|
чи кўпҳадга оғирроқ шарт қўйилади,
чунончи,
\а, Ь\
оралиқ-
нинг барча нуқталарида
/{х)
нинг
Р{х)
дан оғиши берилган миқ-
дордан кичик бўлиши талаб қилинади. Биз
/{х)
функция
\а, Ь\
да узлуксиз ва
Р{х)
алгебраик кўпҳад бўлган ҳолни кўрамиз.
Фараз қилайлик,
Нп{Р)
даражаси
п
дан ортмайдиган
Р п(х) = а 0
+
а , х
+ . . . +
а пх п
алгебраик кўпҳадларнинг тўплами бўлсин.
Агар
/ { х )
функция
\а, Ь\
оралиқда узлуксиз ва
Рп{х) £ Нп{Р)
бўлса, у ҳолда
/ { х)
нинг
Рп{х)
дан
\а, Ь\
оралиқда оғишини, яъни
шах
\ /{х) — Р п{х)\
а < х < Ь
ни
Еп{/, Р п)
орқали белгилаймиз. Бу миқдор
Рп{х)
кўпҳад коэф-
фициентлари
а 0, а и .
. . ,
ап
нинг функцияси бўлиб, у манфий
260
www.ziyouz.com kutubxonasi
эмас ҳамда бу миқдор манфий бўлмаган аниқ қуйи чегарага эга
бўлади:
£ • „ ( / ) =
шГ
Еа( / , Р п).
Рп
£
<
Р
)
Агар шундай
Р*п{х)
кўпҳад мавжуд бўлиб,
Еп{ / , Р * ) = Е п{ / )
тенглик бажарилса, у ҳолда
Р*{х)
кўпҳад
энг яхиш текнс
яцинлашувяи кўпҳад ва Еп(/ ) энг к иш к оғиш ёки / нинг
п-даражали кўпҳад билан энг яхши яцинлашиши
дейилади.
ЭҲМ ларда функцияларни ҳисоблаш учун стандарт програм-
малар тузишда берилган
/{х)
учун
Еп{ / )
берилган е дан
кичик
бўладиган
Р*п{х)
кўпҳадни топиш талаб қилинади. Биз бу бобда
мана шундай яқинлашишларни кўриб чиқамиз.
Эллигинчи йиллардан бошлаб математикада
сплайн—яцинла-
шиш
ёки
бўлакли кўпҳадлар
билан яқинлашиш деб аталувчи
янги типдаги яқинлашиш ўрганилмоқда. Бобнинг охирги пара-
графлари мана шу яқинлашишга бағишланади.
2- §. ОРАЛИҚДА АЛГЕБРАИК КЎПҲАДЛАР ОРҚАЛИ ЎРТА
КВАДРАТИК ЯҚИНЛАШИШ
Агар чекли
\а, Ь
] оралиқда р(лг) > 0 бўлиб ва ундан олинган
интеграл мусбат бўлса, яъни
ь
0 < |
р{х)дх
< оо
( 2 . 1 )
а
шарт бажарилса, у ҳолда р(л:)
\а, Ь]
оралиқда
вазн фўнкцияси
дейилади. Агар
\а, Ь\
оралиқ чексиз бўлса, у ҳолда, бундан таш-
Қари,
ь
|
х кр{х)дх
{к
= 0, 1 , 2 , . . . )
а
интеграллар абсолют яқинлашувчи бўлишлари керак.
Лемма. Агар
0„(х) \а, Ь\
оралиқда манфий бўлмаган
п -
дара-
жали кўпҳад бўлса, у ҳолда ихтиёрий
р(х)
вазн функцияси учун
ь
|р(л:)<3,г(х )а Б с > 0
(2.2)
а
тенгсизлик бажарилади.
И сбот. Аввало лемманинг тасдиғи бевосита кўриниб турган
икки содда ҳолни кўрайлик. Биринчидан, агар р(л:) чекли сонДаги
махсус нуқталарга эга бўлса, у ҳолда
[а, Ь\
оралиқнинг бу нуқ-
талардан бошқа нуқталарида р(х) ф„(х) мусбат ва узлуксиз,
шунинг учун ҳам (2.2) даги интеграл мусбат. Иккинчидан
[а, Ь\
261
www.ziyouz.com kutubxonasi
'оралиқда
С),;(х)
мусбат бўлса, у ҳолда
т
орқали унинг бу ора-
лиқдаги минимумини белгилаб,
ь
ь
| р
(х)С}п(х)с1х
>
т
] р
(х)йх
> 0
а
а
тенгсизликка эга бўламиз ва лемманинг тасдиғи бу ҳол учун ҳам
уринли бўлади. Умумий ҳолда, фараз қилайлик,
С)п(х)
кўпҳад
|
а, Ь\
оралиқда
х и х 2,
. . . ,
х„
илдизларга эга бўлсин. У ҳолда
<2.1) шартга кўра р(л:) вазндан [
а , х л\, [хи х 2],
. . . , [х 5,
Ь\
ора-
лиқлар бўйича олинган интегралларнинг камида биттаси мусбат
«бўлиши керак. Бундай оралиқ учун:
н
+ 1
—6
Н
+ 1
Н т
|
р(х)йх —
|
р(х)йх
> 0.
(2.3)
Демак, етарлича кичик
е
учун
р(лг)
вазн \х /
-фе, л;г+1 — в]
ора-
лиқ бўйича мусбат. Лекин бу оралиқда
<3„(л:)
кўпҳад илдизга эга
вмас, шунинг учун ҳам
т(г)
орқали
()п(х
)
нинг
[хс
+ е,
Х(+\
— е]
■оралиқдаги минимумини белгилаб олсак, қуйидаги тенгсизликлар-
ж-а эга бўламиз:
Ь
х 1 +
1 - Е'
х 1+1
—е
I
р(х)<э„(х)йх
>
|
Р
(х)(Зп( х ) й х > т ( е )
|
р(л:)й?л:>0.
а
Х1
+ е
+
г
Базндан [
а , Ь[
оралиқ бўйича олинган интеграл мавжуД ва р(л:)>
> 0 бўлгани учун (2.3) интеграл мавжуддир.
Агар оралиқ чексиз, яъни [л:5,
оо)
бўлса, у ҳолда (2.3) ўрнига
е
оо
Н т
[
р(л:)й?л:=
] р(л:)с?л:>0
*"*°
х3
+е
**
лимитни қараш керак. Худди шунга ўхшаш (— оо,
х г[
оралиқ учун
х^
— е
х\
Н т |
?(х)йх
= | р(л:)с?л:
е-+0 1
— оо
лимит қаралади. Лемма исботланди.
Энди, фараз қилайлик,
/(х)
функция р(л:) вазн билан
\а, Ь\
оралиғида квадрати билан интегралланувчи бўлсин, яъни
ь
|
р(х)ў(х)йх
а
шавжуд бўлсин. Бундай функцияларни
Ц[а, Ь[
фазога тегишли
деймиз. Бу функцияни
Р п ( х )
= «оФо(^) +
а ^
1
( х )
+ . . . +
а п у п ( х )
2 9 Я
www.ziyouz.com kutubxonasi
умумлашган кўпҳад билан ўрта квадратик маънода яқинлашиш
масаласини кўрамиз, яъни
а 0, а х
............
а п
коэффициентларни шун~
дай танлашимиз керакки,
ь
ь
К
= | Р
{х)[Ра(х)
-
!{х)]Чх
= |
о(х)
а
а
"12
"
п
2
ас
ф/
(х) —
— / ( * )
йх
(2.4>
ифода энг кичик қийматга эга бўлсин. Бу ерда 8„ = 8Л(«0,
а и .
. . . , а„)
функиия
а0, а и . . . , а п
ларга нисбатан квадратиьс.
кўпҳад ва
> 0 бўлгани учун унинг минимуми мавжуд, бу ми-
нимумни топиш учун барча
6 8 , , ------
ъ
п >
хусусий ҳосилаларни топиб, уларни нолга тенглаштирамйз. Нати-
жада,
а 0. а и . . . , а п
ларни аниқлаш учун қуйидаги чизиқлш
алгебраик тенгламалар системасига эга бўламиз:
2
дап
ь
5 р (*)
41
Ф« (*)
~ А Х)
*+=()
\_
2
п
2
а‘
ф
<
(х ) —А х )
м
<ри(х)йх
= 0,
(рх(х)йх
= 0,
(2.5>
1 д&я
(*
.
7 3 Г „ “ + * >
Л а (
{ х ) —;{х)
1 =
0
<рп(х)йх
= 0.
Агар
Ь2[а, Ь\
фазодан'олинган икки ф(л:) ва
<ў(х)
функция скаляр-
кўпайтмасини (
ф
, ф) орқали белгиласак:
ь
(Ф, >1>) = | Р
(х)
ф
(х)<Ь (х)йх,
(2 .6 )
у ҳолда (2.5) системани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
а 0(ф 0, Ф0) + Й
1(Ф1, Фо) + • • • + л«(Фп. Фо) — ( / , Фо),
«о(Фо, ф О + ^ Д ф ! , Ф ) ) + • • • + + ( ф л, ф|) = ( / ф])
а 0(ф0, фя) + а,(ф „ Ф .,)+ • • •
+ а п(
Фл. Фя) = (/> Ф»)
(2.7>
Энди ф0(х), ф,(х), . . . , фд(лс) чизиқли 'эркли функциялар систе-
маси учун (2.7) система ягона ечимга эга эканлигини кўрсатамиз..
Бунинг учун ф0(лг), ф,(х), . . . , ф„(х) системанинг'
Грам детер-
минанти
деб аталувчи, (2.7) системанинг ушбу детерминантиг
26®
www.ziyouz.com kutubxonasi
(
2
.
8
)
(Ф
о
>
Фо) (Ф
1
> Фо) • • • (фл, Фо)
(фо> Ф
1
) (ф
1
> Ф
1
) • • • (ф„, Ф
1
)
(ФО, Фл) (ф 1 > Фя) • • • (Фл , фя)
нинг нолдан фарқлилигини кўрсатамиз. Фараз қилайлик, аксинча,
яъни Гл = 0 бўлсин. У ҳолда (2.7) системага мос келадиган бир
жинсли чизиқли алгебраик тенгламалар системаси
«
о
(Ф
о
>
Ф0) + «1(Ф1> Фо)
+ •
• • + « « ( ф л>
Ф0)
= 0,
«о(Фо. Ф
1
) + «1(ф1> Ф
1
) +
• • • + « я ( ф л, Ф
1
) =
0,
.........................................................................................
(2.9)
О0(ф0, Ф«) + Й1(Ф1> Фя) + • • • + « Л(ф
фя)
= 0
камида бнтта тривиал бўлмаган ечимга эга бўлиши керак, яъни
шундай
а0, а и . .
. ,
а п
сонлар топилиши керакки, уларнинг ка-
. мида бирортаси нолдан фарқли бўлиб, (2.9) системани қаноатлан-
тирсин. (2.9) системанинг тенгламаларини мос равишда
а 0, а х
............
а п
ларга кўпайтирсак ва скаляр кўпайтманинг (2.6) кўринишини
эътиборга олган қолда натижаларни қўшсак, қуйидаги қосил бў-
лади:
ь
| р(х)(а0фц(л:) + а 2ср,(х) + . . . +
а п^п(х))Чх
= 0.
а
Леммага кўра эса бундай бўлиши мумкин эмас, чунки (фд(х)} сис-
тема чизиқли эркли бўлиб,
а 0, а х . . . , ап
ларнинг камида битта-
Do'stlaringiz bilan baham: |
