|
ни берилган текисликка нисбатан акс эттириш қоидасига асосан
векторлар фазосини алмаштцриш хоссасига кўра шу ном билан
аталади.
102
www.ziyouz.com kutubxonasi
Р0
— ихтиёрий текислик бўлсин, Й/ орқали
Р
текисликка орто-
гоцал ва узунлиги бирга тенг бўлган вектор устунини белгилай-
миз. Энди иХтигрий
г = х - \ - у
(5.1)
некторни оламйз бу ерда
х
вектор га векторга ортогонал, яъни
(х ,
чю) =
0
бўлиб,
у
эса
чю
га пропорционалдир: у = ? а ® (а— их-
тиЗрий сон).
г
ни
Р
текислигига нисбатан акслантириш натижаси-
да ҳосил бўлган
г {
вектор
2
, —
х
—
у
кўринишга эгадир.
г
ни
57
га ўтказадиган акслантириш матридасини
V
деб белгиласак, у
ҳолда
Цг = г х
бўлади. Бу матриганинг кўриниши
Ц = Е — 2чю чю*
(5.2)
формула билан аниқланади. Ҳақиқатан ҳам,
С1~г
=
(Е
—
2чю
и>*)г
= г —
2
тю тю*{х
+
ачю)
= г —
2чю т*х
—
—
2
а т и г1Ю *тю
= 2 —
2а
чю
=
X
+
лт ю
—
2а
чю =
х
—
аву
=
г
, .
Чунки,
1ю ча*х = ®)(х, чю)
= 0 ва
чю чю*чю
=
чю (т, чю)
=
чю
дир.
II-.
нинг унитар эканлиги ҳам осонгина текширилади:
11и* = (Е
— 2
1
Ю
чю*) (Е
— 2
чю чю*)
=
Е
—
4чю чю*
+
4т чю*чю чю* =
—Е
— 4
чю чю*
+
4т (чю*чю чю*) = 4
— 4
чю чю*
+ 4
чю чю* = Е.
Берилган матрицани ўнг учбурчак матрицага келтириш учун
акслантириш матрицаси
и
дан эффектив равишда фойдаланиш
мумкин. Буни кўрсатиш учмн, аввало, б/ матрица ёрдамида их-
тиёрий
а
векторни бирлик е векторга ўтказишни, яъни
и
матри-
ца ва а ни
Оа =
ае
тенглик бажариладигап қилиб, аниқлашни кўриб чиқайлик. (5.2)ни
қуйидаги
2
(а, т)т = а
—
ае
(5.3)
еки уш оу
чю
=
Х(а
—
ае)
кўринишда ёзиш мумкин, бу ерда
1 = -^ ~ = г
2 (а , чю)
(5.4).
(5.4) ни (5.3) га :
қуиио,
ёки
2
(а, й а
—
а е )) Ча
—
о.е) = а — ае
[
2
|/|
2
(а,
а — а е
) —
1
]
(а — а е ) = 0
га эга бўламиз. X ни квадрат қавс ичидаги ифода нолга айланади-
ган қилиб танлаймиз. Бу эса |Х
|2
= ■
._ -_1-----= ни беради. Бу ер-
2 (а,
а
— а
е)
103
www.ziyouz.com kutubxonasi
да
а
сонни ҳам топиш керак. Уни шундай танлаймизкн(
(а, а
—
— а
ё)
>
0
бўлсин.
|а|
= /
(а, а)
деб олсак,
/
(а,
а — ае) = (а, а) — а (а, е) = |а[2 — ”а ( а / е ) =
= [а|2 — |а[
I
(а , 7) [
«> /=
= |а|2 — |а| [ (а~ ^)” [ е' ( - агга+ аге(«'"«) /
келиб чиқади. Агар
/
— е ,(-агга+аг£(~'~)) =
1
/
деб олсак, (а, о_—
ае)
албатта мусбат бўлкди. Бунинг учун
— агда + аг§(а,
е)
= тс, яъни аг^а =
—к
аг
§(а, 7)
деб олиш
керак. Натижада биз қуйидагиларга эга бўламиз:
(а, а — а е) = [а[2 + [а[ [ "(а, ва
|Я,р -- ------------ - .
_
_ 2 [ [ я|» + 1а|.|( в ,в)|]
Шундай қилиб, а_ва
е
_векторлар берилган бўлса,
II = Е —
—
да* матрица
Ца — а е
шартни қаноатлантириши учун
®) = М а — а е)> |а) = / ( а , а), агда = аг§(а,
е) —
тс,
Х==
/
_______
1
_________
2 [ М
2
+ |»|-1(7 ё) | ]
(5 .5 )
деб олиш керак. Агар тригонометрик функциялар билан иш кў-
риш мақсадга мувофиқ бўлмаса, а ни қуйидагича аниқлаш маъ-
қулдир:
а = [а[
еш^
= — [а[ <Уагей.е) =
|а[ •
.
|(«. е
)1
Энди ихтиёрий махсусмас комплекс қийматли
А
матрицани уни-
тар ва юқори учбурчак матрицалар кўпайтмасига ажратиш маса-
ласи қуйидагича ҳал қилинади.
Биринчи қадамда
а
ва
е
векторларни
а
(ап ,
а 2], . . . , а п])г,
е
— (
1
,
0
, . . . ,
0
У
каби олиб, а,
К, чю
ларни юқоридаги формулалар ёрдамида топамиз
ва (У, матрицани ҳосил қиламиз.
А
матрицани чапдан
га кўпайтирсак
Г а п
а < ! >
и 12
* • •
II
0
а<1>
и22
* * • « £ >
0
а < ] >
ип2
* * •
< 1
келиб чиқади. Кўрикиб турибдики, бу ерда а / / = а дир. Иккинчи
қадамда
104
www.ziyouz.com kutubxonasi
я — (0, 41>----- - л<|)); е='(0, 1,0.........0)'
пекторлар ёрдамида ё
/ 2
матрицани ҳосил қиламиз ва
ни чапдаа
£ /2
га кўпайтириб,
л
2
=
и 3А х =
£/2£Л д
«I?
а 12
. . а<2)
0
«8>
<
• * а 2л
0
0
4з2)
а <2)
• • ' а 3
п
•
о
0
. . а (2>
матрицани келтириб чиқарамиз. ё
/ 2
матрица
Г 1
0
0 . . . . 0
б
«8> «й>
• •
= Е
— 2
' ш ш *
=
0
«
з
(22) ^ з 2)
• • «й »
0
«й ? • • • «й»
кўринишга эга бўлганлиги учун Д
2
ва Д , матрицаларнинг бирин-
чи сатрлари устма-уст тушади. Б у жараённи давом эттириб,
п
— 1-
қадамда
Г а (п-_1)
а ц
а (л“ !) .
■12
*
а 1(«-!)
< -1)
1 —
= ё/„_! .
.
и 3и хА =
0
а (/г-П
а 22
•
а ( я - Ц
* •
а 2 ,я —1
« Й Г »
0
0 . . .
0
« й - 11
кўринишдаги матрицага эга бўламиз.
С1п~\
. . . ё
/ 2
ё/, кўпайтмаии
0
билан белгилаб, Д
„_1
—
С/А
ни ҳосил қиламиз, б у эса бизга
керакли ажратишни беради, яъни Д матрица //* унитар матрица
билан Д„_
1
юқори учбурчак матрицаларнинг кўпайтмасига тенг-
дир: Д =
и * А п-
1
.
Юқоридаги назарияга суяниб, акслантиришлар мегодининг ҳи-
соблаш схемасини берамиз. Фараз қилайлик, махсусмас комплеко
матрицали қуйидаги
А х = Ь
системани ечиш талаб қилинсин. Бу системанинг а<0), . . . . й/0)’
а(п
+ 1
устунли кенгайтирилган матрицасини Д
0
орқали белгилаб
оламиз:
Д 0 = (а<°), Ц ° ) , ---------- '«<°>. < ° |
1
).
бу ерда а<°> = (аи ,
а
п , . . . ,
а пк) { к =
1, я + 1),
Д матрицани
^А+1 = £4+1^й
{к
= 0, 1, . . . , я —2)
(5.6)
www.ziyouz.com kutubxonasi
қоидага кўра алмаштираверамиз, бу ерда
Ци С1г,
акслантириш матрицаларидир. (5.6) дан
а<*+!) =
( / =
1
,
2
, . . . ,
п)
. ,
и
п- 1
(5.7)
келиб чиқади. Ш матрицани тузаётганда
а
ва
е
векторлар сифа-
тида
а = а<°) = (а’и ,
а п
............
а
п1)', е = . (
1
,
0
, . . . .
0
)'
ларни олишни кўрган эдик,
а
ва
е
векторларнинг танланишига
кўра
а<:> =
1!1а\0')
(г =
1
,
2
.............я
+ 0
ва а*1) вектор а<'> = (а<}),
0
, . . . ,
0
)' кўринишга эга бўлиб,
г >
1
бўлганда бошқа а]') лар умумий кўринишдаги векторлардир.
Фараз қилайлик,
а<*> = ° ( г > / , / ==
1
,
2,
к)
влементларга эга бўлган Л* матрица тузилган бўлсин. У вақтда
А к+
] ни ^гузаётганда
а = (
0
, . . .
0
, а ^ 1А+1, я
<*|2.£+1
, . . . , ^
1
+х)
ва
е = (
0
, . . . ,
0
,
1
0
, . . . ,
0
)'
деб олиш керак. Бундан кейин тузилган
Ак+\ — Ук+\АЬ
шундай
хоссага эгаки, унинг элементлари г > / , / =
1
,
2
, . . . ,
к
-Ь
1
лар
уч ун а<*+*> =
0
бўлади.
Шундай қилиб,
(п
— 1)-қадамдан кейин ҳосил бўлган матрица-
нинг дастлабки
п
устуни юқори учбурчак матрицани ташкил
этади. Ш у билан бирга,
{Ах = Ь
сиетема унга эквивалент бўлган
қуйидаги системага келади:
а {и ~1)х г
+ а ^ - 1)* , + . . . +
а\п
п~1)х п
=
а[п-Ц,
а%~1)х ,
+ . . . +
а^-^х,,
=
а\п-Ц,
Бундан эса
+
а < " - ] ) х п =
а<»-1>п+1,
а&~1)хп ■а{п~1).
“ л . п + Г
х„
Хь
а,
( п -
1)
п
,
п
+ 1
а
( л - 1 )
*
ак,п
+ 1
р—к-\-\
а [ п ~ 1)
икр
Л
л - 1 )
акк
Do'stlaringiz bilan baham: |
