Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

^ г ,^ )— ( х — ^
10
) р
0
(Я),

—
£ к , к
- 1
 ) С * - 1 ^ ) —
ё к . к
- 2
 С *-2(^).
М и с о л . Куйидаги
30 —48 '
14 —24
15 —25
матрицанинг хос сонлари топилсин.
Е ч и ш. Бу ерда 
А
матрица симметрик бўлмаганлиги учун биортогонал-
{аштириш жараёнини қўллаймиз. Бунинг учун "с<0) = И<0) = (1, 0, 0)' деб
еламиз. У ҳолда
Л7<0)
Г 5
3
3
А '
6<0)
5
30
—48
( А
 с<0), 6<0)) 
„
(
7
<0), 
1
<0)) 
“ 5
166
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

с(1) =
А
с<0) — £ю с<0) = (0, 3, 3)', 
Т<1) = 
А ' 1 (0> 
— 
£1
о
~Ь(0>
=
(0, 3 0 ,-4 8 )'
бўлади;
Иккинчи қадамда 
^
(1)
(—54, —30, —30)', 
А'Ь
(1):
(Л7(1), 
1 (1>)
^
(1(1>, 1 (1>)
“ _10, 
й20
 ^ ( + 0). 
1 (0>)
п а
7<2) = й<2) = " 0 га зга бўламиз.
Демак, биз иккинчи вариантдаги I) ҳолга дуч келдик. Минимал кўпҳад- 
нинг бўлувчйсини қуйидагича топамиз:
<Р оф =|.
<рД Х )=Х —
5
,
+(Х) = (X + 10) (X — 5) + 54 = Х2 + 5Х + 4.
Бундан кўринадики, X, = —4, Х2 = —1 хос сонлар бўлар зкан. Учинчи хос 
сонни топиш учун матрицанинг изидан фойдаланамиз:
Дго :
= (—54,
(Л +1),
-3 0 0 , 480)',
6
<0 ) )
54
14 — 25:
-- 4 + X;
-
1
.
Х3 =
Х о с векторларни топиш . Баённи к.исқартириш мақсадида 
А
матрица симметрик бўл^ан х^таи қарайлик. Фараз қилайлик, Лан-
цош методини қўллаб, 
7. к>
 = ■
га эга бўлган бўлайлик. Айтайлик, 
/ч
с<°> вектор минимал кўпҳади г|з-(о)(х) нинг бирор илдизи бўлсин.
1 
У ҳолда бу хос сонга мос келадиган д:<‘) хос векторни қуйидаги
кўринишда излайми?
х<« = Роё(0) + + + > + • • • + Р*-|" ^ 1». 
(3.4)
Кейин 
А х (1) —
 Х(х«> шартдан ва олдинги пунктдаги
Л > ) = + ) + £ „ > ) ,
_
•
Ас<1) =
 С<2) + ёХ н+Ч - 
£аоС(0>,
А
? к~2) = С + -1) +_§-*-
1
,А
-2
 + * - 2) +
Ас<*-1) 
=
ё к -
1
.к
- 1
 <+-1) +
ё ь - и к -
2
С(к- 2>
 
тенгликлардан фойдаланиб, (3.4) тенгликни қуйидагича ёзиб ола-
миз: 
-
;(
1
)
+
£)0
 О
+
(С<2) +
ё п С (1)
 +
#20
 ^<0)) +
Р о ^ + ё + о ^ )
. . .
_ . . .
+
§к
- 2
(<+ !) +
ё к -
1
^к-г с(к
2) +
£к-
1
,_к-г с {к
3)) +
+ Р
*_1
 
(ёк, к-1
 £ (й_1) +
£к-\, к-2
 
с
(*£2)) =
. 
“ >
ч
Р
о
+ 0)+
+ . . . + > ч Р б -
1
с(/г +
+
Бундан с <0), с (1), . . .
, с (к
 
11
векторларни чизиқли эрклилигини ҳи-
собга олсак, қуйидагилар келиб чиқади:
?0
 
(^1
 
£ + )
&20
 р
1
^
?1
(>Ц 
£ + ) 
ё з
1
Р
2
 
Ро ~
...................................................... 
(3.5)
Р
а
- 2
 (Ч
£ к -
1
, 
к
- 2
 ) 
&к, к-2
 Рй
—1
 
Р*-3 = ^>
' 
Р*—
1 (^1 
ёк, к-
1
) 
Р*—
2 
=
'
167
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Б у ердан кўрамизки, $к_ 2 , Рй_ 3, . . . . . ро лар 
§к_х
га пропорцио-'
налдир. Шунинг учун ҳам р
й-1
= 1 деб олишимиз мумкин. У ҳол-
да қолган 
^
козффициентларни кетма-кет топамиз:
$к-2
 =
'~1 ~ §к
 , 
к -
1' 
'
Рй-3 =
к - 2
 (Х/ -
ё к -
1. 
к-2
 ) -
ё к, 
к- 2 , 
'
Ро = Р, ( ^ - £
21
) — ЯиРа- 
!|
Крилов методига ўхшаш (3.5) тенгликлардаги биринчи тенгАик қол-
ганларининг натижаси бўлиб, у 
с
(0) вектор минимал кўпҳадининг
/- = Хг даги ифодасидир. Бу тенгликдан ҳисоблаш жараёнини кон-
трол қилишда фойдаланиш мумкин.
Агар биз қуйидаги кўпҳадларни киритсак:
То (Х) = 1, 
'
?1 (X) = (X — 
й_,) «Ро (Я.),
% (^) = (^ —
ёк-1.
й-г) 
ь
(х) —
ёк, к-2
% (х), 
(3.6)
(<Р* (Х) = (>• — 
ё\о) 9к-
 
1
М — ^
20
Т
*-2
М ,
у ҳолда X; га мос келадиган 
хос 
векторни қуйидагича ёзиш
мумкин:
^ ) = ? , _ 1(>ч)с(0)+ ? /е_2( ^ ) с (1)+ . . . + < Р о № * - 1).
(3.6) тенгликдаги ср
к (Х)
кўпҳад 
Рк
 (л) 
кўпҳад билан устма-уст
тушади.
4- §. А. М. ДАНИЛЕВСКИЙ МЕТОДИ
Хос сонлар муаммосини ечишнинг содда ва тежамкор усулини
1937 йилда А. М. Данилевский таклиф этдн. Бу методнинг ғояси
берилган матрицани ўхшаш алмаштиришлар ёрдамида 
Фробениус~
Г
Р
1
р2
Ря •
• 
•
Рп-
1
Рп1
1
0
0 ,
• • •
0
0
р =
0
1
0 .
. . .
0
0
1_ 0
0
0 .
I
о 
1
нинг нормал формасига
келтиришдан иборатдир. 
А
ва 
Р
матрица-
лар ўхшаш бўлганлиги учун улар бнр хил характеристик кўпҳадга
эга. Лекин 
Р
 матрицанинг характеристик кўпҳадини бевосита ёзиш
мумкин. Ҳақиқатан ҳам, Д (X) = бе! 
(Р
— X 
Е)
ни биринчи сатрэле-
ментлари бўйича ёйиб чиқсак:
Г л - х
Р2 Рз
• • • •
Рп-
1
Рп
£ ( Х ) = 1 ^
— А
0 . . . .
0
0
1-° *
6 '
6
1
— X
= ( Р , - П ( - ^ - 1 -
р
Л —
>')я- 2+ р Д -
-3 + .
+ ( - 1
) " - 1
 + = ( - 1)я-
1
(*я- р , * я-
1
- р Д й- г -
-------
- Р п).
1168
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шуидай қилиб, Фробениус матрицасининг биринчи сатр элемент-
ц]||)п 
р и р2,
. . .
. рп
унинг хос кўпҳадининг мос равишдаги коэф-
фнцпентларидан иборатдир. 
А
ва 
Р
матрицалар ўхшаш, яъни Я==»
Л'"‘ Л 5 бўлганлиги учун, 
р(Ц А
матрицанинг ҳам хос кўпҳади-
шр.
А
матрицанинг элементларига боғлиқ 
равишда Данилевский
м^тодида регуляр ва норегуляр ҳол учрайди. Аввал регуляр ҳолни
кўриб чиқамиз.
Фараз қилайлик, 
А
матрицанинг 
а п п_х
элементи нолдан фарқли
оўлсин. Биринчи қадамда 
А
матрицани ўнг томондан
М
Я-1
1
0
 
. . . . 
о
0
0
0
1
 
. . . . 
о
0
0
. 
•
• 
. • • • 
. . .
. 
’
•
аш
а п1.
а п.
я 
—2
1
а
а п,п-\
' 
ап,
л
- 1
' 
а п,
 я 
—1
а п,п-1
а
0
0
 
. . . . 
о
0
1
яя
п,
 п —
1
матрицага кўпайтирамиз, натижада
В (0) = А М п_ х
Ъ
0
я-1. 1
Ь,2 
•
• • • 
ь \ . п - г
Ь\п
ь ^
 
. . • ‘ 
Ь2,
 я—
1
Ь2п
ь
, „ . . • • 
Ь \
^ 1
ь
’
п—
1, 
п
—
1
л—
1, 
п
0 
. . . . 1
0
ҳосил бўлади. 
М
п_ 1
матрица 
А
ва бирлик матрицалар ёрдамида
қуйидагича тузилади:
1
) бирлик 
матрицанинг 
(п
 — 
1
)-устунининг 
элементларини
а п
л-] 
Ф
 
0
элементга бўламиз,
2) ҳосил бўлган устунни. 
А
матрицанинг 
п-
сатрининг 
ап
а п
2
• •
■ > 
ап
п
-2
элементларига кўпайтириб, мос равишда бирлик
матрицанинг 
1
, 
2
, ............
п
— 
2
, 
п
 -устуни элементларидан айира-
миз, натижада 
М п_ г
матрица тузилади. 
.
Матрицаларни кўпайтириш қоидасига кўра 
В{0)
матрицанинг эле-
ментлари қуйидаги
Ч, я—
1
О-П, Т1
— 1
(7 = 1 , 2 , ............
п\
7 
ф п —
1)
Ь
гг, п —
 1
а1, П
- 1
ап,
 л-1
(I
=
1
, 
2
, . . . , 
п)
формулалар ёрдамида ҳисобланади. Лекин қурилган 
В (0)
=
А М п_х
матрица 
А
матрицага ўхшаш эмас. Ўхшаш алмаштириш ҳосил қи.
лиш учун тескари 
М п
- 1
матрицани чапдан 
В (0)
га кўпайтириш ке-
рак:
М-п1 х А М п_, =Мп1.1 В (0).
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Т е с к а р и м а т р и ц а
М ~ ^
қ у й и д а г и
г 1
0
0
0
- I
0
1
0
0
•
• 
•
• 
• 
•
а т
а п2-
* • • 
а п,
л—1
а пп
Ь 0
0 .
. . . 0
1 . 2
к ў р и н и ш г а
э г а
э к а н л и г и н и б е в о с и т а т е к ш и р и б
к ў р и ш м у м к и н .
Мп~\
м а т р и ц а н и Д (0> м а т р и ц а г а ч а п
т о м о н д а н к ў п а й т и р и ш у н и н г
о х и р г и
с а т р и н и
ў з г а р т и р м а й д и . Ш у н и н г
у ч у н ҳ а м Д а н и л е в с к и й
м е т о д и н и н г б и р и н ч и қ а д а м и б а ж а р и л г а н д а б и з қ у й и д а г и к ў р и н и ш -
г а э г а б ў л г а н м а т р и ц а н и ҳ о с и л қ и л а м и з:
А 11)
-
М ^ г А М ^ -
Г „ ( Ч
#11
„(1)
#21
/т(1>
#12 . . . .
л (1>
#22 • . • .
# П - 1
« й »
л (1> 
# л —1, 1
{ - о
& я—1, 2 • • • 
0
. . . .
л О)
# л —1, л—1 
1
/»<>) 
# л —1,л
0
Б у е р д а #{}> қ у й и д а г и ф о р м у л а л а р ё р д а м и д а ҳ и с о б л а н а д и :
а1р — Ьц
 
(1
< / < я — 
2
, 
1
 < у < я ) ,
в в -1 .1
И
а п к Ь к }
А = 1
П ).
Э н д и Л (1> м а т р и ц а н и н г
а„1
2
. п
- 1