|
нуқтада икки каррали тугун-
га зга бўлган Эрмит интерполяцион кўпҳади билан алмаштириш
www.ziyouz.com kutubxonasi
керак. Биз юқорида тўғри тўртбурчак ва Симпсон формулалари-
нинг қолдиқ ҳадларини баҳолашда худди шундай қилган эдик.
4.
Нюьтон — Котес квадратур формулалари.
Ньютон—К о-
тес формулалари энг дастлабки интерполяцион квадратур форму-
лалардан ҳисобланади. Бу формулаларда оралиқ чекли, вазн функ-.
цияси р(л) — 1 ва
х,
тугунлар ўзаро тенг узоқликда жойлаш-
гандир. Бу формула (2.13) формуланинг р(х) = 1 бўлгандаги х у -
сусий ҳолидир.
Лекин аксарият адабиётларда Ньютон—Котес формуласи (2.19)
кўринишда эмас, балки бошқа кўринишда келтирилади.
Биз ҳам
шу кўринишда қараймиз.
Бунинг учун
[а, Ь\
оралиқни
л4п) »= а +
кк, к — 0, п, Н
= — -
(п
-]-1) та нуқталар ёрдамида
п
та бўлакка бўламиз ва
коэф-
фициентларни тегишли кўринишга келтириш учун
М
(п)
и
п
I п ...
а
0,
1фк
г —
у (п )
__
у(п)
йх
интегралда
х = а-\-1И
алмаштириш бажарамиз,
х
— л(я> == (( —
1)Н, х (Ап)
—
х\п) = (Н
—
1
)Н
бўлганлиги учун
п
П
1=0,
1фк
X
-
х \ п)
у ( п )
_
г (п)
х к
Х 1
Демак,
=
= ( _
1)"-*
к
к \ ( п
—
к ) \
Энди
Д(«>
= : . ( -
1)*-*
к
п к \ ( п
—
к ) \
деб олсак, У Ҳолда Ньютон—
\п—к
п
г*>, п у - д
'
№ .
/=о
}н\
П
((
о /= о.
№
о /=0,
)фк
Ди:
V
Ч
|
ў(х)йхж(Ъ - а )
2
+ АЛ).
(
2
.
21
)>
(
2
.
22
)
к
= 0
п
п
Бундаги
коэффициентлар [а,
Ь\
оралиққа боглиқ эмас.
Котес томонидан
коэффициентлар
п —
1, 2, . . . , 10 учун
ҳисобланган. Қуйида улар /г ===== 1,
2,
,
5 учун келтирилган:
п ~
1:
311.
■V
www.ziyouz.com kutubxonasi
п — 2:
я я 3:
4:
5:
п
п
■в®
В1-
в ^ -
- В^:
5<33) =
№
=
- ,
4
90
В ^
= —
5
288
4
~ "б"’
:Ж 3) = ~ ;
2
8
£С4> =
Ж )
= 32
1
3
90
В[
2)
£(3) =
3<4> =
12
90’
5<8> =
В&
50
288
'
— , Ж 5> = №
288
2
3
Р. О. Кузьмин
В[/
лар учун « - > оода асимптотик формула-
В{п)
/г ->
оо
да
Г 1о(л; = 1 экан-
—
а
Л
ларни топган эди.
Ьу формулалардан, жумладан,
п
п
,
Ь
2
-> °о келиб чиқади. Энди ^
•4 • 1
1
лигини ҳисобга олсак, бундан
п
етарлича катта бўлганда коэффи-
диентлар орасида манфийлари ҳам, мусбатлари ҳам мавжудлиги рав-
шан бўлиб қолади. Ҳатто, л = 8 ва
п —
10 бўлганда ҳам
В ^
.лар орасида манфийлари мавжуддир. Шунинг учун ҳам ( 1 - § га қа-
ранг) Ньютон— Котес формулаларини катта
п
ларда қўллаш мақ-
садга мувофиқ эмас. Равшанки,
п —
1 ва
п
= 2 бўлганда (2.22) фор-
муладан мос равишда трапеция ва Симпсон формулалари келиб чи-
қади. Тўғри тўртбурчак формуласи эса
р(х)
= 1 ва
п
= 1 бўлганда
■(2.18) формуладан келиб чиқади. л = 3 бўлганда (2.22) дан „Сак-
киздан уч қоидаси11 деб аталувчи Ньютон формуласига эга бўла-
миз:
.
ь
]
/ ( х )^х
~
§
[ / ( а )
3 / (
а
-1— — | + 3
/ ( а
+
(Ь
—
а))
+
"
+ / ( Ь ) \ .
5.
Умумлашган квадратур формулалар.
Қаралаётган ора-
лиқ етарлича катта бўлиб, бу оралиқда функция тўғри чизиқ ёки
параболага етарлича яқин бўлмаса, у ҳолда тўғри тўртбурчак,
трапеция ва Симпсон формулалари яхши натижа бермайди. У вақт-
да
/ (х )
ни юқори тартибли кўпҳад билан алмаштиришга тўғри
келади, лекин юқори тартибли Ньютон— Котес формулаоини қўл-
.лаш ҳам мақсадга мувофиқ эмас. Бундай ҳолда
[а, Ь\
оралиқни
қисмий оралиқларга бўлиб, ҳар бир қисмий оралиқда кичик
п
лар
учун чиқарилган квадратур формулаларни қўллаш яхши натижага
«либ келади.
Берилган
[а, Ъ]
оралиқни
х к= - а - \- кк (к = 0,
А )
нуқталар
Ь
—
а
ёрдамида узунлиги
к —
—
бўлган
N
та бўлакка бўламиз. Ҳар
N
бир қисмий оралиқ
[хк
,
х к±\]
■формулани қўллаймиз:
хк+\
бўйича олинган интегралга (2.1)
5 / ( х ¥ х
~
Ь / ( а
+
( к
+
~ ) к ) ( к
= 0, 1,
1).
(2.23)
*к
31-2
www.ziyouz.com kutubxonasi
Қулайлик учун / ( а + ( ^ + у ) ^) = У ^ 1
каби белгилаб (2.23)
ни барча
Н = 0,
1, . . . , /V— 1 лар бўйила йиғиб чиқсак, нати-
жада умумлашган тўғри тўртбурчаклар („катта“ ёки
„таркибий“
деб ҳам юритилади) формуласига эга бўламиз:
ь
| / (
х)йх
■
УN—1:2 )■
(2.24)
"77“ (У'/> + У3/. +
^
Бу формуланинг қолдиқ ҳади /?лг(/) ни топиш учун (2.23) нинг
(2.25)
Я о (/. * ) =
%
1
Ч Г
/"(£* )
(** < ?* < **-и)
24Л'3
қолдиқ ҳадини барча
Н = 0, I, . . . , А/ — \
лар бўйича йиғамиз,
натижада
Я $ ( / ) =
У / " ( £ * )•
(2-26)
24Л':!
А=0
Равшанки,
N-1
гп
1
п
/"{х)
< —
У /"(е*
) <
шах
/"{х).
а< х < Ь
N
а< х< Ь
к ~ и
Иккинчи ҳосиланинг узлуксизлигидан,
Коши теоремасига кўра,
шундай
%(а
^
х
Ь)
мавжудки,
1 Л,—1
к— 0
Буни (2.29) га олиб бориб қўйсак, умумлашган тўғри тўртбурчак-
лар формуласининг қолдиқ ҳади ҳосил бўлади:
« *> (/) = ^ + ■ / " © .
(2.27)
Ш унингдек, умумлашган трапеи,иялар формуласини ҳам чиқариш
мумкин. Агар
/ ( а
+
НН) = уи
деб олсак, умумлашган трапециялар
формуласи
ь
,
|
/ ( х ) й х
2Л ' [Уо + Уд1 + 2(у
1
+ у 2 + • • • + Улг—
1
)] (2.28)
бўлиб, унинг қолдиқ ҳади эса
I !
/ ' / ( / ) = -
/ % ) ( а ^ 1 ^ Ь )
(2.29)
кўринишга эга бўлади.
Умумлашган Симпсон формуласини чиқариш учун
\а, Ъ\
ора-
Ь
—
а
лиқни узунлиги
Н
= -^ д г га тенг бўлган 2
N
та оралиқчаларга
бўламиз ва узунлиги 2
Н
га тенг бўлган ҳар бир иккиланган
313
www.ziyouz.com kutubxonasi
■1*0» *з1> [*
2
.
х \]>
• • ■ » [*
2
лг-
2
, *
2
лг] оралиқчаларга Симпсон фор-
муласини қўллаймиз:
ь
н
н
5
/(х)с1х
» -д- (у0 + 4 у 4 + У
2
) + ^ (Уг + 4 у 3 +
у4)
+
. . .
+
а
н
+ ■
3
' (Углг-а + 4уг.у-1 + УглО-
Бундан эса
умумлашган Симпсон формуласи
ь
|
/(х)с1х
Ь
—
а
1(Уо + Ў
2
Лг) + 4(у4 + Уз + . . . +
У2Н-\ )
+
+ 2(у2 + у 4 + . . . + У
2
Л/-
2
)]
,(2 -3 0 )
келиб чиқади. Юқоридаги каби мулоҳазалар юритиб,
/ ( х )
тўр-
тинчи тартибли узлуксиз ҳосилага эга бўлганда,
умумлашган
Симпсон форму ласининг
қолдиқ ҳадини
ҳосил қиламиз.
Мисол тариқасида
,
с Ах
.
(2.31)
‘0, 693147180. .
интегрални тақрибий ҳисоблайлик. Бунинг учун умумлашган тўғ-
ри тўртбурчак формуласи (2.24) да А1 = 10 деб олайлик.
Бу ерда
Л =
N
0,1 бўлгани учун уА/2
1 +
(к
+
0,5;
Тод бўлиб,
Уо.5 = 0,95238
У з ,5
= 0,74074
Уб,5
= 0 ,6 0 6 0 6
Уэ.5
= 0,51282.
У
1
,
б
= 0 ,8 6 9 5 7 ;
у 2 5 = 0,80000
у4.5
= 0,68966;
у5,5
= 0,64516
У?.5 = 0,57143:
у 8,5 = 0,54054
Бундан эса умумлашган тўғри тўртбурчак формуласига кўра:
7 ~ ^ (Уо,5 + У
1.5
+ . . . + уэ
,5
) = 0,692836.
Бу тақрибий қиймат билан аниқ қийматнинг фарқи |1п2 — 0 ,6 9 2 8 3 6 |<
< 0 ,0 0 0 3 2 . Демак, 1п 2 « 0 ,6 9 3 -, бу рақамлар аниқдир.
V" Иккинчи мисол сифзтйда уш бу интеграл синуснинг
V
51
па
:
р 51ПА:
31
х
=
— -
йх
Do'stlaringiz bilan baham: |
