Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

чизицли интерполяцияга
йўл қўяди. Бу ҳолда (14.1) тенгсиз-
лик қуйидаги
№
т а х / ( / — 1 ) [ < г
(14.3)
1
 
0 < « 1
 
.
кўринишни олади.
т а х
(I —
 
1
) | =
0 < « 1
Демак, 
Н.
қадам
Осонгина ишонч ҳосил қилиш мумкинки:
1,2
УИ
2
 + < е
(14.4)
тенгсизликни қаноатлантириши керак.
Мисол учун 
[а, Ь]
= [2, 3], е = 0 ,5 -1 0 ~ 5, 
/ ( х )
=
ех
бўлсин. Бу
ерда УИ
2
 =
3
< 2 0 , 1 бўлганлиги учун (14.4) дан 
Н <
 0,001411
келиб чиқади. Ҳосил бўлган сон 0,001411 яхлит бўлмаганлиги
учун бундай қадам билан ишлаш ноқулай. Шунинг учун ҳам унга
нисбатан „яхлитроқ" 
Н =
 0,001 қадамни олиш мумкин.
Кўпинча жадвалнинг чизиқли интерполяцияга йўл қўйишлигини-
талаб қилиш шарти анча оғир шарт ҳисобланади, унинг квадратик
интерполяцияга йўл қўйилиши талаб қилинади. Квадратик интер-
поляциянинг энг соддаси учта энг яқин нуқталар бўйича тузилган
Лагранж интерполяцион кўпҳадидир. Агар 
х 0
тугун 
х
га энг яқин
ва 
х
=
х 0
+
IН
бўлса, у ҳолда
/ ( х о
+
М ) =
А ( < +
М )
=
/ 0+ А
^ +
А
^ ^— " *
243«
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Жадвал 
Ь2
(л
0
 +
1Н)
га йўл қўйиши учун 
Н
қадам
т а х / ( /
2
-
1
) | < *
ёки
(14.5)
тенгсизликни қаноатлантириши керак. Агар бу ерда ҳам 
\а, Ь\
=*
= [2 ,3 ], е = 0 ,5 -1 0 “ 5, 
/ ( х ) = - е х
деб олсак, у ҳолда 
Н
< 0,01585
бўлиб, бу ерда Л =
0,01
деб олиш мумкин, яъни қадам чизиқли
интерполяциядагига нисбатан 
10
марта катта.
Энди функцияни иккинчи тартибли Бессел интерполяцион кўп-
ҳади билан . алмаштирамиз. 
Агар сх
:0
 -С л: -С 
ва * <
х 0
 +
1Н
бўлса, у ҳолда 
х _ г , х 0, х { , х 2
нуқталар бўйича тузилган иккин-
чи тартибли Бессел кўпҳади
В3 (х0
 +
1Н)
=, 
1
» Л
/ 2
+ Д
~ 4 ) + I
1
 А
( 14-6>
кўринишга эга.
Бу ифоданинг қолдиқ ҳади (10.13) формулага кўра қуйидагига
тенг: 
.
Маълумки, Д =
Нй/"'
(|). Шунинг учун ҳам жадвалнинг 
Вг (х0
 +
+
Ш)
га йўл қўйиши учун 
Н
қадам
тенгсизликни қаноатлантириши керак. Қуйидагига эса ишонч ҳосил
қилиш қийин эмас:
т а х р (< _
1
) ( ( _
| ) | _
^
> т а х М (, , _ 1) ( ( _ 2 )| = !| 5 .
Демак, 
Н
қадам
Мг Ь? 
. 3
МА
7 2 1 2 8
/ / < е
(14.7)
тенгсизликни қаноатлантириши керак.
Бу срда 
Н
кичик бўлса, биринчи ҳад бош қисм бўлиб, у (14.5)
тенгсизликнинг чап томонидан 4,5 / 3 = 7,794 ... марта кичикдир.
Демак, 
Н
кичик бўлганда (14.7) ни қаноатлантирадиган 
Н
(14.5)
ни қаноатлантирадиган 
Н
га нисбатан 
/ 3 « 1,98 марта кат-
тадир. Юқоридаги мисолда (14.5) тенгсизлик
20
№
72 / з "
кўринишда бўлиб, унинг ечими А < + < 0,0315
га нисбатан яяхлитроқ“ 
Н
= 0,03 ни оламиз.
дир. Бу қадам*
244.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Агар бу қадам ҳам катталик қилса, у ҳолда интерполяцион
кўпҳаднинг даражасини орттириб ҳадамни янада кичикроҳ олиш
мумкин.
Энди экстраполяция, яъни аргументнинг ж адвалдаги қий-
матларидан ташҳаридаги қийматларида функциянинг қийматини
топиш масаласига тўхталиб ўтамиз. Экстраполяциялаш, одатда,
жадвалнинг бир-икки ҳадами миқёсида бажарилади. Чунки ар-
гументнинг ж адвалдаги қийматидан узоқроқ қийматда экстра-
поляциялаганда хато ортиб кетади. Ж адвал бошида экстрапо-
ляциялаш учун Ньютоннинг биринчи интерполяцион формуласи
қўлланиб, ж адвал охирида эса иккинчиси қўлланади. Интерпо-
ляцион кўпҳаднинг тартиби одатда жадвалнинг амалий ўзгар-
мас айирмаларининг тартибига тенг қилиб олинади.
М и с о л . 30- жадвалдан фойдаланиб е
1 , 7 8
ва е
2 , 1 8
топилсин.
3 0 - ж а д в а л
X
/ = « *
/ ‘
Г
Га
Р
1,80
6,0496
3102
1,85
6,3598
.. ‘
159
3261
1
'
8
1,90
6,6859
167
1
3428
176
9
— 1
1,95
7,0287
3604
184
8
3
2 , 0 0
7,3851
3788
195
1 1
— 2
2,05
7,7679
3983
9
2 , 1 0
8,1662
204
4187
2,15
8,5849
Е ч и ш. 30- жадвалда учинчи тартибли айирма амалда ўзгармасдир. Шу-
нинг учун ҳам учинчи тартибли интерполяцион формуладан фойдаланамиз.
Жадвал бошида ва охирида экстраполяциялаш учун формулалар қуйидагича
ёзилади:
1
)
Ь
3
( х )
= 6,0496 + 0,3102 
I
 + 0,0159 
—
~
Ь
3
 (х) = 8,5849 + 0,4187 
I
 + 0,0204 - 
2| 
7
+ 0,0008
+ 0,0009
3!
<(< +
1
)(* +
2
)
31
1,178— 1,80
Биринчи формулага 
I
 = ----------------- = — 0,4 қийматни қўйсак:
в
1 *78
 « 6,0496 + 0,3102 (— 0.4) + 0,0159
0,4-1,4
2
 
'
- 0,0008
0,4-1,4-2,4
31
: 5,92996.
2
18— 2 15
Шунга ўхшаш * = * 
0
 
— = 0,6 ни иккинчи формулага қўйиб, ушбу
0 6 1 6
0 6 1 6 2 6
е
2 , 1 8
 = 8,5849 + 0,4187-0,6 + 0,0204- —■
 
:2
’ ■ + 0,0009- ■ ’ ' 
= 8,83629
натижани топамиз.
245
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ш у пайтгача у = / ( х ) функциянинг жадвали берилган ҳолда
аргументнинг берилган қиймати л* да функциянинг тақрибий қий-
матини топиш масаласи билан шуғулландик. Тескари интерполяция
масаласи қуйидагича қўйилади: 
у_
 = / (
х
) функциянинг жадвали
берилгаьц функциянинг берилган 
у*
қиймати учун аргументнинг
шундай 
х*
қийматини топиш керакки, 
/ ( х * )
= у* бўлсин. Фараз
қилайлик, жадвалнинг қаралаётган оралигида 
/ ( х )
функция моно-
тон ва, демак, бир қийматли тескари функция 
X = о (у ) 
(/(ср 
( у ) ) = у )
мавжуд бўлсин. Бундай ҳолда тескари интерполяция ср(у)функция
учун одатдаги интерполяцияга келтирилади. Ушбу х * = с р (ў*) қий-
матни топиш учун Лагранж ёки Ньютоннинг тугунлари ҳар хил
узоқликда жойлашган ҳолдаги формулаларидан фойдаланиш мумкин.
Масалан, Лагранж интерполяцион формуласи қуйидаги 
■
п
(15.1)
ё=0 
/ ф 1 у1
кўринишга эга бўлиб, қолдиқ ҳади
' Р ( У ) - М У ) = ^ р ^ г Ш у — у ()
15- §. ТЕСҚАРИ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. СОНЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ
га тенг бўлади.
. Агар 
/ ( х )
монотон бўлмаса, юқоридаги формула ярамайди. Б ун-
Дай ҳолда у ёки бу интерполяцион формулани ёзиб, аргументнинг
маълум қийматларидан фойдаланиб ва функцияни маълум деб ҳи-
соблаб, ҳосил бўлган тенглама у ёки бу метод билан аргументга
«исбатан ечилади.
1- м и с о л , Функциянинг қуйидаги қийматлари
X
— 1
0
0,5
2
У
—4
— 2
1
4
жадвали берилган. 
х
аргументнинг шундай қиймати топилсинки, 
у
= 0,5 бўл-
син. 
. 
"
Е ч и ш. Жадвалдаги қийматларга кўра функция монотон, шунинг учун
ҳам 
п
= 3 деб олиб, (15.1) формуладан фойдаланамиз:
£
3
( У ) = - Ь
(у + 2) (у — 1) (у — 4) 
( у
+ 4) (у + 2) 
( у
 - 4)
( - 4 + 2 ) ( - 4 - 1 ) ( - 4 - 4 ) +
( 1 + 4 ) ( 1 + 2 ) ( 1 - 4 ) +
(у + 4) (у 4 2) 
( у
+ 1)
+ М4 + 4) <4 + 2) (4 — 1) '
Бу ифодага 
у
= 0,5 ни қўйиб, 
х —
0,4142 ни ҳосил қиламиз.
2 4 6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2 - м и с о л. Ф у н к ц и я н и н г қ у й и д а г и қ и й м а т л а р и
— 2
0
1
2
3
У
- 1 2
—4
—9
— 1 2
23
жадвали берилган, л: аргументнинг шундай қиймати топилсинки, 
у
 = 3 бўл-
син.
Е ч и ш. Жадвалдан кўриниб турибдики, функция монотон эмас. Шунинг
учун ҳам иккинчи усулни қўллаймиз:
12
-
( х —
 
0
) 
( х —
 
1
 
( х
— 
2
) 
( х —
 3)
-2
—
0
) ( —
2
—
1
) ( —
2
—
2)(— 2
—
3
) '
( х +
2
) ( х
—
1
) 
( х
—
2
) 
( х —
3) 
( х +
2
) ( х —
0
) ( х —
2
) ( х — 3 )
~
 
4
(0 + 2 ) (0—1) (0—2) (0—3) ~~ 
9
(1 + 2 ) (1—0) (1—2) (1—3)
( х +
2
) ( х
—
0
) 
( х
—
1
) 
( х
—3) 
( х - \
 
2
) (.*—
0
) (* — 
1
) 
( х —
2
) _
и
(2 + 2 ) ( 2 - 0 ) (2— 1) (2—3) 
(3+ 2) (3—0) (3—1) (3—2) “ л
■