|
р =
4 учун
К | < Ю - \ | еа | < Ю ~ \ [е3| <
10
—18, |
5
4 [ ^
10
85, . . .
Демак, ш < 0 , 1 бўлганда учинчи итерацияринг ўзи бизга керак-
ли аниқликни беради.
Эйткен м етоди . А . Эйткен 1937 йилда хос сон ва хос век-
торларни топишдаги итерацион жараённи яхшилаш методини так-
лиф қилган эди. Умуман олганда Эйткен методини ҳар қандай
итерацион процессга-ҳам қўллаш мумкин. Биз ҳозир ана шу ме-
тодни кўриб чиқамиз. Фараз қилайлик, бизга
х = 1га
яқинлашув-
чи р-тартибли жараён
берилган бўлсин.
ф
(
'У2!-*)
'
'
х —
2
<р(л:)+
9
( ? и ) )
функцияни тузамиз.
Агар
( | )
ф
1 ва
р
= 1 бўлса, у ҳолда
Хп+1
= ф
(х„)
(5.16)
(5.17)
итерацион жараённинг тартиби
2
дан кичик бўлмайди, р
> 1
бўл-
ганда эса
2 р
— 1 дан кичик бўлмайди.
Бу тасдиқларни исбот
қиламиз. Умумийликка зарар етказмасдан, £ = 0 д е б олишимиз
мумкин. Агар
бўлса,
х = 1-\-г,
<р(я)— I = <р (§ +
г)
— £ =
= <в(г) белгилашларни киритамиз. У ҳолда х = <р(л:) тенглама
2
= ш(г) тенгламага утадн, <в(г) учун қурилган (5.16) функция
_
г
<о
(а>(г)) —
<о
2
(
г
)
( х
— £) ю
(9
( х )
— 5) — (<р(х) —
£)3
2— 2<о (г)4-ш{со (г))
х
— «— 2 (<р
( х )
— £) +
<а
(<р
( х )
— £)
(^ — $) [о (у (^» — 51 _ (<р (^) —
€)2
^
X —
£ —
2
(<р(х) — £) + <р(*)) — £
X ?
(<Р (■ *)) — <р
2
( ҳ ) — £ [ ҳ
— 2
<р
( х )
+ <Р (у (х))1
ф , .
р
х - 2 ч ( х ) + ч(ч(х))
КЛ)
5
80
www.ziyouz.com kutubxonasi
га ўтади. Демак, £ = 0 деб олшнимиз мумкин,
= у {хп—\) р~
тартибли итерация бўлганлиги учун
нинг
х = 0
нуқта атро-
фидаги ёйилмаси қуйидаги
ср(х)
= ар хР + а.р
+ 1
ХР+1
+ . • •
кўринишга эга бўлади. Б у ёйилмани (5.16) га қўйсак,
Ф( х ) =
X
[<*р
(«
рҲр
+
ар+1
Х р+ 1 + ■ ■
-)р
+
—
{ар х Р Л-ар + 1
+ • • -)2
X —'2
( а р Х °
+
ар+1
Х
р+ 1
+ ...) +
[ар
(
ар х р
+
ар + 1
Х
р+ 1
+
...)р+
...]'
х ( а + + 1 х р2 + .. .) — б р Х2Р + 2 ар ар+1 Х ^ Д 1 + . . . . )
X - 2 ар х " + С.Р+1 х " 2 - 2ар+1
х р+ ^
+ . . .
(5.18)
қосил бўлади. Бу ифодани
р =
1 ва р > 1 ҳоллар учун алоҳида-
ало>лида текширамиз. Агар
р =
1 бўлса, у ҳолда Ф (х ) нинг сура-
тида х нинг даражаси учдан кичик эмас (чунки иккинчи даражали
ҳадлари ўзаро бир-бирларини йўқотишади), махражида эса х олди-
даги коэффициент
1
-
2
« р + «
2
=
1
-
2
«, + а| =
(1
— <*/ (
0))3
+
0
.
Демак, махражда х нинг биринчи даражаси мавжуд ва Ф ( х )
нинг даражали қатордаги ёйилмаси ҳеч бўлмаганда х
2
дан бош-
ланади. Шунинг учун ҳам Ф '(|) = 0 ва (5.17) итерациянинг тар-
тиби
2
дан кичик эмас.
Агар р > 1 бўлса, (5.18) нияг суратида х нинг энг кичик да-
ражаси
2
р
га тенг бўлиб, махражда х нинг
1
- даражаси қатнаша-
ди. Демак, Ф( х ) нинг даражали қатордаги ёйилмаси ҳеч бўлма-
ганда х
2р~ 1
дан бошланади. Яъни ҳеч бўлмаганда у = 1 , 2 , . . . ,
2р— 2
лар учун Ф (£) = 0. Бу эса (5.17) итерациянинг тартиби
ҳеч бўлмаганда
2
р —
1
га тенг эканлигини кўрсатади.
1- изоҳ. Агар дастлабки яқинлашиш х
0
£ га ҳар қанча яқин бўлганда
ҳам,
9
(х) билан аниқлангап итерация яқинлашмаса( масалан, [ <р' (5) | >
1
бўл-
ганда) ҳам (5.17) итерация. х0£ га етарлича яқин^бўлганда яқинлашади. Чун-
ки Ф' (?) = 0 бўлганлиги учуи х = £ нинг шундай атрофи топиладики, у ерда
I Ф" © | <
<7
< 1 бўлади. Бу эса, х
0
шу атрофдан олинган бўлса,
х п
= Ф
{хп—\)
итерацияиинг яқинлашиши учуи етарли шартдир.
2- изоҳ. (5.16) билан аниқлангач Ф (х) нинг ошкор кўриниши маълум
бўлмаса ҳам (5.17) формула билан итерацияни қуриш мумкин. Буни қуйида-
ги усул билан бажариш мумкин. х
0
дан бошлаб аввало
XI =
9
(х0) ва х
3
=
9
(хО
қурилади, кеиин эса
х
3
ни
х
0
х
2
—
х\
Хз — х
0
—
2
х, + Ха
формула ёрдамида аниқлаймиз.
Агар А
XI —
хг
+1
— х * , А
2
х^ = хг
+2
— 2х
/+ 1
+ X/
деб
белгилаб олсак,
х г
ни қуйидагича ёзишимиз ҳам мумкин:
х
3
= х
0
(А х
0)2
Д
2
х
0
'
61
www.ziyouz.com kutubxonasi
Навбатдаги итерацияларни
■*« = <Р (*а).
х ь
=
<р (х4), х в
=
а
:5
(А АГз
)3
№х3
формулалар ёрдамида қурамиз ва ҳ. к.
Шундай қилиб, биз қуйидаги итерацион жараёнга эга бўламиз:
Х
3
1 + 1
= <Р (АГзг).
.
-^зН
"2
У + з/+
1
) (г* ~
0
,
1
,
2
,
(А
аг
3/)2
• ^ з г + з -
Х 31 —
д а
х .
■
.).
Охирги формуланинг кўринишига қараб, одатда Эйткен методи
Эйткеннинг
Ъ^-жараёни
дейилади.
,
6
-§. НЬЮТОН МЕТОДИ
Битта сонли тенглама бўлган ҳол. Ньютон методи сонли
тенгламаларни ечишнинг ж уда ҳам эффектив методидир. Бу
методнинг афзаллиги шундан иборатки, ҳисоблаш схемаси му-
раккаб бўлмаган ҳолда кетма-кет яқинлашишлар илдизга тез
яқинлашади. Ньютон методи итерация методи каби универсал
методдир. Бу метод ёрдамида сонли тенгламаларнинг ҳақиқий
ва комплекс илдизларини топиш ҳамда кенг синфдаги чизиқли
бўлмаган функционал тенгламаларни ечиш мумкин. Формал
нуқтаи назардан қаралганда Ньютон методи итерация методи-
нинг хусусий ҳолидир, аслида эса бу методнинг ғояси итерация
методининг ғ о я с т а н тамоман фарқлидир. Бу метод чизиқли
бўлмаган тенгламаларни ечиш масаласини чизиқли масалалар-
нинг кетма-кетлигини ечишга олиб келади. Бунинг учун берил-
ган тенгламадан унинг бош чизиқли қисми ажратиб олинади.
Биз аввал битта сонли тенглама учун Ньютон методини кўрнб
чиқамиз. Фараз қилайлик, бизга
/ (х) —
0
(
6
.
1
)
тенглама ва унинг илдизига дастлабки яқинлашиш қиймати
х0
берилган бўлсин. Бу ерда
)(х)
ни етарлича силлиқ функция
деб оламиз. Одатдагидек, (6.1) тенгламанинг аниқ илдизини |
орқали белгилаймиз. Энди
1 — х0+Н
деб олиб,
( (х)
функция-
нинг
х0
нуқта атрофидаги Тейлор қатори ёйилмасидаги даст-
лабки иккита ҳадини олиб нолга тенглаштирсак,
Н
га нисба-
тан қуйидаги
,
0
=
/ ( х 0
+ А) » / ( х 0) + / ' (дг0)
Н '
Do'stlaringiz bilan baham: |
