|
бинацияси ёрдамима ифодалаш мумкин.
Ўнг томонда эса / = у '
бўлгандагина фақат битта интеграл бирга, қолганлари нолга тенг:
ь
а .
|
р(х)Р*(х)с1х
= 0.
а
ч
Демак, барча у
< п
— 2 лар учун + = = 0 .
Шундай қилиб, (4.2)
тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:
х Р п(х)
=
ап- 1Рп-
1
(х)
+
апРп(х)
+
р п+х(х).
(4.3)
гп+1
Бу ерда
а
п - 1
ни аниқлаш учун (4.3) ни р
(х)Рп~\(х)
га кўпайти-
риб, [
а , Ь\
бўйича интеграллаймиз. Натижада
ь
ь
а-п
- 1
= | р
(х)хРп^ ( х ) Р п(х)с1х
=
( р(х)[
1
лях л+ . . .)Х
а
Р-"
а
Ь
Х Р п(х)с1,х
=
| р
(х)Р2„(х)с1х
Р-п
£
Буни (4.3) га қўйсак, (4.1) келиб чиқади.
Рп-1
Рп '
268
www.ziyouz.com kutubxonasi
Шуни ҳам таъкидлаш керакки, Р _ ,(х ) = 0 деб олсак, (4.1) фор*
мула барча
п
> 0 учун ўринли бўлади.
К р и ст оф ел -Д ар бу айнияти. Ортогонал кўпҳадлар назария-
сида муҳим аҳамиятга эга бўлган
Кристофел-Дарбу айнияти-
ни
чиқарамиз.
7
2 -т ео р ем а . Ортонормал кўпҳадлар учун ушЗу Кристофел-Дар-
б у айнияти ўринлидир
^ Р к{х)Р,Ау)
й= 0
—
(х«+1
Рп +1(Х)РП(У)
—
Рп(х)Рп+1<-У)
х — у
И сбот. (4.1) тенгликни
Р„(
у )'га кўпайтирамиз:
(4.4)
Рп+1(х)Рп{у) = { х - *п)Ра{х)Рп(у) - ^ Р п- Х(х)Рп(у),
бунда
х ва у
ларнинг ўринларини алмаштирамиз:
Рп+1(у)Ра(х)
= (у -
ап)Ра(х)Рп(у)
-
^
Рп-г(у)Р„(х)
. ва биринчи тенгликдан иккинчисини айирамиз:
(X -
у)Рп(х)Рп(у)
=
[Рп+1(х)Ра(у) - Рп+1(у)Рп(х)}
-
Рп
+ 1
- ^ = ± [ Р п(х)Рп- Х( у ) - Р п-,(х)Рп(у)1
Бу тенглик барча
п
> 0 лар учун ўринли бўлганлиги сабабли,
уни барча
и, п
— 1, . . . , 2, 1, 0 номерлар учун қўшиб чиқсак,
(4.4) тенглик келиб чиқади.
Ортогонал к ўп ҳадлар нолларининг хоссал ар и . Ортогонал
кўпҳадлар ҳисоблаш жараёнлари—интерполяция, тақрибий диффе-
ренциаллаш ва тақрибий интеграллашда кенг қўлланилади. Бу зса,
асосан, ортогонал кўпҳадларнинг ноллари ажойиб хоссаларга эга
бўлганлиги туфайлидир.
3-
теор ем а.
(а, Ь
) оралиқда ортогонал
Рп(х)
кўпҳаднинг бар-
ча илдизлари ҳақиқий ва ҳар хил бўлиб,
улар
(а, Ь)
интервалда
ётади.
И сбот.
Рп(х)
кўпҳаднинг тоқ каррали ва
(а, Ъ)
да ётувчи
илдизларини кўриб чиқайлик. Фараз қилайлик,
бу илдизларнинг
сони
т
бўлиб, улар
х[, х'2,
. . . ,
х'т
бўлсин. Теорема исботлани-
ши учун
т = и
эканлигини кўрсатиш кифоядир, чунки бундан
Рп(х)
нинг бошқа илдизлари мавжуд эмаслиги ва уларнииг туб-
лиги келиб чиқади. Тескарисини фараз қилайлик, яъни
т < Ш
бўлсин. Ушбу
д(х) = (х — х})
. . .
(х — х'т)
кўпҳадни тузамиз. Унинг
т
даражаси
п
дан кичиклиги сабабли
| р
(х)Рп(х)д(х)с1х
= 0
269
www.ziyouz.com kutubxonasi
бўлиши керак. Аммо бу тенглик бажарилмайди, чунки
д(х)
ва
1
Рп(х)
ларнинг - ишоралари бир хил нуқталарда алмашинади ва
1
д(х)Рп(х)
кўпайтма
\а, Ь
] да ўз ишорасини сақлайди. Бундан таш-
*
қари
д(х)Рп(х)
фақат чекли сондаги нуқталардагина нолга айла-
|
нади, шунинг учун ҳам юқоридаги ифода айнан ноль эмас. Демак,
]
Ь
:
леммага кўра | р
(х)д(х)Рп(х)йх
нолдан
фарқли
бўлиши керак.
:
а
.
'I.
Шундай қилиб, қарама-қаршилик
келио чиқади.
Теорема исбот-
:
ланди.
,
5 -§ . ЭНГ КЎП ҚЎЛЛАНИЛАДИГАН ОРТОГОНАЛ
КЎПҲАДЛАР СИСТЕМАЛАРИ
Қуйида ҳисоблаш математикасида кўп қўлланиладиган орто-
гонал кўпҳадлар систёмаларини келтирамиз.
Биз бу системалар-
нинг берилган вазн бўйича ортогонал системани ташкил этишла-
рини исботлашни, рекуррент муносабатлар келтириб чиқаришни,
шунингдек, уларнинг нормаларига топиш билан боғлиқ бўлган ҳи-
соблашларни бажаришни ўқувчиларнинг ўзларига ҳавола қиламиз
(шунингдек, [9, 37] дан ҳам қарашлари мумкин.)
Якоби к ўп ҳадл ар и . Қуйидаги
р п
Р)(х ) = (- ^ д г (1 “
х )~ а
(1 +
х)~ 9
1(1 “
х)а+п{
1 +
Х)ПЧ
кўпҳадлар
Якоба кўпҳадлара
деб аталади. Булар [ — 1,1] ора-
лиқда
р(дс) = ( 1 —
х)а
(1 -|-
х)?
вазн билан ортогонал кўпҳадлар системасини ташкил этади. Улар-
нинг нормалари:
I
\р{п'
Р)1) =
| (1
— х у
(1 +
х ў
[/>„<“•
*\х)]Чх
=
. =
Г 2*-НМ-1Г(а
+ я +
1)Г(р +
п
+ 1)
1 1 / 2
_ и!(а ~}~
2 п
1
)
1 1
(а--}-|
3
-{~/
2
-)- 1)
Улар қуйидаги рекуррент муносабатларни қаноатлантиради:
(а
+ р + 2
п )(а .
+ р + 2л + 1)(я + Р + 2л +
2
)хР ^
«(%) =
= 2 ( я + 1 ) ( а + р + / г + 1 ) ( а + р +
2 п ) Р ^ ) ( х )
+
- Я)(а
+ р +
+
2п
+
1)Р<£-
Р>(х) + 2(а +
п)ф
+
п)(
х + р +
2п
+
2 ) Р ^ \ х ) .
Л еж андр к ўп ҳадл ари . Якоби кўпҳадларининг
а —
р = 0 ва
р(х)
= 1 бўлгандаги хусусий ҳоли
Лежандр кўпҳадлари
деб
аталади ва улар
Родриг формуласи
^-л(х ) =
'
Ох“
~
1)Л
870
www.ziyouz.com kutubxonasi
билан аниқланади. Унинг нормаси
1 М
- 1 /
г т т
Г
-1
бўлиб, тегишли рекуррент муносабат эса
(п
+ 1)/.„+1(
д
:) — (2« +
\)хЬп(х)
+
пЬп-\(х)
= 0
(5.1)
дан иборат.
Лежандр кўпҳадларидан фойдаланиб,
/ ( х ) £ 1 ? \
— 1, 1] функ-
ция учун ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлашувчи кўп-
ҳад қуриш мумкин. Бу кўпҳад
П
Чп(х)
= 2
а ^ ( * )
0
бўлиб, бу ерда
«й = ^ у ~ I
/ ( х ) Ь к(х)йх.
(5.2)
Энг кичик оғишининг миқдори қуйидагига тенг:
** = |
Ш
-
^п(х)?с1х = \ / \ х ) й х -
(5.3)
Лежандр кўпҳадининг дастлабки еттитаси қуйидагилардан иборат:
Ьй(х) = \,
Ц(х) = х ,
Ь2(х)
=
\ (Зх
2 — 1),
1 *з(х) =
\ ф х 3
—
3х),
.
а д = - ^ (3 5 х * -3 0 л :2 + 3),
Ьй(х)
= ^ (65л:5 -
70х3
+ 15л),
и ( х )
= ^ (231х6 — 3 1 5 х 4 + 105х2 — 5).
Мисол сифатида
ў(х)
= 1/(1 +
х2)
функцияни [—1, П оралиқда 4-дар^>
жали кўпҳад билан ўрта квадратик маънода яқинлаштирамиз.
Ечиш. Лежандрнинг тоқ индексли кўпҳадлари тоқ кўпҳад ва жуфт ии«
декслилари жуфт кўпҳад бўлгани учун (5.2) формулага кўра
П
5
9 /
320
\
йх
=
а3
=
аь
= 0,
а0
=
«з = у (3 — я), ^ = — I
3 4 п
----- — I.
271.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Д ем ак ,
«= — [455тс — 1680 + 2 (7 5 6 0 — 2 4 1 5 л )л ;2 + (5 3 5 5 * — 1 6 8 0 0 )* 4];
64
Қуйидаги теорема ўринлидир.
1-теорема.
Агар / ( х ) функция [— 1, 1] оралиқда узлуксиз
ва чегараланган
/ ’{х)
ҳосилага эга бўлса, у ҳолда
/ ( х )
функция-
нинг Лежандр кўпҳадлари бўйича Фурье қатори [ — 1, 1] оралиқ-
да унга текис яқинлашади.
Чебишевнинг биринчи тур кўпҳадлари.
Биз 4- бобда та-
нишган
Чебишевнинг биринчи тур кўпҳади
рекуррент муносабат келтириб чиқарилган эди. Чебишев биринчи
тур кўпҳадларининг дастлабки еттитаси қуйидагилардир;
а д =
1
,
Т / х )
= х ,
Т2(х)
=
2х2
— 1,
Тв(х) —
4 х 3 —
Зх,
Т,к(х)
= 8 х 4 — 8 х 2 + 1,
Т ъ(х)
= 16 х 5 — 2 0 х 3 + 5 х ,
'
Т6(х)
= 3 2 х 6 — 4-8х4 + 18х2 — 1.
Энди [— 1, 1] оралиқда
р(х) =
( 1 — х 2)
вазнда квадрати билан
интегралланувчи
/ (х )
функция учун Чебишевнинг биринчи тур
кўпҳадлари ёрдамида топилиши мумкин бўлган энг яхши яқин-
лашувчи
Тп(х)
== соз(/г агссоз
х), \х\
^ 1,
1
[— 1, 1] оралиқда р(х) = (1 —
х 2) 2
вазн билан ортогонал система-
ни ташкил этади. Бу кўпҳаднинг нормаси
\\тп\\
= У
|
+ !
У
1 — х2
|
у
—, агар
п
> 0 бўлса,
га тенг. 4- бобда қуйидаги
Тп+\(х)
= ?хГ„(х) —
Тп-^Х)
,г
П
<2п(х)
= 2
а кТк(х)
272
www.ziyouz.com kutubxonasi
Do'stlaringiz bilan baham: |
