|
мурожаат қиламиз. Булардан
Оц (х)
нинг
х {
нуқта атрофидаги
Тейлор ёйилмаси қуйидаги кўринишга эга эканлиги келиб чиқади:
< 2 и ( х ) = у [ ( х — х 1)!+ а \ } у( х ~ х 1)1+1+
. . . + « ' /
‘) (х — х 1)п
(х — х^У
л
[1
+ Ь 1 У ( Х - Х } ) +
. . .
+ Ь\?~п (х - х у - *
] . (13.10)
Б у ва (13.9) дан
ди (х)
кўпҳад учун қуйидаги
Яц (х )
(х
—
X}) а1
Я
2 (*)
( х - х 1)Ч-1 +
(13.11)
ифодага зга бўламиз.
Уш бу --у
,
рационал функция
х ь
нуқта атрофида регуляр.
бўлганлиги учун х —
х г
нинг даражалари бўйича Тейлор қаторига
ёйилади. Иккинчи томондан
д^(х)
даражаси аг
—} —
1 га тенг
бўлган кўпҳад бўлганлиги учун у
қаторига ёйилмасининг даражаси а^
ларининг йиғиндисига тенгдир:
1
(х — х {)
а1
функциянинг Тейлор
Г (х)
— 1 Дан ортмайдиган ҳад-
М)
» „ « * ) - т! 2 £ | +
+
Г
( * — ,)*
(13.12)
4=0
Аксинча, <
7
г/(х) нинг шундай танланиши Сг/-(х) учун г(13.10)
ёйилмани ва, демак, (13.4) — (13.5) шартларнинг бажарилишини
таъминлайди. (13.12) ни (13.9) га қўйиб,
-
1 -1
(-Пх)
Л ( Х —Х1)*Г 1 ьРо
( Х - Х ^ 1
Й
(х)
-|<А>
ь
( х - х ц л
^х=х.
ни ҳосил қиламиз ва ниҳоят, (13.6) дан
Нп(х)
аг
1
1
=0
/=0
1
2
+ ' ' > № )
4=0
( X — Х + 1
Ъ ( Х )
(к)
й ( х )
х = х ,
+ - + + /_ 1
(13.13)
Эрмит формуласини ҳосил қиламиз. Бу формуланинг хусусий ҳоли
сифатида Лагранж интерполяцион кўпҳади ҳамда кўпҳад учун Тей-
лор формуласини чиқариш мумкин (бобнинг охиридаги машқларга
қаранг.) Ҳозир Эрмит формуласининг бошқа бир хусусий ҳолики
кўриб чиқайлик. Барча аг лар 2 га тенг бўлсин, яъни шундай
п-
даражали кўпҳадни топиш керакки, у
Нп
( + ) = / ( + )
Н'п(хУ)^Г(хУ)
(/ =
0
,
1
, . . . ,
т)
шартларни қаноатлантирсин. Бу шартларнинг геометрик маъноси
қуйидагидан иборат: интерполяцион эгри чизиқ берилган
у
=
/ ( х )
» 4 0
www.ziyouz.com kutubxonasi
эгри чизиқ билан интерполяция тугунларида умумий уринмаларга
эга. Бу ҳолда (13.13) қуйидаги кўринишга эга бўлади:
■
# » ( * ) =
2
( / ( *
1
)
1=0
( х —хд*
й { х )
IX
=
XI
й(*)
0
(*)
,
(х — х ^
1
*
+/'<-ЛЦт1’]„,, т|}-
^ ( ^ )
Л Л---
Л£
-
Одатдагидек
шт+1 (*) == (• *- * 0) (* -
X, )
. . . (д: - х т)
белгилаш киритсак, у ҳолда
'
.2
/..ч
(* —
-*Л
2
_ (-^ — *г) I
2
(13.14)
й (
х
) —. о)т -и (д:).
ц (х)
* т
+ 1
(•*) ]
га эга бўламиз. Энди (13.14) даги коэффициентларни топамизг
'
(х
—
X/)2
а
( х )
(* -
Х{У
0( х)
=
Н т
X —
X I
Р
Н т
2
Г
- — —
1
I
ют+\(х)
|
х
-**1
I “ т-1-1
( Х{)
1
'
с= Пт
Л
■
(X — X I)
'
х = х ь
х->х{ й х
[
“ т +
1
(*)
со
'*(Х
1
)
»
2
—
X I
1
(л:) —
( х
Х { ) г
(^ )
П т
“ т +1 «
1
(*) — (-«—^ ) “ т+ 1 (*)
<°т+1 ("^)
“т+Н^)
“ т+ 1 (■**)
“ т+ 1 <*)
Охирги лимитни топиш учун Лопиталь қоидасини қўлладик. Бу-
ларни ҳисобга олганда (13.14) формула қуйидаги кўринишга эга
бўлади:
*°т+1
(X)
Н п
(* ) -
2
ш
!2
, ,
(Х1) (X — Х1У
РО
"■+! '
“ т+ 1
(хд
/ ( ^ ) (
1
-
.Л
1 , 1
( Л - Х , ) ) +
“ т+ 1
(ХИ
+ Г { х 1) ( х — х 1)
(13.15)
М и с о л. Қуйидаги шартларни қаноатлантирадиган бешинчи даражали
Н ъ ( х )
кўпҳад топилсин:
Н ъ
(— 1) = — 1,
Н ъ
(0) = 0,
Н ь
(1) = 1;
Н' ъ
(— 1) = 0,
Н
'5
(0) == 1,
Н' 5 (
1) = 0.
Бу ерда
<°зС*)
=
( х
+ 1 ) л : ( д —
1),
о>з (л:)
=
Злг2 — 1, ®3
( х ) — 6 х .
(13.15) формуладан
.
х * ( х - \ У \
.
6
. (— 1 ),
. .Л ,
( х - 1 ) Ц х +
I
) 2
Н ъ ( х ) -
4 — 1 - 1 ( 1
- — 2
--- ( * + ! ) ] + ---------
1
1,дг +
1 6 - 2 1 0 5
241
www.ziyouz.com kutubxonasi
х Ц х + 1 ) П
г
6-1
\ 1
I
+ ------
4
------ [
1
-(
1
- — (л:—
1
) } ]
=
х & + х * +
2
х ) .
Энди Эрмит формуласининг қолдиқ ҳадини текширамиз.
Т еор ем а. Агар
/ ( х )
функция
[а, Ь\
оралиқда ( « + 1 ) - т а р -
тибли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда Эрмит интерполяцион
формуласининг қолдиқ ҳадини
Я я (*) = / ( * ) - Я я. ( * ) = / л+1>(&)(- ^
(13.16)
жўринишда ифодалаш мумкин. Бу ерда £
[а, Ь\
оралиққа тегишли
нуқта бўлиб, умуман
х
нинг функциясидир.
И сбот.
х
нинг интерполяция тугунларидан фарқли бирор қий-
матини олиб,
К
= д
! Деб белгилайлик. У ҳолда ушбу
< р (г )= Я я ( г ) - *
2
(
2
)
(13.17)
функция
х 0
нуқтада а
0
каррали нолга,
х г
нуқтада а^ каррали ва ҳ. к.
х т
нуқтада ат каррали нолга эга. Бундан ташқари у
х
нуқтада
ҳам нолга айланади. Демак, ®
(г)
функция
[а, Ь \
оралиғининг
т
+ 2
та
х 0,
лҳ
,.
. . . ,
х т, х
нуқталарида нолга айланиб, бу ноллар
карраликларининг йиғиндиси а
0
+
«1
+ . . . +
ат
+
1
=
ц
+
2
га
тенг. Шунинг учун ҳам Ролль теоремасига кўра <р'
(г)
ҳосила
х 0,
х^, . . . , х т, х
нуқталарни ўз ичига олган интервалда мос ра-
вишда
т
+
1
та а
0
—
1
, а
4
—
1
, . . . ' ат
— 1
каррали илдизларга
эга, яъни
[а, Ь\
оралиқда
(ао 1) 4“
( а 1
1) + • • • + (ат — 1) Н- + 1 — ао
а 1
• • • +
+
а т — п
+
1
та нолга эга. Худди шу мулоҳазаларни такрорлаб, иккинчи ҳосила
<р"(г) [а, Ь\
оралиқда камида
п
та нолга эга деган хулосага ке-
ламиз ва ҳоказо.
Ниҳоят,
(п
+
1
) - тартибли ҳосила + л+1)
(г)
[а, Ь\
оралиқда камида битта нуқтада нолга айланади. Демак,
[а, Ь\
оралиқда камида шундай битта
\
нуқта топиладики,
? (П+1)Ш = 0
(13.18)
бўлади. Лекин
? (й+
1
) ( г ) = / ' г+
1
) ( г ) - / ў ( « + 1)!,
(13.19)
чунки
Н п (г)
— даражаси
п
дан
ортмайдиган
кўпҳад, демак,
Я (л+1)
(г)
=
0
ва
2
(я) бош ҳади
1
га тенг бўлган
(п
+
1
)-д а р а -
жали кўпҳад, унинг ( и +
1
) -тартибли ҳосиласи ( я +
1
)! га тенг.
(13.18) — (13.19) дан
К =
/ (« + 1)(| )
+ +
1
)! *
Демак,
2 4 2
www.ziyouz.com kutubxonasi
14- §. ЖАДВАЛ ТУЗИШДА ИНТЕРПОЛЯЦИЯНИ ҚЎЛЛАШ
Ушбу ва кейинги параграфларда интерполяциянинг турли хил
масалаларга татбиқларини кўриб чиқамиз. Дастлаб қуйидаги маса-
лани қарайлик: бирор функциянинг жадвали шундай тузилсинки,
бу жадвал ёрдамида функцияни
п-
тартибли интерполяцион кўпхад
билан алмаштирилганда йўл қўйиладиган абсолют хато е дан срт-
масин. Бундай ҳолда
жадвал п- тартибли интерполяцияга &
хато билан йўл цўяди
дейилади. Биз бу ерда тенг қадамли
жадвални қараймиз.
Фараз қилайлик, / (
х )
функция
\а, Ь
] оралиқда
(п
+ 1) та уз-
луксиз ҳосилага эга бўлиб, берилган жадвал
Ьп(х)
Лагранж интер-
поляцион кўпҳадига ® хато билан йўл қўйсин. Бунинг учун жад-
вал қадами
Н.
қуйидаги
.
+ 1
(« + ! ) !
к
п+1
т а х
0 < « 1
I
—
1
) . . .
{£ — п)
| < г
(14.1)
тенгсизликни қаноатлантириши керак, бу ерда
.
Ж
л+1
= т а х
| / ( и+1) (х) | .
«
Я
0
<Я<ЯЛ
Одатда, кенг қўлланиладиган математик жадваллар шундай тузила-
дики, улар
/ (*0 +
= + (
а
-
о
+
/о + / ц 2 ^
(14.2)
Do'stlaringiz bilan baham: |
