|
. . . .
М п—Х
ларни йўқотиб, ушбу
м к
=
9к М к+1
+
Ч
(к
= 1 > л— 2)
(9.14)
М п-1 = ип-1
эквивалент системага эга бўламиз. Бундан эса кетма-кет
Мп_1г
М п-
2
'
• • • >
м \
ларни аниқлаш мумкин.
Салмоқли бош дизгоналга эга бўлган матрицалар учун бу ҳи-
соблаш схемаси шу маънода турғундирки, хато тез сўниб боради
( 0 < — 9
й
< 1). Буни (9.13) ва (9.14) дан осонлик билан кўриш
мумкин. Шуни ҳам таъкидлаш керакки,
рк
ва
цк
миқдорлар фақат
Д,, тўрга боғлиқ бўлиб, тўрнинг тугунларидаги ординаталарнинг
қийматларига боғлиқ эмас. Бу эса муайян
тўр учун
{р/г}
ва
ларнинг қийматларини бир марта ҳисоблаб олиб, тўр тугун-
ларидаги турли хил ординаталар билан сплайнлар қуришга имкон
беради. Сплайнни қуришда ҳисоблаш натижаларини 36- жадвалдаги
схема шаклида ёзиш маъқулдир.
3 6 - ж а д в а л
хк
*к
ч
ак
ч
с к
Ч
Ч
Ч
ак
мк
А
н х
а{
Ь г
Сх
Р\
Ч\
Ч\
М\
Х-2
/а
Н2
а2
ь%
С2
&2
Р-2
Я
3
И2
м 2
Х п - \
Х п
Ч - \
/ п
И-п —
1
Нп
ап- х
Ь п —
1
^ п —
1
1
Р п - \
Яп-
1
и п —\
Мп-\
Агар Дп тўр текис, яъни тугунлар тенг узоқликда жзйлашган бўл-
са, у ҳолда бу схема янада соддалашади:
кк, ак, Ьк, ск
устунлар-
ни ёзмаслик ҳам мумкин.
Шундай қилиб, функциянинг / 0,
/ х ,
. . .
, / п
қийматлари бе-
рилган бўлса, бу қийматлардан фойдаланиэ (9.6) формула ёрдами-
да сплайн - функциялар билан /(% ) ни интерполяциялаш мумкин.
(9.7) формула ёрдамида эса униаг ҳосиласини топиш мумкин.
297
www.ziyouz.com kutubxonasi
Кубик сплайн - функциялар,
юқорида
айтиб ўтилганимиздек
яхши яқинлашиш хоссасига эга. Агар интерполяцияланадиган
/ ( х )
функция
Ск
[
а
,
Ь \
(
к
= 0, 1, 2, 3, 4) синфга тегишли бўлса, у ҳол-
да унинг хатоси
г ( х ) = / ( х )
—
3 ( / , х )
учун қуйидаги баҳони кўр-
сатйш мумкин:
т а х
I г (р) (х)
[ <
ск к~р ( к ^ р )
,
бу
ерда
с
тўрга боғлиқ бўлмаган ўзгармас бўлио,
к
=
т а х
к^.
1
Э с л а т м а . Кўпинча
х * = а
ва
х = Ь
нуқталарда
/ ( х )
функция
ҳақида қўшимча маълумотга ҳам эга бўлишимиз мумкин. Масалан,
сплайн тузишдан асосий мақсад
/ ( а ) + * / ' ( а ) = А, / ( Ь ) + $ / ' ( Ь ) = В
чегаравий шартларни қаноатлантирувчи дифференциал тенгламани
ечишдан (иборат бўлиши мумкин. Бундай ҳолда, сплайн тузишда
М 0 = М п
=з 0 чегаравий шарт ўрнига юқоридаги шартни олиш
керак.
М а ш қ л а р
1.
Лежандр кўпҳадари бўйича қуйидаги ёйилмаларнинг ўринли эканлиги-
ии кўрсатинг:
а) агс з
1
пд: — ^
[
2 Я
к\
]
[ ^*
2 4 + 1
( х )
—
Ряк—
1
( х )
(}
( |л : |< С
1
),
А=0
1
ео
б) (1— 2
р х + р ъ )
2
•= 2
Р к р к ( х )
( | р | < т ! п [
а
: ± /
х'2
— 1
1
) ,
4 = 0
1
в) /
1 _ 2
р х + р *
-
2
Р ь ( х )
( I
Р
| > т а х | * ± /
х 2- \
|).
2.
Чебишевнинг биринчи тур кўпҳадлари бўйича қуйидаги ёйилмаларнинг
тўғри эканлигини кўрсатинг:
оо
а) агс 51п * »=
—
^ (— I
) * - 1
Ъ к ~ —
\ ) 2
(
1 * 1
<
1
).
4= 1
б) агс!е
х =
+ 2
24+1
*
- У (~1)* ( / 2 - 1 )2й+1
р - П
.
.
Л
24+1
Т ък+1
+
{ )
(0 <
X
< оо),
к
*=0
В) агс1д-^ ■= 2 2
24 +
х
а
4 = 0
( _ (4 ) р24+1
_____
Т2к+1
(*)
(Р
“
V
1 + а3, 1*1 < 1),
1 + Х
/ 2
00
I + 2 2 (— 1)й (3— 2 /2 " ) * 7 * ( 2 * - 1 )
( 0
< лг <
1
)
4= 1
*
3.
Иккинчи тур Чебишев кўпҳадлари бўйича қуйидаги ёйилманинг тўғрн
вканлигини кўрсатинг:
___ !___________ ! _ У
{А + 1) ( 1
п
/ Н Е )
( а - Ь х ) * ~ Ь / а + Т * ^
+ 1 ) \
Ь
)
и к ( х ) .
«98
www.ziyouz.com kutubxonasi
4.
Эрмит кўпҳадлари бўйича қуйидаги ёйилмаларнинг ўринли бўлишини
кўрсатинг:
а) зЬ
2 х
оо
« 2 (2 Ғ Ғ Т )Г
№
а
+1
(
х
),
б)
сК
2 х — е
^
к
= 0
1
(2
к)\
Н , к ( х ) .
5
. /
( х ) = с о з х ( 0 < х <
2
я) учун учинчи тартибли энг яхши текис яқин-
лашувчи кўпҳад
Р*ъ ( х )
= 0 бўлишини кўрсатинг.
6
. / (
х ) —
.■ ,* з функция учун [—
1
,
1
] оралиқда иккинчи даражали энғ
1
-\-Х
яхши, текис яқинлашувчи кўпҳадни топинг.
Ж а в о б:
«
1
77
Р 2 ( х )
— —
2
* 2
+ 80 ‘
7. Икки энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳадларнинг йиғиндиси энг яхши
текис яқинлашувчи кўпҳад бўлмаслиги ҳам мумкинлигини мисолда кўрса-
тинг.
8
.
Р ( х )
кўпҳадлар орасида
—
1
<
х
<
1
оралиқда нолдан энг кам оғувчи
ва бирор $
( 5
>
1
ёки $ < —
1
) нуқтада т) қиймат қабул қилувчи кўпҳаднн
аниқланг.
Ж а в о б:
Т п ( х )
с о з п
агс соз
х
К ( х )
=*
1
/ л (
5
) =
с 0 5
п
агс соз 5 *
9. Бош коэффициенти
А
га тенг бўлган
п -
даражали
К ( х )
«-
А х п
+ . . .
кўпҳадлар орасида —
1
<
х <
1
оралиқда нолдан энг кам оғувчисини топинл
Ж а в о б:
А
А
К ( х )
=
2
«-Г
Т п
(х )
2
«—I
с 0 5
п
агс
с о 5
V II Б О Б .
ИНТЕГРАЛЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ҲИСОБЛАШ
1
- §. АНИҚ ИНТЕГРАЛЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ҲИСОБЛАШ МАСАЛАСИ
Амалий ва назарий масалаларнинг кўпчилиги бирор
[а, Ъ\
ора-
,
ь
лиқда узлуксиз бўлган
{(х)
функциядан олинган |
/(х)с1х
аниқ
а
интегрални ҳисоблашга келтирилади. Аммо интеграл ҳисобининг
асосий формуласи
ь
§ /(х)с1х
=
Ғ(Ь) — Ғ(а)
а
_
299
www.ziyouz.com kutubxonasi
(бу ерда
Ғ(х)
функция
/(х)
функциянинг бошланғич функцияси)
амалиётда кўпинча ишлатилмайди. Чунки кўп ҳолларда
Ғ(х)
ни
элементар функиияларнинг чекли комбинацияси орқали ифодалаб
бўлмайди. Бундан ташқари амалиётда
/ (х )
жадвал кўринишида
берилган бўлиши ҳам мумкин, бундай ҳолда бошланғич функция
тушунчасининг ўзи маънога эга бўлмай қолади.
Шунинг учун ҳам аниқ интегралларни тақрибий ҳисоблаш ме-
тодлари катта амалий аҳамиятга эга.
Биз бу бобда
/ ( х )
функцияларнинг етарлича кенг синфи учун
ь
|
/(х)с1х
аниқ интегралнинг тақрибий қийматини интеграл остида-
а
'
ги
/(х)
функциянинг [
а, Ь]
оралиқнинг чекли сонда олинган нуқ-
таларидаги қийматларининг чизиқли комбинациясига келтирадиган
методларни кўриб чиқамиз:
Ь
п
У ( х ) й х ^ ^ А ^ / ( х М ) .
(1.1)
а
к=1
Бу ерда
х ^ ( к =
1, 2, . . . ,
п) квадратур формуланинг ту~
гунлари,
квадратур формуланинг коэффициентлари
ва
П
2
^ / / ( х 1
/ ) квадратур йиғинди
дейилади. Агар интеграллаш
чегаралари
а
ва
Ь
квадратур формуланинг тугунлари бўлса, у
ҳолда квадратур формула
„ёпиц типдаги
", акс ҳолда эса
„ояиц
типдагиа
дейилади. Квадратур формуланинг тугунлари
х/'1
ва
коэффициентлари
функциянинг танланишига боғлиқ бўлмас-
лиги талаб қилинади.
Ушбу
Я«(Я = |
/(Х)с1х
- 2
АР Л * к п))
(1.2)
а
к=1
ифода зса (1.1)
квадратур формуланинг қолдиц ҳади
ёки
ха-
гпоси
дейилади.
Одатда (1.1) формулага нисбатан умумийроқ квадратур фор-
мула қаралади. Фараз қилайлик, Ф чекли ёки чексиз
\а, Ь]
Do'stlaringiz bilan baham: |
