|
қисқалик учун квадратур формуланинг Л<га),
А р ,
. . . . А / коэф-
фициентлари ва
х\п}, х\п),
. . . ,
тугунларини юқори индекссиз
А х, А 2, . . . , А п ва х и х 2, . . . , х п
кўринишда ёзамиз. Фараз-
қилайлик, бизга
/ ( х)
функдиянинг
х и х 2, . . . , х п
нуқталардаги
Л
х а
), Л
х ъ
),
• • • >
Л х п)
қийматлари берилган бўлиб, мақсад шу
ь
қийматлар бўйича
|
/( х )й х
ннтегралнинг тақрибий қийматини
а
мумкин қаДар юқори аниқликда топишдан иборат бўлсин. Демак,
Аи
коэффициентлар аниқланиши керак. Бунинг учун
/ (х )
ни унинг
берилган қийматларидан фойдаланиб,
( п —
1) - даражали
кўпҳад
билан интерполяциялаймиз:
П
П
/ ( х ) ^ 1 п- / х ) / г п( / ,
* ) = 2
П
х к) + г п( / , х
).
(2 .II)1
к = И = 1 , 1 + к
й
‘
Энди бу тенгликни р(х) га кўпайтириб,
а
дан
Ь
гача интеграллай-
лик:
ь
ь
.
ь
|
?( х ) / ( х ) й х =
|
?(х)Ьп-
1
(х)с
1
х
+ | р
(х)гп( / , х)йх.
а
а
а
Агар бундаги
Ь
п
Ь
Нп(Ў)
= |
?(х)Лх ¥ х
— 2
АьЛхк)
= I
?(х)гп(/х)с1х
(2.12)
а
к =
1
а
қолдиқ ҳадни ташласак,
|
?(х)/(х)йх
« 2
А к Л х к ) ,
А к
/г=1
Ъ
5
р(*)
П
1 = 1 , 1 ф Ь
Х — Х1
Хк —XI
йх
(2.13)
а
квадратур формулага эга бўламиз.
Бу формула қурилиш усулига кўра
интерполяцион квадра-
тур формула
дейилади. Бундай формулалар учун ушбу теорема
ўринлидир.
■
х^~
307'
www.ziyouz.com kutubxonasi
Т еор ем а. Қуйидаги
ь
п
| Р
(х)/(х)ах ~
2
Аь Я ч )
(2.14)
а
к =
1
жвадратур формуланинг интерполяцион бўлиши учун унинг барча
— 1) - даражали алгебраик кўпҳадларни аниқ интеграллаши за-
рур ва кифоядир.
Й сбот. З а р у р л и г и . Агар / (
х ) ( п
— 1)-даражали кўпҳад
•бўлса, у ҳолда (2.11) тенгликда г„(/,
х)
== 0 бўлиб,
/ М = 2
П ! = * . / ( * * )
'
к =
1
1=1. 1 ф к х к ~ Х 1
тенглик ўринли бўлади ва (2.14) қоида интерполяцион қоида бўл-
танидан (2.13) га кўра:
Ь
п
Ь
1
? ( х ) / ( х ) й х =
2
Л*к)
I
?(х)
а
к=1
а
П
1=1, {фк
X
—
Хк—Хь
п
а х = ^ А к/ ( х к ).
к=
1
Демак, (2.14). формула
(п
— 1) - даражали
/ ( х)
■
кўпҳадни аниқ
'ннтеграллайди.
К и ф о я л и г и . . (2.14) формула
( п
— 1) - даражали
ихтиёрий
жўпҳад учун аниқ формуладир. Хусусий ҳолда, у (га — 1)-дара-
жали ушбу
шт{х)
=
П
Х~ Х1
( ^ = 1. 2 , . . . , « )
1
=
1
,
кўпҳад учун ҳам аниқ бўлг
1
Ди. Агар
ит(х
к ) = 0
( к ‘ф т )
ва
**>„.(хт)
= 1 эканлигини ҳисобга олсак,
Ь
п
Ь
п
I
р(х)
П — “
С1х
= | Р
(х)тт(х)с1х
= 2
Ак <йт(хк )
=
Ат
а
*' = 1,
1фт т
1 '
а
к=
1
келиб. чиқади. Демак, (2.14) қоида интерполяциондир, шу билан
теорема исбот бўлди-.
Бу теоремадан кўринадики, га нуқтали интерполяцион квадра-
:)ур формуланинг алгебраик аниқлик даражаси
п
— 1 дан кичик
бўлмаслиги керак.
Осонгина ишонч ҳосил қилиш мумкинки, юқорида кўриб ўтил-
ган тўғри тўртбурчак, трапеция ва Симпсон формулалари интер
поляццон
квадратур формулалардир.
5- бобдан
маълумки,
/(х)
[а, Ь
| оралиқда га-тартибли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда
интерполяцион формуланинг қолдиқ ҳади гя(/,
х)
ни
Яп)(П
п
г к(/,
* ) =
и(х),
(ш(х) = П
(х — х к ))
.
к=
1
308
www.ziyouz.com kutubxonasi
кўринишда ёзиш мумкин. Буни (2.12) га қўйиб, квадратур фор-
мула учун
1 Г
Я п Ц )
=
7П 1 Р
( х ) * ( х ) П ) й х
(2.15)
а
га эга бўламиз. Энди
п-
тартибли узлуксиз ҳосилага эга ва ҳоси-
ласи
\р * \х ) \< М я
(2.16)
тенгсизликни қаноатлантирувчи функциялар с-инфини қараймиз. Бун-
дай функциялар учун (2.15) дан
М
ь
1 Я » ( / ) 1 < ^ И * И * ) 1 ‘**
(2 Л 7 >
а
га эга бўламиз. Агар
ш(х)
кўпҳад [а ,
Ь
] оралиқда ўз ишораси-
ни сақласа, у ҳолда (2.17) баҳо аниқ бўлиб, ундаги тенгликкэ
М п
/ 0 0 =
~ЖхП
+
а 'хп~1
+ • • • +
а *
кўпҳадда эришилади.
Энди интерполяцион квадратур формулаларнинг бир муҳим хос-
сасини кўриб ўтайлик. Аввал
Ак
ни аниқлайдиган интегралда л: = ,
а
+
Ь
Ь
—
а
( а + Ь
Ь
—
а
= —т,----1----- ^— * алмаштириш бажарамиз. Агар р I — ------1-----
— (
*=р(()
деб белгиласак, у ҳолда
Ак
қуйидаги кўринишга эга б ў -
лади:
Ак =
П
7(0 П
4 = 1.
1фк
-1
ш
ц)<и
(I
—
(&)<*'((/,)
бу ерда
ва
1
вк= \
7(0
-1
т ( ( ) с и
(I
—
(к)и>'((к)
2 х к
—
а
—
Ь
0 =
а
(2.18)
Шундай қилиб, (2.13) формула қуйидаги
0
Ь
—
а
хг!
I а - \ г Ъ
Ь
—
а
\
]
р(хУ(х)йх
»
2
Вк
/ ^ -
2
- + —
0
)
(2Л 9>
кўринишга келади.
Т еор ем а. Фараз қилайлик, вазн функцияси
р(х) \а, Ь}
оралиқ-
нинг ўрта нуқтасига нисбатан жуфт функция ва
(к
тугунлар
шу
309'
www.ziyouz.com kutubxonasi
.нуқтага нисбатан симметрик, яъни 4 = — 4 + 1 -* бўлсин. У ҳол-
.да симметрик тугунларга мос келадиган квадратур формуланинг
коэффис иентлари ўзаро тенг бўлади:
Вк
=
Вп+
1_*.
(2.20)
И сбот. Агар
п
жуфт бўлса, у ҳолда
ш ( 4 = 4 — 4 ) . . . . 4 — 4 ) = ю( — 4 ,
.
“ ' ( 4 ) =
П
( 4 - 4 ) = “
П
(*»+!-* -
“ « '(4 + 1 -* )
! Ф к
/ ф к
тенгликлар ўринлидир. Агар
п
тоқ бўлса, у ҳолда, аксинча ю(4=*
= — ю(— 4 . ю '(4 ) = ®'(4+1-/е) бўлади. Ҳар иккала ҳолда ҳам
.(2.18) да / = — т алмаштириш бажарсак, қуйидагига зга 65'ламиз:
»Ч4+1-*)(
т
+4) =
ю
Ч4+1-*К
т
-4+1-*) =*
=
В п + 1 — к
•
Шуни исботлаш талаб қилинган эди. Бундан кўринадики, 4 лар
•симметрик жойлашганда барча
В +
ларни ҳисоблаш ўрнига
В
и
А 2, . . . ,
В
г п +
ц
ларни ҳисоблаш кифоядир.
[ 2 )
Иккинчи томондан, бундай формулалар [
а
,
Ь
] оралиқнинг ўр-
тасига нисбатан тоқ бўлган ҳар қандай функция учун аниқ фор-
муладир. Ҳакиқатан ҳам, р(х) нинг жуфт эканлигини эътиборга
ь
юлсак, бундай функциялар учун | р (
х)/(х)йх
= 0 ва шу билан
■бирга (2.20) формулага кўра
£ Вк / ( х к
) = 0. Демак,
Вп
= 0. Ху-
к=
1
.
/
С1
-(-
Ь
\
2 ? + 1
сусий ҳолда, (2.19) формула сопзЦ л :------- I
кўринишдаги
кўпҳадни аниқ интеграллайди.
Энди худди шу квадратур формулани
п
тоқ бўлганда қарай-
/
а
+
Ь \ п
лик. Бу формула
/ ( х )
= сопз( I л :-------
I
ни аниқ интеграллай-
,ди ва қурилиш усулига кўра ихтиёрий (
п
— 1)-даражали кўпҳад-
ни аниқ интеграллайди. Демак, бундай квадратур формула ихтиё-
рий га-даражали кўпҳадни аниқ интеграллайди.
Шундай қилиб,
тугунлари сони 2
т
— 1 ёки 2
т
бўлса, оралиқ ўртасига нисба-
тан симметрик жойлашган интерполяцион квадратур формулалар
2
т
— 1 даражали кўпҳадлар учун аниқ формуладир. Бунга тўғри
тўртбурчак ва Симпсон формулалари мисол бўла олади.
Тоқ тугунли квадратур формуланинг қолдиқ ҳадини /
(п)(х
) ор-
қали эмас, балки
/ п+1>(х)
орқали ифодалаш учун интеграл остида-
.
,
а
+
Ъ
ги функцияни янада аниқроқ —
Do'stlaringiz bilan baham: |
