|
бл:
2
—4-
Демак,
Ь4(х)
=
х*
—
6х2
—
4
=
3 тенгламани ечиб,
л
+ 2
= ± >/Т
ни топамиз.
Энди тескари интерполяциялашда тенг оралиқлар учун чиқа-
рилган формулаларни қўллаш масаласини кўрайлик. Айтайлик,
/ ( х )
монотон бўлиб, унинг берилган
у*
қиймати У о ^ /С ^ о ) ва
У\ =
= / (х ,) лар орасида жойлашган бўлсин. Бу ҳолда Ньютоннинг
биринчи интерполяцион
/ / ^
(*о +
М )
=
/ 0
+ / қ а £ + (
2
^ (^ —
1
)
+
+
+ /п /а
^
—
1
) - (/ — ( « —
1
)]
п \
формуласидан фойдаланишимиз мумкин. Б у ерда
/ ь
маълум бўлиб^
* ни топиш талаб қилинади. Бунинг учун бу тенгламани уш бу
+ - / о
* ( * - ! )
А
* ( * - ! )
...
[ < - ( « - ! ) ]
Л
‘/а
п
1
^ ( 1 5 . 2 )
'ч,
кўринишда ёзамиз ва қуйидагича
ср
(0
=
А - / о
*(*-!)... [*-(л-1] /",
д ,
п \
п/
а
А
белгилаш киритиб, (15.2) тенгламани
/ 1 = с р ( 0
кўринишда ифодалаймиз. Дастлабки яқинлашиш сифатида
'
л
_/< — /о
*о ~~
л
'Ч,
2 4 7
www.ziyouz.com kutubxonasi
ни олиб, итерздия методини қўллайлик!
'
=
1
)
( о т = 1 ,2, . . .).
(15.з)
Агар интерполяциянинг барча тугунлари [
а
,
Ъ\
да ётса, ҳамда
/ ( х )
£
С(п+1) [а, Ъ\
ва қадам
Н
етарлича кичик бўлса, у ҳолда
(15.3)
итерацион ж араён яқинлашади:
1= =\ т1т,
т -*-оо
Тескари интерполяцияни алгебраик ва трансцендент тенглама-
ларни ечиш учун ҳам қўллаш мумкин. Буни мисолларда кўрсата-
миз.
3- м и с о л. У шбу
х
3
—
З х
+ 1 = 0 тенгламанинг 0 ва 1 орасидаги илдизи
топилсин. .
Е ч и ш.
у х х х
3
—
З х
+ 1 функция қийматлари жадвалини 0,1 қадам би-
лан тузамиз:
3 1 - ж а д в а л
X
/
Г
/ ’
1
г
0
1 , 0 0 0
—299
0 , 1
0,701
—293
6
6
0 , 2
0,408
—281
1 2
6
0,3
0,127
—263
18
6
0,4
—0,136
24
6
—239
0,5
—0,375
—209
30
6
0 , 6
—0,584
— 173
36
6
0,7
—0,757
— 131
42
6
0 , 8
—
0 , 8 8 8
—83
48
6
0,9
—0,971
—29
54
1
—
1 , 0 0 0
Бу жадвалдан кўриниб турибдики, функция 0,3 дан 0,4 га ўтишда ўз ишора-
сини ўзгартирмоқда. Шунинг учун ҳам
х
0
= 0,3;
у
0
= 0,127;
у
= 0 каби олиб,
(15.3) итерацияни қўллаш мумкин:
0,127
1 ( 1 —
1)
0,024
1 ( 1 — 1 ) ( 1 — 2 )
0,006
—0,263
2
' —0,263
6
' — 0,263 '
Дастлабки яқинлашиш
1о
0,127
—0,263 “
0 , 4 8 3
2 4 8
www.ziyouz.com kutubxonasi
бўлиб, қолган яқинлашишлар қуйидагиларга тенг:
{ х
= 0,4729364249;
7
2
= 0,4729636375;
*3
= 0,47296335308;
{^
= 0,4729635333;
( ъ
= 0,4729635333.
Бу ерда
ва
1
Ъ
нинг қийматлари устма-уст тушади. Шунинг учун ҳам
х
сифатида
х
= х
0
+
= 0,347296355333 ни олиш мумкин.
4- м и с о л. Ушбу е2л: — 4 е * 1 = 0 тенгламанинг илдизи топилсин.
Е ч и ш . Бу тенгламани зй
х
— 2 = 0 шаклида ёзиб олиб, қуйидаги жйя-
вални тузамиз:
■
3 2 - ж а д е а л
X
/
/ ‘
Ў
/ а
/*
1 , 1
—0,6644
1 , 2
—0,4905
1739
150
1,3
—0,3016
1889
170
2 0
1
1,4
—0, 0957
2059
191
2 1
1
1,5
0,1293
2250
213
2 2
2
1 , 6
0,3756
2463
237
24
5
1,7
0,6456
2700
266
29
1 , 8
■
0,9422
2966
Бу жадвалдан кўрамизки, тўртинчи тартибли айирма амалий ўзгармас бўлиб,
илдиз 1,4 ва 1,5 лар орасидадир. Шунинг учун
п
= 4,
х
0
= 1,4;
>'0
= — 0,0957;
у = 0 каби олиб, (15,3) итерацияни қўллашимиз мумкин:
„
0,0957
{ ( {
— 1)
0,0213
( ( ( —
1)(7 — 2) . .
4 ( 0 =
о ,2 2 5 0 —
2
' 0,2250 —
6
Х
. 0,0024
I ( { — [ ) ( { — 2 ) Ц —
3) 0,0005
Х 0,2250
24
'0 ,2 2 5 0 '
Энди дастлабки яқинлашиш сифати
= 0,425 ни олсак, қолган яқинлашиш-
лар қуйидагиларга тенг:
.
= 0,436128069472;
^ = 0,4362022205039;
^з = 0 , 436202662457;
= 0,436202665278;
( ъ =
0,436202665296;
<6
= 0,4362 02665296.
Бу ерда
{ ъ
ва
устма-уст тушяпти, демак, х =
х
0
+
Ш
= 1,4436202665296.
16- §. СОНЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАШ
Умумий
м у л о ҳ а за л а р . Кўп амалий масалаларда функция ҳо-
силаларини айрим нуқталарда тақрибий ҳисоблашга тўғри келади.
Б у масала
сонли дифферепциаллаш масаласи
дейилади. Функ-
циянинг аналитик кўриниши номаълум бўлиб унинг айрим нуқта-
лардаги қийматлари маълум бўлса, масалан, тажрибадан топилган
бўлса, у ҳолда унинг ҳосиласи сонли дифференциаллаш йўли билан
топилади. Умуман айтганда, функцияни сонли дифференциаллаш
масаласи доимо бир қийматли равишда ечилавермайди. Масалан,
/ ( х )
функциянинг
х = х 0
нуқтадаги ҳосиласини топиш учун А
> 0
ни олиб,
/■//„. ч
_ .
/
(*"о
+ А) — /
( х 0)
/ (*о) ~ ----------
й
----------
(
16
.
1
)
2 4 9
www.ziyouz.com kutubxonasi
ёки
-
/ / / „
\ ~ Л хо
) ~ / ( * 0 —
К)
У
~
£
>
ёки
/ М
к ш + а ^ < £ » = а
(16.3)
каСи олишимиз мумкин. Кўпинча (16.1)
ўнг ҳосала,
(16.2)
чап
ҳосила
ва (16.3)
марказий ҳосила
дейилади.
Сонли дифференпиаллаш усуллари одатда интерполяцион фор-
1
мулаларга асосланган. Фараз қилайлик,
[а, Ь}
оралиқда (« + 1)- ■
1
тартибгача ҳосилалари узлуксиз бўлган / ( .
х
) функция берилган
бўлсин, Уни
/ ( х ) = Ьп(х) + Яп(х)
(16.4)
кўринишда тасвирлаймиз. Бу ерда
Ьп(х) х 0, х г
,■ . . . ,
х п
тугун-
лар бўйича тузилган қандайдир интерполяцион кўпҳад бўлиб, унинг
қолдиқ ҳади қуйидагига тенг;
(16.2)
Ап + 1)
/^ч
Я.п
(х)
—
^
(^)
(^ < £ < £ ) ,
(16.5)
“ л+
г(х) = (х — х 0)(х — х,)
. . .
( Х - Х п).
(16.6)
Одатда (16.4) тенгликни дифференциаллаб, тақрибий равишда
ў
(л;) л;
Ьп (х), ў '
(х) ~
Ьп ( х ) ,
. . .
, /^ ^~(х) яз ЎЎ
(д;) (16.7)
деб олинади. Бу тақрибий тенгликларнинг абсолют хатолари мос
равишда
К'п(х), Н’п(х),
. . . ,
Я{пп)(х)
ифодаларнинг абсолют қийматларига тенг бўлади. Лекин абсолют
хатони амалда ҳар доим ҳам аниқлаш енгил иш эмас. Ҳақиқатан
ҳам, (16.5) дан
^
/ (в+
1
) (
6
)
1
т
, .
л
,
<»п+Лх)
+ (п+1>(£)
й х
(л +
1
)!
й х т пл
>
\
(я + 1}!
й х
(16.8)
га эга бўламиз. Бу тенгликда
\
нинг
х
га қандай тарзда боғлиқ-
лигини билмаганлигимиз учун, иккинчи ҳадни баҳолай олмаймиз.
Бизга фақат шу нарса маълумки, интерполяция нуқталарида иккин-
чи ҳад нолга тенг.
Шундай қилиб,
ў ( х ) ^ Ь п(х)
нинг абсолют хатосини фақат интерполяция тугунидагина аниқлай
оламиз;
й Кп
(х)
й х
/(л+1)(£)
(и + 1)!
шя
+1
(х ў
(16.9)
250
www.ziyouz.com kutubxonasi
Юқори тартибли ҳосилалар қолдиқ ҳадларининг кўриниши анча
мураккабдир. Масалан, иккинчи тартибли
ач( х) _.а*ьп (х)
йх^ ~
(1х‘
(16.10)
ҳосиланинг қолдиқ ҳади қуйидаги кўринишга эга:
< Р К а ( х )
а и » п +
1
( х )
/<п+1>(?) ,
0
а с с п +
1
( х )
/ (л + 2)(£1) ,
ах*
а х
2
‘
(п+1)!
а х
' (п
+
2)1 "г
+
2
<
о
„+
1
(
х
)
^
|
1
.
(16.11)
Do'stlaringiz bilan baham: |
