|
.V
X
X
X
3
М
хДх)
Х=Лх)
1
+)
х о
4
X4
х о
А х о)
*о/(*о)
4 / ( х о)
1
* 1
х \
4
X4
Х 1
А Ч )
X
!/(* !)
х \ / ( х г)
1
4
г 3
х 2
X 4
х 2
/( + .)
+ / ( + )
х
2
2/ (
х
2)
1
4
г 3
х 3
4
/ Ш
х г / ( х г )
х \ / ( х
з)
1
* 4
X 2
Х 4
X 3
Х4
X4
Х4
/ м
+ / ( + )
4
/ ( + )
«0
«1
*2
«3
'
^2
3 4 - ж а д в а л
X''
X
х г
* 3
**
Л х )
х Л х )
*’/(*)
1
0,78
0,608
0,475
0,370
2,50
1,950
1,520
1
1,56
2,434
3,796
5,922
1 , 2 0
1,872
2,921
1
2,34
5,476
12,813
29,982
1 , 1 2
2,621
6,133
1
3,12
9,734
30,371
94,759
2,25
7,020
21,902
1
3,81
14,516
55,306
210,717
4,28
16,307
62,604
5
11,61
32,768
102,761
341,750
11,35
29,770
94,604
Бундан
а 0, а ъ а 2
коэффициентлар аниқланадиган система қуйидаги кўриниш-
га эга бўлади:
5я
0
+ 11,61«! + 32,768
д
2 = П.350,
1 1,61
йо
+ 32,768+ + 102,761«3 = 29,770,
32,768«0 + 102,761«! + З41,750«3 = 94,604.
Бу системанинг ечими
«о = 5,045; «! = — 4,073;
« 2
= 1,009
бўлиб, изланаётган кўпҳад:
0 2(*) = 5,045 — 4,073.*+ 1,009*2 дир.
Энди /( * ) га тегишли дастлабки маълумотни Р 2(*) нинг қийматлари
б и л а н
солиштирайлик. Натижалар 35- жадвалда келтирилган.
Урта квадратик усул билан ҳисоблашнинг хатоси:
.
3 5 - ж а д в а л
X
.
Л х )
ФэС*)
<Эа<*) -
Л х )
0,78
2,50
2,505
+ 0 ,0 0 5
1,56
1 , 2 0
1,194
—0,006
2,34
1 , 1 2
1 , 1 1 0
—
0 , 0 1 0
3, 12
2,25
2,252
+
0 , 0 0 2
3,81
4,28
4,288
+ 0 ,0 0 8
282
www.ziyouz.com kutubxonasi
Тригонометрик
кўпҳадлар ёрдамида ўрта квадратик
яқинлашиш.
Фараз қилайлик, даври 2^ га тенг бўлган
/ ( х )
функдиянинг [0, 2тс] оралиқнинг тенг узоқликда жойлашган
=
1. • •• . я — 1)
п
та нуқтадаги
/ ( х 0), / ( х / ,
. . . ,
/ ( х п-\)
қийматлари берилган
П
бўлсин. Тригонометрик кўпҳад
Тк
(х) — 2
[атсозтх
+
Ьт&ттх]
к=
0
даги
а т
ва
Ът
козффициентларни шундай танлайликки,
п > 2 к
бўлганда
п
— 1
2 [/(*;•)- П ( Х , ) ] 2
1=0
ифода энг кичик қийматга эришсин.
Одатдагидек,
дан барча
а г
ва
Ь{
лар бўйича ҳосила олиб,
уларни нолга тенглаштирсак, қуйидаги тенгламалар системаси ҳо-
сил бўлади:
к
п
—1
п
—1
'
2
2
соз
тХ]
соз
1х,
+
Ьт
2
чштх^
с о 5 /х /]=
т=
0
/=0
/=0
п—
1
в 2/(*/)
соз/Л /,
/=о
Л
п— 1
п
—
• 1
2
2
С 0 8
т х 1
8 * п
^ Х 1
+
^т2
8 +
Ь Х ]
5 1 П
1Х]\
=
т=
0
/=0
/=0
п—1
= 2 / ( + ) з!п /+
/= о
(7.6)
Бу системанинг коэффициентларини соддалаштириш мақсадида бар*
ча
I,
т = 0, 1, . . . ,
к
лар учун қуйидаги тенгликларни исбот-
лайлик:
п—
1
п —
1
2 соз
т х
=
/=о
п— 1
, 5 1 П т
х
0
;
1 = 0
| 0, агар
т ф О
бўлса,
I
п,
агар
т
= 0 бўлса;
2 С05 тл :у- 51п
1х}-
= 0;
/=о
гг— 1
2
С 05
тх <
С08 /х,-
=
/ = 0
7
'
0, агар
т ф 1
бўлса,
+ , агар
т — I
# 0 бўлса,
. «, агар
т = I — 0
бўлса;
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
283
www.ziyouz.com kutubxonasi
0, агар
т ф 1
бўлса,
-тр, агар
т = 1 ф
0 бўлса,
(
7
.
11
)
0, агар
т — 1 =
0 бўлса.
Ҳақиқатан ҳам, (7.7) — (7.8) тенгликлар
т —
0 бўлганда кўриниб
турибди,
т ф
0 бўлганда уларга ишонч ҳосил қилиш учун қуйи-
даги
П—\
2
&1п'тх/
51п
1х} —
]
/=о
тг—
1
п —
1
п —
1
п —
1
2
С05
т х /
+
1
5 зш
т
х , —
2
е Ш х >
/ = о
/=0
/=0
/ = о
1
=
0
тенгликда ҳақиқий ва мавҳум қисмларини нолга тенглаштириш
кифоядир. (7.9) тенгликни кўрсатиш
учун унинг чап томонини
қуйидагича ёзиб оламиз:
п
—1
1
1
2
с °5
т х )
5
'ш1х}
=
-п
2
+
т ) х ,
+
5Ш
( I
—
т)х,\
=а
/= 0
^ /=0
1 П_1
I ”-1
«=
~2
2 з т
(I
+
т)х{
+
2 з!п
~
т)х}.
/= о
/=0
Охирги йиғиндилар (7.7) — (7.8) тенгликларга кўра нолга тенг.
Қолган тенгликлар ҳам шу йўл билан келтириб чиқарилади.
Исбот қилинган (7.7) — (7.11) тенгликлардан фойдаланиб,
а т
ва
Ьт
лар учун қуйидагига эга бўламиз:
п—
1
1
/( * /) .
/=о
2
П~~
*
а ™==+ 2 / ( + ) с° з т + .
/=0
^
=
4
2
/ ( * / )
51
П
ГПХ].
/=о
(7.12)
Бу формулалар
Бессел формулалара
дейилади.
Агар қаралаётган
Дх )
функция жуфт бўлса, у ҳолда
Ьт =
0
(т
= 1,
к)
бўлиб, аксинча у тоқ бўлса, у ҳолда
ат
= 0
(т
= 0, £)
бўлади (бу ерда /(0 ) == /(л ) эканлиги назарда тутилади).
Бундай ҳолларда (7.12) даги нолдан фарқли коэффициентларни
ҳисоблаётганда, йиғишни [0,
2%]
оралиқнинг ярми бўйича бажа-
риб сўнгра натижани иккилантириш мумкиндир.
284
www.ziyouz.com kutubxonasi
М и с о л. [0,
2 и ]
оралиқда қуйидаги қиймаглари берилгаи жуфт / (
х
)
функция учун унга яқинлашувчи учинчи таргибли тригонометрик кўпҳад
топилсин:
X
0
%
1
7Т
Т
|
т
Зтс
Т
71
№
0
2
5
3
0
Е ч и ш. Бу ерда
п
=
8
,
/ ( х )
жуфт бўлгани учун
Ьт
= 0
а т
лар қуиидагича топилади:
ао
= 8
/=0
/(■*;)
/ = о
_
10
" ~ Т
3
5
2~’
I V
1 VI
т к /
-4
^ / (^ /)
с05
«■*/ =
-2
^ / (^у)
с03
~Т
■
~
/=о
/=о
/ Т
5
Бундан «! = — Т - ’
а 2
=
—
"2
/ 2
“з —
бўлиб,
ва
Демак, изланаётган кўпҳад қуйидагидан иборат:
А
е
■
/ 2
2 — ^
х —
2 с03
~1~
4
5
/ 2
Гз(*) = Т - '
8- §.
ЭНГ
я х ш и ТЕКИС ЯҚИНЛАШУВЧИ АЛГЕБРАИК КЎПҲАДЛАр
Энди
[а, Ь\
оралиқда узлуксиз бўлган / (х) функция учун
£ ■ „ ( /) =
1
п{
шах
| / ( х ) —
Р п{х)\
(8.1)
Р„£Я„(Р) а<*<й
тенгликни таъминловчи
(х) алгебраик кўпҳаднинг мавжудлиги-
ни, ягоналигини ва қуриш мумкинлигини кўрио ўтамиз. Бу ерда
Нп(Р
) даражаси
п
дан ортмайдиган алгебраик кўпҳадлар тўплами.
1-
теор ем а.
[а,Ь\
оралиқда узлуксиз бўлган, ихтиёрий / ( х )
функция учун энг яхши яқинлашувчи
Рп
(х) алгебраик кўпҳад мав-
жуд.
И сбот. Ихтиёрий
/ ( х ) £ С [ а , Ь \
учун қуйидагича аниқланган
| | / ( х ) ] | = шах | / ( х ) |
а < х < Ь
сон норма таърифидаги ҳар уч шартни қаноатлантиради. Шунинг
учун ҳам
111/1 II - IIЛ III <11/- Л II
(8-2)
тенгсизлик ўринлидир. Энди ихтиёрий
Рп(х)£Нп (Р)
в а
/ ( х % С [ а , Ь\
учун қуйидаги белгилашларни киритамиз:
Р„
гаах
| | / _ р „ | | = т а х
а< х < Ь
^
&& х к
1 —
ғ 0
(а0, а^,
. . .
-0
1
.
ая),
(8.3)
п
1
' ^
ак х к \ = Ғ ^ (а0
,
й
/ , , .
й=0
1
.. -V-
.
,а„).
(8.4)
285
www.ziyouz.com kutubxonasi
Агар
/ ( х )
ни қатъий белгилаб,
Рп{х)
ни
Ип (Р)
тўплам бўйича
ўзгартирсак, (га + 1) ўлчовли
(а0 , а ,
.............
а„)
фазода аниқлан-
ган
Ғ0
ва
Ғў
функцияларга эга бўламиз. Бу функциялар (8.2)
тенгсизликка кўра
а0 ,
а, , . . . ,
ап
коэффициентларнинг узлуксиз
функцияларидир.
Ҳақиқатан
ҳам,
берилган е учун
8 = е/шах ( 2 I
а \к’
2 I
Ь
I*) деб олсак. У ҳолда )
аь
— а / 0) | < 8
(I
к
=о
к
=0
Do'stlaringiz bilan baham: |
