|
= 0 келиб чиқади. Шундай қилиб,
1
.
п
'
/ 1 —
-1 г
£=1
квадратур формуланинг тугунлари
= 0 тенгламанинг
2й— 1
Хп-{-1
—
к
— С05
2 п
■
те
(к
= 1, 2............ я)
илдизларидан иборатдир. Бу формуланинг когффиииентларини зсз*
А
= — ------Г
й =
•
Т^ й — йх
г п(хк)
£ х / 1 —
■* — •**
■
кўринишда ёзиш мумкин. Бу интегрални ҳисоблаш учун
х
= созЭ
алмаштириш бажарамиз:
А —
1
СО5/20
о1 С050- ^
Й0.
(5.11)
Интеграл ости функциясининг жуфтлиги туфайли:
А = — ‘----- Г ■
соз^ —
е10.
.
■
2 Г > * )
^
с о з 0 - х й
Интеграл остидаги функция
п
— 1-тартибля тригонометрик кўп-
ҳаддир. Биз 4- § да бундай кўпҳадни 2я нуқтали тўғри тўртбур*
чаклар формуласи аниқ интеграллашини кўрсатган эдик. (5.11)
интегрални ҳисоблаш учун тўғри
тўртбурчаклар
формуласида
қуйидаги 2я нуқталарни
0; =
й
——
/ = —я + 1, — я + 2 , . . . , 0, 1 , 2 , . . . , я
олоак,
Аь
нинг аниқ қийматига эга бўламиз. Равшанки интеграл
остидаги функция
/( 9 )
С 05/20
СО50
—
Х к
нинг 0 = 0^ ( / = 1 , я ) нуқтадаги қиймати
] ф к
бўлганда нолга
тенг бўлиб, /
= к
бўлганда
Т'п(хк)
га тенг. Бундан ташқари /( 9 )
жуфт функция ва
0 -/+ 1
= — 0/, шунинг учун ҳам / (
0
_ /+
1
) = /( 0 ^ ) .
Демак,
.
1
СО5/10
СО50 —
Х к
с10
=
2д Г
. !
2
п
— 1
2л
2/г
329
www.ziyouz.com kutubxonasi
+ / ( ^ * ) + / (
2 п
— 1
2 п
2к—
1
2
п
« ) ] -
Буни (5.11) га қўйиб,
Л ь =
2 % )
2гс
л
1Г
л
ни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб, биз қуйидаги
Мелер квадратур формуласа
-
га эга бўлдик:
/(*)
/ 1 — х3
Х ь
= С 0 5
2/г — 1
------
тс.
2
п
Бу формула баъзан
Эрмит формуласи
ҳам дейилади, бу форму-
лани Эрмит ўзининг анализ курсига киритган эди.
Бу формуланинг қолдиқ ҳадини қарайлик. 4- бобда кўрган
эдикки,
Тп{х ) — ^п~1 х п - \ - а х п~1+ .
Шунинг учун ҳам
шп(х)
=
Т„(х)
ва
/ (2п)(£)
I
у т
(2 л !)
^
/ 1 — х 3
2
_1__
,2п-2
Т2
п(х)с1х.
Куйидагига ишонч ҳосил қилиш қийин эмас:
С
Т"(х) а х
= Л -
^ / Г Г З ^
а х
2 '
Шундай қилиб,
(2л)!2
2
п-
- / (2п,ш. -1<5<1.
Бошқа ҳар хил вазн функцияли Гаусс типидаги квадратур фор-
мулалар ҳақида бобнинг охиридаги машқлардан қаранг.
в- §. ЧЕБИШЕВ КВАДРАТУР ФОРМУЛАСИ
Биз олдинги параграфда Мелер квадратур формуласини ҳосил
Қилдик. Бу формула шу билан характерланадики, / (
х к)
олдидаги
барча коэффициентлар ўзаро тенг. Агар
/ ( х к
) нинг қийматлари
тасодифий хаголарга мойил бўлса, у ҳолда бундай формулалар
катта аҳамиятга эга бўлади. Чунки белгиланган
■
:
С 1
+ С
1
+ . . . + сп
учун
С \ Л Х \ ) + ^ г Л - ^ г ) + • • • +
Сп / ( Х п )
330
www.ziyouz.com kutubxonasi
ифода с, = с2 — . . . =
сп
бўлганда энг кичик тасодифий хатога
эга бўлади. Шу муносабат билан П. Л. Чебишев тенг коэффи-
циентли
I
р ( х ) / { х ) а х = с п ^ / ( х к ) + ^ п( / )
'
(6 .1 )
квадратур формула тузиш масаласини қўйган эди. Бу квадратур
формуланцнг ўнг томонида
п
-{- 1 та параметр:
п
та
х к
тугунлар
ва
с„
коэффициент қатнашади. Бу параметрларни тегишли усулда
танлаш йўли билан (6.1) формулани
п-
даражали
{(х)
кўпҳадни
аниқ интеграллайдиган қили ) қуришга имконият борлигига умид
қилиш мумкин. Биз кейинчалик (6.1) формуланинг ҳар доим ҳам
мавжуд бўлавермаслигини кўрамиз. 4- § дагидек бу ерда ҳам
х и х 2,
. . . ,
х„
ларни топиш ўрнига
№(х)
= {х — х г) (х — х2) . . . ( х — хп)
=
хп
+
А^Х"-1
тЬ . . . +
А„
кўпҳадни излаймиз. (6.1) формулада
/ ( х )
=
а 0
+
а гх
+ . . . +
апх п
деб оламиз, бу ерда
а0, а и . . . , а п —
ихтиёрий ҳақиқий сонлар.
Шартга кўра бу функция учун
Нп( /) =
0, шунинг учун ҳам қу-
йидаги тенгликка эга бўламиз:
1
| р
(х)хйх
+ . .
-1
1
• +
а п ^ {>(х)хпйх
=
—1
=
с„[па0
+
а / х х
+
х 2
+ . . . +
х п)
+
а 2(х2х
+
х \
+ . . . +
х 2
п)
+
+ . . . +
ап(х\
+ х» + . . . + * £ ) ].
(6.2)
Қуйидагича белгилаш киритайлик:
1
= |
р(х)хк йх.
—1
(6.2) тенгликдан,
а^
ларнинг ихтиёрийлигини ҳисобга олсак,
п с п — т о,
с
п ( * 1
+ * 2+ • • •
+ х п) = т и
сп(х2
+
х\
+ . . . +
х 2
п)
=
т2,
.
сп(х
1
+
х*
+ . . . + лф =
тп
тенгликлар келиб чиҳади. Бирин чи тенгликдан
сп
= —
т0
ни то-
331
www.ziyouz.com kutubxonasi
яамиз. Сўнг
5* = - ^ -
белгилаш киритиб,
х и х 3, . . . , х„
ларни
'
с п
топиш учун қуйидаги гистемага эга бўламиз:
Х\
+
х 3
+ . . . -Ь
хп
=
.
х\-\-х1+
. . .
+ х \ = 8 и
х \ + х { + . . ' . ' + х-п = 8^.
‘ ‘
Биз III бобда
м„(х) =
хп
+
А^х"-1
+
. . . + А п
кўпҳаднинг коэффициентлари билан унинг илдизларидан тузилган
Х\
+
х 2
+ • • • +
х п
симметрик функцияларни ўзаро б оғлай-
диган
•$1 + Д = 0.
5 2 4 -4 5! 4
2А2
= 0,
5 Я 4
4
А 28п—2
4 . . . 4
пАп =
0
Ньютон формулаларини чиқарган эдик. Бу формулалардан кетма-
кет
А и Л 2,
. . . ,
А п
ларни аниқлаймиз.
Энди р(лг) = 1 бўлган Чебишев формуласининг хусусий ҳолини
1
қараймиз. Бу ҳолда
сп
=
— Г
йх
= — ,
” _1
п
8 к = ~
Г
х кйх
=
.
п
{+ —
1
п)
бўлади. Чебишев
п
=
1(1)7 лар учун
|
Дх)0х
« Л 2
Л * к )
(6.4)
-1
к = 1
квадратур формуланинг тугунларини топган эди. Кейинчалик маъ-
лум бўлдики,
п =
8 бўлганда «вя(л:) кўпҳад илдизларининг ораси-
да комплекслари ҳам мавжуд экан,
п
=
9 бўлганда барча илдиз-
лар яна ҳақиқийдир. С. Н. Бернштейн « > 1 0 бўлганда «„(х)
кўпҳаднинг илдизлари орасида доимо комплекслари мавжуд экан-
дигини кўрсатди. Демак, я > 1 0 бўлганда Чебишевнинг (6 .4 )
квадратур формуласи мавжуд бўлмас экан.
Куйида
п
=
1(1)7 ва
п
= 9 учун Чебишевнинг квадратур фор-
муласининг тугунлари келтирилган:
п
= 1
*1 = 0;
п =
2
—х%
= х 2=
0,5773502691;
’
п
= 3
832
www.ziyouz.com kutubxonasi
— л;4
— х а —
0,7071067812, л а =*0;
п = 4
_ х , = х 4 = 0,7946544723,
—х 3 = л:3 = 0,1875924741;
п —
5
—х х
= х 5 = 0,8324974870,
—х 3 = х 4 = 0,3745414096, л:3 = 0;
п
= 6
— *! = л:6 = 0,8662468181,
—л:2 = л:5 = 0,4225186538,
—л:3 = л:4= 0,2666354015;
« = 7
—х х
= л:7 = 0,8838617008,
—л:2 = л:„ = 0,5296567753,
—л:3 = л : 5 = 0,3239118105, л:4 =* 0;
п ~
9
—
= л : 9 = 0,9115893077,
—л:а = л : 8 *= 0,6010186554,
_ л : 3 = л:7 = 0,5287 617831,
—л:4 = л:6 = 0,1679061842, * * = (> .
М и с о л. Чебишев формуласи билан л = 7 бўлганда
е
й х
1
I
=
-------------= — 1п 10 = 0,25584279 . . .
)
1 +
9 х
9
о
,
интегрални ҳисоблайлик. Бу ерда
х
=
( ( +
1)
алмаштириш
бажариб,
интеграллаш оралиғини [— 1, 1] га келтирамиз:
е
й 1
/== 11 11 + 9* '
Ҳисоблашларни олти хона аниқликда олиб борамиз:
Д х г)
= 0,328381,
/ ( х 2)
= 0,160434,
/ ( х 2)
= 0,123689,
/ ( х / )
= 0,090909,
/ ( х ъ)
Do'stlaringiz bilan baham: |
