Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

+ . . . + Ьп)к(\п - ) + х (п)
(9.15)
га эга бўламиз.
Ёзувни қисқартириш мақсадида 
у {к)
нинг X- 
айшрмаси
деб
аталувчи қуйидаги
+ ў {к) = у к+х)- ) У к)
Гелгилашни киритамиз. Агар 
Ь + 0
бўлса, у ҳолда 
к
 
оо да
(9.15) да биринчи қўшилувчи йиғиндининг бош қисми бўлади ва
биз
А>.ў[к)^ Ь.24(К_ — ) + х {2)
 
(9.16)
тақрибий тенгликка эга бўламиз. Бу ердан эса
Дх
1
ў (А_
1
)« й ах
£ - 1
()^ — )п) 7 2). 
(9.17)
Б у тенгликларни компонентларда ёзнб, қуйидаги тақрибий тенг-
ликларга эга бўламиз:
' 
Д, 
у[к)
 
• у(*+1> -
+ \ к)
\
Я- . *■' 
1
____ = ___ :____
+
 
 
(()
 
1
 Р>
2
 
\
у
Г :) 
у
Г - \ (
у
Г 1)
• 
( 
;
Бу формула ёрдамида Х
2
ни топишимиз мумкин. Бир-бирига яқин
сонлар 
у [к)
ва 
\ у >
'!‘~1)
ҳамда у/*т1) ва 
\ ху {к)
бўлганлиги учун аниқ-
лик йўқолади. Шунинг учун ҳам, практикада Х
2
ни аниқлайдиган
ктерация номери 
т
ни Х^ ни аннқлайдиган птерация ионери 
к
дан
кичикроқ қилиб олиш, яъни Х
2
ни қуйидаги :а аниқлаш маъқул-
дир: 
■
у]т+1)
- Х
1
у(т>
у(т) —Х+.'’1- 1)
(т < к).
(9.19)
Агар 
I
етарлича катта бўлса, 
){
нинг X/ (у = 3, 4, . . . ) дан ор-
тиқлиги сезилиб қслади, 
т
сифатида шу 
I
ларнинг энг кичигини
олиш керак. Умуман айтганда, (9.19) формула Х
2
нимг қўпол қий-
матини беради. Шу усул билан қолган хос сонларни ҳам топиш
мумкин, лекин натижа яна ҳам қўполроқ >шқади.
(9.16) 
дан кўриниб турибдики, х<2) Д;ч 
у (т)
дан фақат ўзгар-
мас кўпаювчига фарқ қиляпти, шунинг учун ҳам
Х {2)
яе 
Дл1у ('л)
деб олишимиз мумкин.
10- §. МУСБАТ АНИҚЛАНГАН СИММЕТРИК МАТРИЦАНИНГ 
ХОС СОНЛАРИ ВА ХОС ВЕКТОРЛАРИНИ АНИҚЛАШ
Биз юқорида оДДий структурага эга бўлган матрицаларнинг
модули бўйича знг катта биринчи ва иккинчи хос соилари ва
уларга мос келадиган хос векторларини тогшшни кўриЗ чиқдик;
13-2105
193
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Энди мусбат- аниқланган симметрик матрицанинг барча хос эле-
ментларини итерация усули ёрдамида топиш билан шуғулланамиз.
Маълумки, мусбат аниқланган симметрик 
А
матрицанинг барча
хос сонлари Хъ Х2, . . . 
,
Х.„ ҳақиқий ва мусбат бўлиб, ;+>, 
хФ,
. . . , 
хос векторларни шундай танлаш мумкинки, улар орто-
гоналлик
(хИ>, хО'))
= 2 4 « 4 /) в о 
(
1
Ф ])
 
(Ю .1)
к=
 I 
_
шартини қаноатлантиради. Биринчи хос вектор 
х {1)
ни аниқлайди-
ган тенгламалар системасини ёзамиз:
(а и
— Х
1
) 4 ' ) +
а
1 2
х ^
 + . . . + а
1
п
4
!) =
0
,
• 
а<нХ(Р
 +
(а22 
—
+ . . . + а 2„ 4 1) = 0, 
(ю.2)
а п1Х 1
 ' +
а п2Х2
 ^ + • • • + (
а пп
 
\ ) ХП^
 = 0
ёки
х 1
) = =
( «
1 + 1
* ”Ь + 2
х
2!) + . . . +
а 1пХп
') ,
4 !) 
=
( «
21
М !) +
а2 
2
*
2
!> + . . • +
а гп Х (п ) ,
. 
. . 
. 1....................................................................
(10.3)
*»-» =
К -
1,1
 4 !) +
а п -
1
.
1
*
2
!) + . . . + а^-1.^4^),
Х
1
“ —(Ту(а„
1 4
!> + а л
2
л:
2
! ) + . . . а „ „ 4 !)).
Хос векторлар координаталарининг ҳаммасини бирор сонга кўпай-
тириш ёки бўлиш мумкин. Шунинг учун ҳам 4 !) = 1 деб оламиз.
У ҳолда (10.3) система 
п
та 4 !), 
хЧ\
. . . , 4 - ь Х
4
номаълумли
п
та тенгламадан иборат. Мос равишда танлаб олинган дастлабки
яқинлашиш 4 1,0>............
х п-
1
’
','
1
°) ни олиб (Ю.З) системани итера-
ция методи билан ечамиз:
х к'т+1)= - ф -
 
^ 2
 
ач х ? ’т)
 +
(к =~\,п —
 
1
),
Х++1’ = 2
а шх 1 ’т+1)
 +
а пп 
(т
 = 0, 1, 2, . . .).
. 
/=1
Иккинчи системани ечишда оддий итерация методининг ўрнига
Зейдель методидан ҳам фойдаланиш мумкин. Шу йўл билан бирин-
чи хос сон
Х(т )
ва унга мос келадиган хос вектор
" 
4
1
) « ( 4 !-т), . . . 
А 1- ? ,
 
1
)
ни топиш мумкин.
194
'
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Иккинчи хос сон Х
2
ва унга мос келадиган хос вектор л;(2) ни
топиш учун биз яна Х
2
ва х (2) ни ҳосил қиладиган системадан
(|юйдаланамиз. Бу системани биз қуйидаги кўринишда ёзамиз:
П
Х
2
х
(;2> = 2
агрс? 
(I
= Т л ) .
(10.4)
/ = 1
Ортогоналлик шарти
п
—1
( х (1), 
х
(2)) = 2
4 ' т) х\2)
+
х (2)
 = 0 
(10.5)
/ = 1
даи х (2) номаълум компонентларнинг бирортасини, масалан + 2) ни
қолган компонентлар орқали ифодалаш мумкин. Худди шу 
х ^
ни
(10.4) га қўйсак, у ҳолда у қуйидаги унга тенг кучли бўлган
системага айланади:
п
- 1
+ 2)
XI
Х
2
=
у (2)
/= 
1 
п-1
^ л (
1
) . у(
2
)
(
10
.
6
)
Бу ерда
'■ п
- 1 / - 1
«
8
> ■
(1,т)
Бунда ҳам х
1211
= 1 Деб олиб ва 
Хь
 ’0>, Х(20) дастлабки яқинлашиш-
ларни танлаб (10.6) системани итерация методи билан ечиЗ, Ха ва
л:<2) нинг тақрибий қийматларини топамиз:
ХЯ« Х Г , Д?
2
) » ( М ‘
Бу ерда д^2) ортогоналлик шарти (10.5) дан топилади. Шунга
ўхшаш қолган хос сон ва хос векторларни топиш мумкин. (10.4)
системанинг 
п-
тенгламасидан контрол сифатида, яъни топилган
Х
2
ва 
х (2)
ларнинг аниқлигини текшириш учун фойдаланиш мумкин.
Қаралаётган методда, ХА ни аниқланаётганда 
х (1г)
нинг 
х$
1
ь+х
=
0 
бўлиши билан боғлиқ бўлган махсус ҳоллар ҳам бўлиши мумкин.
Бундай махсус ҳол (10.2) системага итерация методини қўллаш
учун қулай (
10
.
3
) кўринишга келтиришдан келиб чиққанлиги учун
ундан қутулиш мумкин.
М и с о л . Қуйидаги
5
— 1 
0 
—
1
 
3 
1
0
 
1
 
1
„ ( 2
,т )
(
2
.т) « 
(
2
)у
> 
Л
П —2
» 
-1
 » 
-Л'П )
.
матрицанинг барча хос соилари ва уларга мос келадиган хос векторлари то- 
пилсин.
Е ч и ш . Бу матрица симметрик ва унинг бош мипорлари
= 14 > 0, 
£>з = с!е1Л 
= 9 > 0
£>! = 5 > 0, £»а =
з
195
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

мусбат бўлгаалиги учун у мусбат аниқлангандир. X* ва 
х ^
ни аниқлайдиган 
система:
X* 
х[1)
=
— 
х^\ 
.
■
II
4 « = _*<« + 3 4 « + 4 «
(10.7)
х/ 
4
« =
х^
 +
4
«.
Бу ерда 
= 1 деб олганда итерацион жараён узоқлашади, шунинг учун 
ҳам 
I
= 1 ва 4 ^ = • Деб олиб
' 4 1> - Д - (з«г> + 4 " _ 1 )1
4 " - + ( 4 ,, + 4 " > .
Л1
Х^ = 5 — 4 1*
(
10
.
8
)
ни ҳосил қиламиз. Бу системани Зейдель методи билан ечамиз. Дастлабки 
яқинлашиш сифатида
4 1-01 = - о >5; 
4'°> = о
деб олсак (10.8) нинг охирги тенгламасидан Х((0) = 5 ,5 ни ҳосил 
қиламиз. 
Зейдель итерациясининг натижаси 18- жадвалда келтирилган. Жадвалдан кў- 
рамизки,
= 5,4401 
да
1
—0,4491
—
0,1001
1 8 - ж а д в а л
к
*,<*> 
■
0
—0,5
0
5,5
1
—0,4545
—0,0826
5,4545
2
—0,4484
—0,0974
5,4484
3
—0,4476
—0,1000
5,4476
4
—0,4484
—0,1001
5,4484
5
—0,4490
—0,1001
5,4490
6
—0,4491
—0,1001
5,4491
7
—0,4491
—0,1001
5,4491
Эиди (10.7) системада 
1=2
деб оламиз ва х(1) нинг + 2) билан ортогоналлик 
•шарти
4 2) — 0,449142) — 0,100142> = 0 
>
дан 
х[2)
ии топамиз. Бундан
4 2) = 0,449142> + 0,100142) 
(Ю-9)
Ни (10.7) га қўйиб ва 4 2> = 1 Деб олсак, у ҳолда
+
- + 0 + 4 8 ) .
л 2
Хг = 3,4491 + 1,1001 4 2).
3 9 6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

>.У 1'рда
4
2’0) = о, 
4 0) *= 
4
дсО олиб, итерацияни қўллаймиз. Натижа 19- жадвалда келтирилган.
19- жадвал
к
4 ™
|
Лк)
х2
0
0
4
1
0,25
3,72
2
0,34
3,82
3
0,35
3,83
4
0,353
3,837
5
0,3529
3,8373
6
0,3526
3,8370
7
0,3525
3,8369
8
0,3525
3,8369
Жадвалдан кўрамизки, Х2 « 3,8369. Энди 
х {(>
л:(2)я 0,4844. Шундай қилиб,
*<2> =
0,4844 ‘ 
1
0,3525
ни (10.9) тенгликдан топамиз:
Учинчи хос вектор ;с<3) ни ортогоналлик шартларидан аниқлаймиз:
(х(1), х <3}) = х (3) — 0,449143> — 0,100142> = 0,
( х (2), х (3)
= 0,4844^3) +
х (3)
— 0,352543)к=- 0.
Бундан эса У33),=
оламиз. Демак,
1 деб олиб, 
х ((>
= —0,2166
х (3)
'
—0,2166 
—0,7029 
1
ва ->43) = — 0,7029 ни топиб
Ниҳоят, (10.7) системанинг охирги тенглигида 
I
—3 деб олиб, Х3 ни топа- 
миз: 
= 0,2971.
11-§. ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИНИ ЕЧИШДА 
ИТЕРАЦИЯ МЕТОДИНИНГ ЯҚИНЛАШИШИНИ ТЕЗЛАШТИРИШ