Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

(5.8)
(к
= я —
1
, п —
2
, . . . , 
1
)
системага эга бўламиз.
106
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, навбатдаги қадамнинг
бажарилмаслиги навбатдаги 
а
векторнинг нолга айланишига боғ-
лиқ, 
ч у н к и
, 
бу пайтда а =
0
бўлиб, X ни ҳисоблаш мумкин эмас..
Лекин 
а
вектор нолга айланмайди, чунки 
А
матрица махсусмас
матрица бўлиб, унитар матрица ёрдамида алмаштирилмоқда.
Ҳисоблашнинг умумий ҳажмини камайтириш мақсадида (5.7)
формулани қуйидаги
а\к+1) = а\к)
— 
2(а(1к),
 
ву
) 
т
 
(5.9)
кўринишда қўллаш маъқулдир. Агар 
(п> те)*)а;к)
 =
(а\к),
®) ® нн
ҳисобга олсак, (5.9) формула (5.7) дан келиб чиқади.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини акслантиришлар
методи ёрдамида ечиш учун -|г (4
п3
-)- 15/г2 + 11я) та кўпайтириш,
(4я
3
+ 9/г
2
 +
5п)
та қўшиш, 2
п
— 1 та бўлиш, 
п
— 1 та илдиа
чиқариш амалларини бажариш керак.
Мисол. Қуйидаги комплекс матрицали чизиқли алгебранк тенгламалар 
системаси ечилсин:
{
(5 + 30*1 — 
2
х
2 
— (2 + 0*з = — Ю + 3/,
. 
{ 
—
х {
+ (4—0*> + 2х3 = 13 — 2/,
I - ( 2 + 2 0 + - *2 + (3 + 40*з = 14+161.
Ечиш. Кенгайтирилган матрицаиинг устунларини қуйидаги>
1
а
"5 + 3/ "
"—2 "
Г— 2 - Г
Д°> =
" — 10 +3/"
« г =
— 1
~ 40)
=
4—/
~40)
=
2
13—2/
—2—2 /
,
—1
,
3 + 4/
14 + 16/
белгилаб ва 
~а
= а (10), ’е = (1, 0, 0)' деб олиб, (5.5) формула ёрдамида 
а, X, т
ларни топамиз:
. , 
(а, е) 
г
_ _ ■
(а, е)
® = — 1“1 ' - _ = — 
У (а, а)
• -
|(+
е)\
X
 =
1(а. 
е)\
5 + 3'
- У ^ - у м
1
-5,62296—3,37378/
= = 0,07815,
Бундан
У
2[|а|2 + н I
(а,
ё)|] 
/2 ( 4 3 + +
4 3 /3 4
_ _ 
_ 
_ _ Г 
°.83337 + 0,50002;
•т = Х(а — ае) =
0,07845(я — 
ае)
=
— 0,07845
]_— 0,15690—0,15690;
= (0,83337 — 0,50002/; — 0,07845; — 0,15690 + 0,156907)+
1
Кейин + =
Е
— 
2т
да* формула ёрдамида
- _ о 88906 
0,13076 + 0,07846/
0+3076—0,07846/ 
0,98755
0,41842 (-0,10462/ 
— 0,02462 — 0,02462/
0,41842 — 0,10462/ 
—0,02462 -{- 0,02462/ 
0,90152
яи 
ҳосил қиламиз ва ниҳоят,
Г— 5,62214 — 3,37324/ 
0,00000— 0,00005/ 
— 0,00018 — 0,00004/
+ = (7 
ХА
=
1,96120 + 0,28770/ 
3,71334 — 0,85526/ 
—1,86146 — 0,28310/
3,71338 + 2,40580/' 
1,46280 + 0,00154/ 
1,92310 + 2,92918/
107
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ни топамиз. Бу^матрицада а21 ва я31 лар аслида нолга тенг. бўлиши керак 
эди. Уларнинг ўрнида кичик бўлса-да, лекин нолдан фаркли сонлар ҳосил 
бўлди, бу оралиқ натижалардаги яхлитлаш ҳисобигадир. Иккинчи қадамдаги 
ҳисоблашлар қуйидагилардан иборат:
0
‘°1
а
=
3,71334--0,85526/
е
—
1
- 1,86146--0,28310/.
,
0
я = — 4,14192 + 0,95397/; X = 0,12080;
■ио*
= (0; 0,94892 + 0,21855/; — 0,22486 + 0,03420/),
Ч 
0 
0 — 0,89642 
0 0,41180 + 0,16320/
0
0,41180—0,16320/
0,89654
А2 =
'— 5,62214 — 3,37324/ 
— 0,00016 + 0,00001/ 
— 0,00009 — 0,00003/
1,96120 + 0,28770/ 
3,71380 + 2,40580/ '
— 4,14146+ 0,95318/ — 0,04131 + 0,89101/
— 0,00014 + 0,00001/ 
2,32627 + 2,86549/
Энди (5.7) га кўра озод ҳадлар вектори а |0) устида
а (1)
“ 4
; (
2
) _
а (1) =
« Г =
алмаштиришларни бажарсак,
18,24740 + 3,32132/
11,02746 — 0,84748/
7,75392 + 14,36256/.
ҳосил бўлади. Ниҳоят, (5.8) дан ечимни топамиз:
х г
= 0,99978 + 1,00008/; х 2 = 0,99935 + 0,00014/; 
х3 = 4,99982 + 0,00003/.
Аниқ ечим эса 
х*
= 1 + /, 
х* —
1, л:* = 5.
18,24740 + 3,32132/ 
— 4,34182 + 5,40876/ 
11,63049 + 14,32730/
6- §. ОРТОГОНАЛЛАШТИРИШ МЕТОДИ
Ортогоналлаштириш методининг бир неча вариантлари мавжуд.
Бу параграфда шулардан бирини кўриб чиқамиз. Бизга махсусмас
матрицали, чизиқли алгебраик тенгламалар системаси берилган
бўлсин:
а п х
 
1
а 12х 2
 
+
.
• +
а\пХп
+
а \.п+х
=
0 ,
а п х \ 
а 22х 2
 
-)- 
.
• +
а 1пХп
+
а1
> я+1 =
о ,
ап\х \
+
агЛх Ъ
+ •
• +
аппХп
+
а п
. п+1 =
0 .
Ушбу 
а , = ( а 1и а п,
. . . , 
а 1я)'
( / = 1 ,
п), у = {хи х 2, .
. . 
, х л,1)'
белгиляшларни киритиб, (
6
.
1
)- системани
' ( £ ь Ў ) = °.
(
а 2, у) = 0,
1(ая. У ) = = 0
кўринишда ёзиб оламиз. Бундан кўринадики, (6.1) системани ечиш,
охирги компонеятаси бирга тенг бўлиб, ўзи барча 
а и а 2,
. . .
,~ап
108
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

искторларга ортогонал бўлган (и +
1
) ўлчовли 
ў
векторни топиш
бнлан тенг кучлидир. Бу векторлар системасига яна бир вектор
■а,
 
1
-|-! = (0, . . . , 0,1)' ни қўшамиз. Янгидан ҳосил бўлган система
а и а2,
. . . , 
ап+\
чизиқли эрклидир, чунки сатрлари шу вектор-
лардан иборат бўлган 
А
матрицанинг детерминанти (6.1) система
матрицасининг детерминантига тенгдир, шунинг учун ҳам у нол-
дан фарқлидир. 
'
Энди 
~аи а г, 
, ап+\
векторлар системасига ортогоналлаш-
тириш жараёнини қўллашдан аввал баъзи тушунчаларни эслатиб
ўтамиз.
Иккита 
х = (хъ х г,
. . . , 
х п)
ва 
у = (уи у г,
. . . , 
у п)' век-
Л
торларнинг скаляр кўпайтмаси
деб ушбу 
(х, у)
 =
2
 
х ьу к
_ _ 
_
1 = 1
_
йиғиндига айтилади; агар 
(х,
у) =
0
бўлса, у ҳ олда 
х
ва 
у век-
торлар ўзаро ортогонал
дейилади ва |!х|| = | /
(х,
+) сонга 
век-
торнинг нормаси
дейилади. Агар 
~Хх,
х 2, . ... 
, х п
векторлар
системасининг исталган иккитаси ўзаро ортогонал бўлса, у ҳолда
бундай система 
ортогонал векторлар системаси
дейилади ва
шу билан бирга бу векторларнинг нормаси бирга тенг бўлса, бу
система 
ортонормал векторлар системаси
дейилади.
Энди жараённи қуришга ўтамиз: 
'
их
=
а и
=
(
6
.
2
)
деб оламиз. 
__
Фараз қилайлик, бирор &>• 1 учун 
ии иг,
. . . , 
иь
ортогонал
векторлар системаси ва г),, 
V , , .
. . . , 
ортонормал векторлар сис-
темаси қурилган бўлсин. Энди 
иь+\
векторни 
а ь+х, ъх, юг,
. . . , 
а к
векторларнинг чизиқли комбинацияси шаклида, яъни
. 
к
ик+1
=
аь+х
 -Ь 2
^■и/0]
 
(0-3)
/ = 
1
кўринишда излаймиз ва 
иь+\
нинг 
ии иг, . . . , ик
векторларга,
яъни г»!, 
ч)г, . . . , ък
векторларга ортогонал бўлишини талаб қиламиз:
к
0 = (И *+ 1 , ®,) = (Ий+1, 
ч и )
+ 2
Ч ] ( Ў ~ Р
= ( « * + 1 . 
+ + / •
/ = 1
Бундан
= —
(аь+
1
. 
юх)
(6.4)
ни топиб, (6.3) га қўйсак:
к
 
'
~йь+ х
=
аь+\
— 2 (Фь+ь 
V]) V]
(6.5)
. 
.. 
■
 
/ —
 
1
 
' 
\
103
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

келиб чиқади. Сўнгра
Ък+1
ик
+ 1
1
К +
1
||
(
6
.
6
)
,деб оламиз. Шундай_қилиб, (6.2), (6.5) ва (
6
.
6
) формулалар ёрда-
мида 
ии иъ .
. . , 
ип+\
ортогонал ва 
'о2,
. . .
,ъп+\
ортонормал
системани кетма-кет қурамиз.
Охирги 
ип+\ = {ги г 2,
. . . .
г п+\)
векторнинг « + 1-координа-
таси 
г п+\
нинг 
нолдан фарқли эканлигини кўрсатамиз. 
Бунинг
учун тескарисини фараз қилайлик. У ҳолда 
.
(ип+1,
а
1
) =
0
,(и л+1, а 2) =
0
, . . . , 
(ип+г, ап) =
 
0 
шартлар
(ил+
1
, ^Т,) == 
0
, 
(и„+
1
. ъ 2) =
0
, . . . , (ип+\, 
ъп)
=
0
шартларга тенг кучли бўлиб (чунки г>,- лар 
аи а2,
. . . , а, 
лар-
нинг чизиқли комбинациясидир), улар нолдан фарқли ечимга зга
бўлган
п 
п 
п
^ «+■+ =
0
, ^ а 2;+ =
0
, . . . , 
2
 
ап
]г ] =
0
 
(6-7)
/=1
 
1 = 1 
1=1
чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ташкил этади. Демак,
бу системанинг детерминанти нолга тенг. Бундай бўлиши мумкин
эмас, чунки (6.1) ва (6.7) ларнинг детерминантлари бир хил эди.
Шартга кўра, бу детерминант нолдан фарқли. Бу карама-қаршилик
г п+\
+ 0 эканлигини кўрсатади. Шундай қилиб 
(ип+\,
а/) = 0, / =
=
1 , 2
, . . . , п ,