|
ва
йк +1
( / = 1 , 2,
. . . ,
т
— 1) сегментларда
Р ( х ) —/ ( х )
қарама-қарши ишораларга
эга, шунинг учун ҳам бу сегментлар умумий четки нуқталарга эга
эмас ва улар ўзаро (£ ) сегмент бўлмаган сегментлар билан аж-
ралган бўлиши керак. Шунинг учун ҳам 2 у ( у = 1 ,
2,
, т
— 1)
нуқталарни шундай танлаш мумкинки, улар
дан ўнгда ва сЦ+г
дан чапда ётади.
Қуйидаги
,о ( х ) = ( г 1 — х ) ( г 2 — х ) . . . ( г т^ — х)
т
— 1 ( < « ) - даражали
кўпҳадни
тузайлик.
(8.8) сегментлар-
нинг биринчи группасида
ю( х)
ҳамда
Р ( х ) — / ( х )
айирма мусбат,
иккинчи группада
V
(д) ҳамда
Р ( х ) — / ( х )
айирма манфий ва ҳо-
казо. Барча
(Е)
сегментларда 51§п
(лс) =
( Р ( х
) —
/(•* )),
(Е)
сегмент бўлмаган барча сегментларда
|
Р (х) —
/ (х)
|
<
Е п
(/).
Айтайлик, бу сегментларда
|
Р (х)
—
/ ( х )
|
<
Е'
<
Е п
(/)
бўлсин.
ЭнДи шах |
V (х)
| = р деб олиб, X мусбат сонини шундай танлаб
оламизки,
ХР <
Ея ( / ) — Е'
ва
ХР <
Еп
( / )
тенгсизликлар бажарилсин. Даражаси
п
дан ортмайдиган
0 (х) = Р (х) — IV (х)
кўпҳаднинг
/ ( х )
дан огиши
Еп(/ )
дан кичик эканлигини кўрсата-
миз. Ҳақиқатан ҳам, ҳар бир
(Е)
сегмент бўлмаган сегментларда
I <3 (*)
— / ( х )
| < |
Р ( х ) —/ ( х )
| + X |
V (х)
| <
Е'
+ ХР <
< Е ' + (Еп (/) — Е')
= £■„(/).
19-2103
289
www.ziyouz.com kutubxonasi
Ҳар бир
(Е)
сегментда 51§п
(Р
(л:) —
/ { х ) )
= з
1
§п
V {х), ^ { х ) / * 0
ва | Я ( х ) —
/ { х )
| >
£■„(/), | X
V {х)
| < у
Еп
( / ) бўлгани учун
1С ( * ) - / ( * ) I = I
Р(х) - \ ^ { х ) - Г{х)
| = |Р (д :) - / ( * ) | -
— * I
V {х)
| ^
Еи { / ) —
X |
V
{х)
| <
Еп
( / ) .
Шундай қилиб,
Р { х )
энг яхши текио яқинлашувчи кўпҳад эмас
экан. Бу қарама-қаршилик
т
>
п
+ 2 эканини ва яна шу билан
теореманинг ўринли эканини исботлайди.
Ягоналик теор ем аси . Узлуксиз функдия учун даражаси
п
дан
ортмайдиган энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳад ягонадир.
И сбот. Фараз қилайлик, даражаси
п
дан ортмайдиган энг яхши
текис яқинлашувчи кўпҳадлар иккита
Рп{х)
ва
0.п {х)
бўлсин:
(1п{ х ) Ф Р п{х),
ц д л - / | | = ц я „ - / | Н £ ’„ ( Д
Бундан
/ -
Рп
+ Рп
2
<
Р п - Ў
2
+
Рп
—/
2
- Е п{/).
Демак,
{Рп
(х) + ( + (х)) кўпҳад ҳам [энг яхши текио яқинла-
шувчи кўпҳад экан. Фараз қилайлик
х г , х
2 , . . . ,
х п+2
шу кўп-
ҳадга мос келувчи Чебишев альтернансининг нуқталари бўлсин.
У ҳолда
1/г
\ Р П
(+ ) +
(+ )] —/( * : ) | =
Е П
( /) ( / “= 1 , 2 ..............л + 2)
ёки
I
[Рп
(**)
- / ( х д )
+
[Оп (Х{)
- / ( .
х
,)] | = 2
Еп
(/).
(8.9)
Лекин
I
Р (XI )
- / ( * , ) | <
Еп {/),
I
(Х1 ) - / ( Х1) \ < Еп
(/).
(8.9) тенглик фақат
Д ( * * ) - / ( * ! ) = £ „ ( / ) ,
(Х1)—/ ( Х 1) — Ея (/)
бўлган ҳолдагина бажарилади. Бундан,
п
+ 2 нуқтада иккита га-
даражали
Рп (х)
ва ( / (х) кўпҳадлар қийматларининг ўзаро устма-
уст тушишлари келиб чиқади, бу эса уларнинг айнан тенғ экан-
ликларини билдиради.
Энди бир неча мисоллар келтирамиз.
.
1
- м и с о л (энг яхши яқинлашадиган ўзгармас). Фараз қилайлик, узлук-
сиз /
( х )
функция учун унга энг яхши яқинлашадиган ўзгармасни, яъни но-
линчи даражали кўпҳадни топиш талаб қилинган бўлсин.
Айтайлик,
М
= ш ах/
( х ) , т
= т1п / (
х )
бўлсин. У ҳолда б
>0
=
~п ( М + т )
а< х< Ь
а< х< Ь
л
изланаётган энг яхши яқинлашувчи нолинчи даражали кўпҳад ва шу билан
бирга
£ 0
( /) =
-т;
( М
—
т )
бўлади. Бунинг исботи шунга асосланганки,
/ ( х г) — М
ва /(лг2) =
т
тенгликларни қаноатлантирувчи
х ^
ва
х л
нуқталар
Чебишев альтернансининг нуқталаридир.
290
www.ziyouz.com kutubxonasi
2
- м и с о л (энг яхши чизиқли функ-
ция).
/ ( х )
функция икки марта узлуксиз
дифференциалланувчи бўлиб, /" (л:) ҳосила
[ а , Ь ]
оралиқда ўз ишорасини саҳласия деб
фараз қилайлик. Аниқлик учун / ' ( ^ ) < 0
деб ҳисоблайлик. Бу функцияга энг яхши
яҳинлашувчи биринчи даражали кўпҳадни;
топиш талаб қилинсин. Масаланинг ечили-
шини чизмада тушунтирамиз (
2 2
-чизма).
Функция графигидаги
( а , / ( а ) )
ва
( Ь , / ( Ь ) )
нуқталарни < кесма билан бирлаштира-
миз — бу кесма чизиқли функция
1Х
(х) нинг
графигидир.
[ а , Ь
] оралиқда ягона
й
нуқта
топиладики, у нуқтада графикка ўтказилган
уринма + га параллел бўлади (чунки
/ " ( л : ) <
0
);
/ 2
— чизиқли функция /
2
(л:) нинг гра]зигидпр.
Энди равшанки, С+
( х )
=
0,5 (А (л:) +
/2
( х ) )
изланаётган энг яхши яҳин-
лашувчи чизиҳли функциядир. Осонлик билан кўриш мумкинки,
а , й , Ь
нуқ-
талар Чебишев альтерпапсининг нуқталаридир.
5-
бобда Лагранж интерполяцион формуласининг қолдиҳ ҳади-
ни минималлаштириш мақсадида интерполяция тугунлари сифатида
(« + 1)- тартибли
Т [п+\] (х)
кўпҳаднинг
а
+
Ь
.
Ь
—
а
я (2/г — 1)
х к ~ '
2
1
2
0 0 3
2
( п
+
1
)
( к =
1, я + 1)
илдизларини олид, қуиидаги
\/(х) - Ьп
М | < пих
\ / п+»
(х) |
^ п + Т ^ у
баҳога эга бўлган эдик. Бундан
Еп( / ) =
т а х | / (п+1)
а < х < 1 >
( Х ) \
(,
Ь—а)п+
1
2ал+1
(п
+ 1)1
(
8
.
10
)
келиб чиқади.
Фараз қилайлих,
Рп (х)
кўпҳад
/ ( х )
функция учун энг яхши,.
текис яқинлашувчи кўпҳад бўлсин. Чебишев теоремасига кўра
/ ( х ) — Р п(х)
айирма
(п
+ 1) та
х
г ,
х 2
, . . . ,
х
п + 1
нуқталарда
нолга айланади. Шунинг учун ҳам
Рп(х)
ни тугунлари х , ,
х
2 ,
. . . ,
х п+х
лардан иоорат бўлган интерполяцион кўпҳад деб қа-
раш мумкин. 5- боб (4.1) формулага кўра интерполяция хатоси
учун
/ ( Х) -
р
: (
х
) = /
п
+^ ( 1 ) ^ ± 1 ^ ) ,
.
“« • и М = ( * — + ) • • •
(х — х п+1),
£ € [ « ,
Ь\\
формула ўринлидир. Фараз қилайлик,
шах |«)„+
1
(
х
) | = |
сй
„+1(
л
0) |
а < х < Ь
бўлсин. У ҳолда
£■«(/) =
■=|/(л+1)
II
/ ~ Р п
I 0)п + 1 (+)) I
(п
+ 1)!
II
> \ / ( х 0) - Р *п(х
0) | =
> Ш
1
П | / (л+1)
(х)
| • шах
а < х < Ь
а < х < Ь
I
»>п+
1
(х)
I
(л+1)1 *
291
www.ziyouz.com kutubxonasi
Иккинчи томондан
Т
\?’ 61 (л:) нолдан энг кам оғувчи кўпҳад бўл«
ганлиги учун
’
т а х | (ол+1 (л:) | > т а х
а < х < Ь
а < х < Ь
т
[а. 6]
п
(Ъ —
а)л+1
22Л + 1
1
Бундан қуйидаги баҳога эга бўламиз:
| /
* (х )1 22я+1 (Я-)-1)! *
(8 -И )
Шундай қилиб, агар / <л+1>(л:) ўз ишорасини сақласа ва секин ўз-
гарса у ҳолда энг яхши текис яқинлашувчи кўнҳаднинг хатоси
билан Чебишев кўпҳадларининг ноллари бўйича тузилган интерпо-
ляцион кўпҳад хатоси орасидаги фарқ айтарли катта бўлмайди.
Айтилганларни қуйидаги масалага қўллаш мумкин.
3- м и с о л . Берилган
( п
+ 1)- даражали
/ (л)
Оя+1 (-4 — +>
+
X
“р ... * ) -
Лл+Қ #л+1 + 0
кўпҳад учун энг яхши текис яқинлашувчи Р*
( х )
кўпҳад топилсин. Бу ҳолда
/ (я+1)
( х )
= а
л + 1
( п
+ 1)! бўлганлиги туфайли
Do'stlaringiz bilan baham: |
