = |а| • ЦхЦ;
3)
\\х
+ у || < (|д:)[ + ||у|| — учбурчак тенгсизлиги.
.
Бу таърифдан норманинг қуйидаги хсссаси келиб чиқади:
1 Й Н (
ў
1 | | < 1 | * -
ў
1|.
(7.1>
Ҳақиқатан ҳам, 3) шартга кўра
1М1 = \\х--Ў + У11 < \& - У|| + !1ЎИ.
яъни
N - 11Ў11 <
\ \ Х -
ў[|.
(7.2):.
Шунга ўхшаш,
1М1 - 1Й| < !!Ў - *||
=■]\х — у\\
ёки
.
— (1М1 — Й 1 ) < 1 1 * — Ў11-
(7 .3 )
(7.2|_ва (7.3) дан эса (7.1) келиб чиқади.
х = (хи х 2,
. . . ,
х п)'
векторнинг нормаси тушунчасини фа-
Do'stlaringiz bilan baham: |
