Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

лик 
п
= 0 да ўринли экан. Бундан ташқари, (4.12) га кўра.
т) < ^ - з ^ - < 5 , демак, лҳ (4.10) шарда ётади. Энди 
х и х 2,
. . , 
х т
қурилган, (4.10) шарда ётади ва улар учун
р(х,!+и х к) 
цк (к =
 0, 1, . . . , 
п
 — 1) 
(4.15)
тенгсизликлар ўринли деб фараз қиламиз. Индукция шартига кўра
х п
(4.10) шарда ётади, ср(х) оператор (4.10) да аниқланган, шу-
нинг учун ҳам 
х п+\
= <р(хл) ни қуриш мумкин. Сўнгра, (4.12) га.
кўра
р(хп+и х п)
< ?
р(хп, х п-х).
Энди (4.15) да 
к — п
 — 1 деб олиб, бундан
р Х +
1
, 
х п)
<
7
!<
7
Л
ни ҳосил қиламиз. Ниҳоят, х
„+1
нинг (4.10) да ётишини кўрса-
тиш қолди. Бунинг учун р(хп+
1
, 
х 0)
масофага бир неча марта
51
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

учбурчак тенгсизлигини қўллаймиз ва (4.15) дан фойдаланамиз:
Р
(Хп+1, Х0)
< р(Х„+Ь 
Хп) +р( Хп, Хп-\)
+
. . . 
+
р ( ^
1
, 
Х0)
<
<■»1^"+.'Ч^П-1+' • • • + Ч <7° <
< 8-
Энди {х„} нинг фундаментал кетма-кетлик ташкил этишлигини
кўрсатамиз. Ихтиёрий 
р
натурал сон учун (4.14) га кўра
Р(Хп+р, х п)
<
Р(Хп+р>
Л^п+р-0 + • • • +
Р(Хп+\> х ^
<
<
7 ]
д п + Р
~ 1 +
. . . +
т )
д п
Ч9Я( 
1 - . д р)
1
 ■
<
1 - д
еки
Р
(Хп+р, х п)
< у-у—
’Яп.
 
(4.16)
Бу тенгсизликнинг ўнг томони 
п
 ->
оо 
да нолга интилади. Демак,
{хп}
кетма-кетлик фундаментал бўлиб, 
X
фазо ёпиқ бўлгани учун
унинг лимити | = Нш 
х п
мавжуд.
П-+ оо
Масофанинг узлуксизлигидан фойдаланиб 
р(хп,
л
:0) < 8
тенг-
сизликда 
п - >
 
оо 
да лимитга ўтсак, р(§, д
:0) < 8
келиб чиқади,
яъни 
I
ҳам (4.10) да ётар зкан. Кейин, р(ср(гп), ? © ) < ? р ( ^ , I)
тенгсизликнинг ўнг томони нолга интилганлиги сабабли <р(хп) ->
-><р(|). Энди 
х
п + 1
— ч(хп)
тенгликда лимитга ўтсак 
%
—
<р(|) ке-
либ чиқади, демак, £ (4.9) тенгламанинг ечими экан. Энди бу
илдизнинг ягоналигини кўрсатамиз. Фараз қилайлик, 
(4.9) тенг-
ламанинг (4.10) сферадаги бирор ечими бўлсин, ^ = £ эканлиги-
ни кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам (4.11) га кўра
р ( ? ь Э = = р ( 9 ( Ь ) . Ф © ) < < 7 Р(?1 Ю,
1
бўлганлиги учун бу муносабатлар фақат 
1\
= | бўлган-
дагина бажарилади.
Ниҳоят, (4.13) тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатиш қолди.
Уни кўрсатиш учун (4.16) тенгсизликда 
р - >
 оо да лимитга ўтиш
кифоядир.
Чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини итерация ме-
ъоди билан ечиш. Эиз энди итерация методи билан
/ \ (Х\, х 2, .
. . , 
х п)
 =
0
,
/<1
(-^
1
* 
Х2, ■
. . , 
х п)
=
0
,
(4.17)
/п(Х\, Х2,
. .
• , 
х п)
=
0
тенгламалар системасини ечиш масаласига ўтамиз. Бунинг учун
аввал (4.17) системани бирор усул билан қуйидаги каноник шакл-
га келтириб оламиз:
Х\ — 
х 3, . . . , х п),
х 2 = <р2(Х\, х 2, . . . ,
х„), 
(4.18)
Хп 
'Рп(Х
\ , 
Х2,
. . • , 
Хп) .
52
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

фараз қилайлик, х<0) = (л:<0), 
4
0), . . . .
л<0)) дастлабки яқин<
лашиш топилган бўлсин, у ҳолда кейинги яқинлашишлар қуйида-
гича топилади:
*(*>, . . . , 
х ^ ) ,
■
^
а
-
1
-
1
) = <р
2
(лс<й>, 
х[к\ . . . , хЮ),
 
(4.19)
4 6+1> = «ғ»(4А). 4 А)> • • • > 4 й))-‘
Бу итерацион жараён яқинлашишинияг етарли шартларини аниқлаш
учун қисқартириб акс эттириш принципини қўллаймиз. Шу мақ-
садда 
п
ўлчовли векторлар фазоси 
Нп
да 
х = (хи х 2, 
, х п)
вектор ва (4.18) 
системанинг ўнг томонидаги 
?и ?2, ■ ■ . ,
функцияларнинг қийматларидан тузилган Ф = (фь ? 2, . . . , ?„)
векторни олиб у 
== 
ф
(
х
) 
операторни аниқлаймиз. Бу оператор 
/? п 
ни
/?„ га ёки 
к п
нинг бирор қисмига акслантирзди. Бу оператор
ёрдамида (4.18) система
я = ф (х), 
(4.20)
(4.19) итерацион жараён эса
зй-«*+1» = ф(х<А>) 
(к = 0,
1, 2, . . .) 
(4.21)
кўрипишида ёзилади. Энди (4.20) тенгламага 1- теоремани қўллаш-
учун теореманинг (4.11) шартида қатнашадиган 
<7
ни ф2, ®2, . . . ®п,
лар орқали ифодалаш керак. Бундай ифода масофага боғлиқдир.
Биз юқорида 
Нп
фазода уч хил масофа тушунчасини киритган
эдик. Ҳар бир масофада 
д
нпнг ифодасини топамиз.
1
. 
т масофада:рт(х,
х<0)) < 5 шардан ихтиёрий иккитах =
(хг
х 2,
 
. . . .
Хп)
ва 
у
 
=
(Уи Уг, ■
• • , 
Уп)
вектор олиб ва 
уфх), ?2(х)\
. . . , 
?„(х)
функциялар бу шарда узлуксиз хусусий ҳосилаларга
эга деб фараз қилиб, бу нуқталар тасвирларининг 
?^(х)
ва срДу)
координаталарини кўрамиз:
)?Д 4 - 'РДУ) I =
\?<{Хи 
х 2, . . . , х п)
-
ф
ДУ1, 
у2, 
. . . , 
уп)
 | =
Б у ерда ҳосиланинг қиймати 
х
ва 
у
нуқталарни бирлаштирадиган
тўғри чизиқнинг 
х
нуқтасида ҳисобланган. Бу нуқта 
х, у
ва 
I
га
боғлиқдир. Юқоридаги баҳо 
х, у
ва 
I
га боғлиқ бўлмаслиги учун
П
/ - 1
дх
у
ни т а х т а х
I
х
п
/ —1
д?1_
дх]
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

та алмаштирамиз, бу ерда 
х
бўйича максимум 
рт(х,
х (
0
) Х
8
шар-
даги энг катта қийматни Силдиради.
Натижада биз
П
Р
« (? (* ). 
ф (у )
) 
< шах 
шах V ]
I р„
{ х , у)
I 
X 
д х ,
/ = 1
та эга бўламиз. Бундан кўринадики, 1 - теореманинг (4.11) шарти-
даги 
<7
сифатида
цт
= т а х т а х
1 
х
V
|
I 
ОХ:
/ = 
1
(4.22)
■ни олишимиз мумкин.
II. 
5
 
масофада.
Юқоридагига ўхшаш ишларни рДл;, х
(0)) < ; 8
шарда бажариб қуйидагини ҳосил қиламмз:
2
1
-Бундан эса
<Р/(У)|
п
1
гпах т а х
/ 
д:
° 
д х ,
р*(ф(*). ф (у)) ^ а
( * . у).
/=1
Я з
келиб чиқади.
III. 
I масофада.
■-сидаги
П
1 = 1
гпах гпах
/ 
X
&Ч1
д х
у
Қаралаётган 
р,(х,
х (0))
шар Евклид фазо-
(х,
 — х
(0))2
! <
8
шардан иборатдир. Бу шардан ихтиёрий иккита 
х
ва 
у
нуқталар-
ни олиб қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
!?/(•*) — 
ф
Д
у
) I
2
=
д
дХ:
( < - У ; )
/=1
< т а х
/ =
1
М
2
КдХ]}
92,(х,у);
92
М ( х ),
?(
у
) ) = > , [?;(<) — ?Ду) I
2
< 9 ? Р
2
 
(х, у),
£= 
1
л
72Т
т а х
V
/= 1
Шундай қилиб, учала масофада 
ҳам 
ц
нинг ифодасини топдик.
Энди 
1
- теоремадан фойдаланиб, итерация жараёни яқинлашиши-
54
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

нинг етарли шартини бериш мумкин. Биз буни фақат 
т
масофа
учун таърифлаймиз, қолган иккита масофа учун теоремани таъриф-
лашни ўқувчиларга ҳавола қиламиз.
2- т еор ем а. Фараз қилайлик:__ _
1
) 

. . . , 
х п) (I
=
1
, 
п)
функциялар
шах 
\х —
 л
(0)| < 8
 
(4.23)
соҳада аниқланган. ва узлуксиз дифференциалланувчи бўлсин;
2
) бу соҳада
П
шах
X
дХ]
^
Я < \
(I
=
1
, 
п)
(4.24).
тенгсизликларни қаноатлантирсин;
3) дастлабки яқинлашиш 
х {°\ х<2°\
. . . .
х {^
учун
И 0) — 
ь ( х \0),
4 0)> • • • » 4 0))1 <"4 
V
= 
п). т = у < 8
шартлар бажарилсин. У ҳолда (4.18) тенгламалар системаси (4.23)
соҳада ягона £ = (£,, ?,2> . • . , £„) ечимга эга бўлиб, (4.19) тенг-
ликлар билан аниқланадиган кетма-кет яқинлашишлар бу ечимга
интилади ва интилиш тезлиги
( 1 = 1 , п)
тенгсизликлар билан баҳоланади.
Энди оддий итерация методи ёрдамида мисол ечишни кўрсата-
миз.
М и с о л. Қуйидаги
/ ,
(х, у) 
=
2х2
— 
х(у
+ 5) + 1 =
0, 
М х , у)
=
д: 
+
31§лг — у
2
=
0
системанинг мусбат илдизлари тўртта маънэли рақам билан топилсин.
Е ч и ш. 
/ г(х, у)
= 0 ва 
/ 2(х, у) =
0 
функцияларнинг графикларини ясаймиз 
(
1 1
-чизма). Бизни қизиқтирадиган ил- 
дизнинг 
такрибий 
қиймати 
лг
0
=3,5; 
у
0
=
2,2
дир.
Итерация методини қўллаш учун бу 
системани қуйидаги
= / 0,51+(у
5 )— 1] = 
Ч\(х,у), У
=
=
V х
+ 31£х = <р
2
(эс, у)
каноник шахлга келтирамиз. Энди 2- те- 
орема шартларини текширайлик. Бунинг 
учун дастлабки яқинлашишнинг 
1
лг—3,51 < 0,1: |у — 2,2) < 0,1 
атрофида (4.22) шартни текшириб кўра- 
миз;
дд>1 _ ____ У + 5____
дх
4/
х(У
+ 5 ) - 1 .
55
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4- жадвал
хк
Ук
0
3,5
2 ,2
1
3,479
2,259
2
3,481
2,260
3
3,484
2,261
4
3,486
2,261
5
3,487
2,262
6
3,487
2,262
<*?!
ду
х
4
V
■у(у + 5 ) - 1 ’ 
2
ЗМ
3
1 +
х
. 
д'ь 
п
дх
2 /
х
+ 318
х
дУ
'
бу ерда М = 0,43429 — ўтиш модули. 
Куйидаги баҳога эга бўламиз:
т а х
х. 
у
ддх
(2,3 + 5 ) / 2
< --- .. .. 
=
4,. 3,4(2,1 + 5)
0,54;
т а х
х. у