Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

И сбот. Аввал индукция методини қўллаб, ихтиёрий 
п
 
учун
х„
 
ни қуриш мумкинлигини, 
х п
нинг (3.5) оралиқда ётишлиги ва
\хп+х
— 
х п\
<
7
]<уя 
(
3
.
9
)
тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатамиз.
Агар 
п
 = 0 бўлса, 
х х =
 с?(х0) бўлгани учун (3.9) тенгсизлик
(3.7) дан келиб чиқади.
Бундан ташқари, 
у
\
 <
<
8
бўлгани учун 
\хх
— лг0| <
8
тенг-
сизлик бажарилиб, 
х г
 
(3.5) оралиқда ётади. Энди фараз қилайлик,
х и х 2,
. . . , 
х п
лар қурилган бўлиб, улар (3.5) оралиқда ётсин
ва
\Хк
+1
 — 
хк\
 < 7]<76 
{к
 = 0, 1, . . . , 
п
 — 1)
тенгсизликлар бажарилсин. Индукция шартига кўра 
х п
(3.5) да
ётади, ср (л:) (3.5) да аниқланган, шунинг учун ҳам 
х
п + 1
= <р (
х
п)
ни қуриш мумкин. Теореманинг 1-шартидан
\х
п + 1
 — х п\
 = |<р 
(хп)
 — ср ( * „ -
1
)| <
д\хя
 — Хп-
1
\
келиб чиқади. Лекин 
х
п - 1
ва 
хп
учун индукция шартига кўра
\хп
 — 
хп- Х\
< эд
" - 1
ўринли, демак, |х
„+1
—
х п\
< т )
9
л. Бу эса 
х
п + 1  
ва 
х п
учун (3.9) тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатади. Ниҳоят,
|^п
+1
 — 
Хй\
<
\х
п + 1
 — 
Хп\
 +
\ХП
 — 
Хп-\\
 + . . . + | + — 
Х(\
<
<
'ЧЯя
 
+ . . . + ■»1 = 7] .1~ ? п+1 < —
< 8
1
 
—ч
 
1
—Ч
муносабатлар 
х п+\
нинг (3.5) оралиқда ётишини кўрсатади. Ш у
билан исбот қилиниши талаб этилган мулоҳаза тасдиқланди.
Энди {
х
п} нинг фундаментал кетма-кетлик ташкил этишини кўр-
сатамиз. (3.9) тенгсизликка кўра ихтийрий 
р
натурал сон учун
\хп+р — х л\
< |х п+р
 
— 
х п\
 + . . . + \х
„ + 1
 
— 
х п\
 
<
< 7] 
дп+Р~1
 + . . . + т) 
< —— <
7
"
1
—?
ёки
\хп+р- х п\ < - ± д " .
 
(3.10)
1
—?
Бу тенгсизликнинг ўнг томони 
р
га боғлиқ бўлмаганлиги ва 0 <
< <
7
<
1
бўлганидан {х„} кетма-кетликнинг фундаменталлиги ва
унинг лимити |=Н ш
х п
мавжудлиги келиб чиқади. 
{хп}
кетма-кет-
П-УОО
>
лик (3.5) оралиқда ётгани учун 
I
ҳам шу оралиқда ётади. 
(3 .6 )
шартдан ® 
(х)
нинг узлуксизлиги келиб чиқади, шунинг учун ҳам
х
п + 1
 =
9
 
(х„)
тенгликда лимитга ўтиб, | (3.1) тенгламанинг илди-
зи эканини исбот қиламиз.
Энди 
I
илдизнинг (3.5) оралиқда ягоналигини исботлаймиз. Фа-
раз қилайлик, | (3.1) тенгламанинг (3.5) оралиқдаги бошқа бирор
-4°
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

илдизи бўлсин,
га кўра
ё, эканини кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам, (3.6)
- <р (
1)1
< ? |
1— 1\,
0
< ? <
1
бўлгани учун бу мунссабат фақат 
I
 = £ бўлгандагняа
бажарилади.
Яқинлашиш тезлигини кўрсатувчи (3.8) тенгсизликни келтириб
чиқариш учуч (3.10) тенгсизликда 
р 
оо
лимитга ўтиш кифоя-
дир. Теорема исбот бўлди.
Изоҳ. Одатда, итерация методипи қўллаётганда иккита 
х п _ ,
ва 
х п
кет- 
ма-кет яқинлашишлар берилган аниқлик билан устма уст тушса, шу аниқлик 
билан 
Ч ^ х п
деб олинади Умуман олгапда, бу фикр нотў^ридир Масалан, 
х —
0,999л: тенглама!!и ьарайлик. Бу ерда ср (де) = 0.999лг, лабки яқинлашиш 
х а
ни 
1
га тенг деб олиб, бу тенгламани итерация метс ди 
билан ечамиз. У ҳолда 
х ,
—
0,999 ва 
х п
— 
х ,
= 0,001 бўлади, бу тенгламанинг 
аниқ илдизи £ = 0 эса 
х ,
дан 0,999 га фарқ қилади.
Юқорида айтилган фикрни ([акат | 
у'(х)\
<
<7
бўлиб, 
д
бирдан анча кичик
бўлгандагина қўллаш мумкин. Бунинг тўғрилигини 
<7
<
_
1
_
2
бўлганда қуйида-
гича кўрсатиш мумкин. Бунинг учун 
/ ( х )
=
х
— <р 
(х)
деб оламиз, у ҳолда 
/(£ ) = 0 ва 
/ ' ( х ) —
1 — 
<р'(х)
> 1 — \хп —
Ч ( х п)\ = \ / ( х п ) — / ( ^ 1 ~ \х п 
— £\
[/'(6я)1 > (1 — 
я ) \ х п ~ ~
£|
$ 
( х п>
£))>
демак
\хп
^ ^
\х п 
Ч ( х п )
1
1
 
—Ч
ва (3.6) га к^ра
I 
Х п
— 
ср 
( х п)\ =
|<р 
( х п _ , )
— 
( х п )\ < д \ х п — Х п _ гу
Бу тенгсизликлардан эса
. 
Я
ҳосил бўлади. Агар, хусусий ҳолда, 
<7
< -^- Деб олсак,
|ь 
х п \
<
\ х п 
х п_,\ 
-
бўлади, яъни бу ҳолда 
\ х п
— 
х п _ , \ < ь
дан | £ —
х п
| < е келиб чиқади. 
М и с о л. Итерация усули билан
/ ( х ) = х* —
80х + 32 = 0 
(3.11
тенгламанинг мусбат илдизлари 5 та ишончли ракам билан топилсин.
Е ч и ш. Штурм методиии кўлла'\ бу тенгламанинг мусбат илдизлари 
ва 
Чч
ларнинг мос равишда (0; 0,5) ва (8,5; 9) оралиқларла ётишини кўрамиз. 
Итерация методини қўллаш учуи (3.11) тепгламани каноник кўринишда ёзиш 
керак. Буни кўп усуллар билан бажариш мумкин. Лекин ҳар доим ҳам каио- 
ник кўринишдаги 
у ( х )
функция георема шартини камоаглантиравермайди. 
(
3
.
11
) тенгламаки унга эквивалент бўлгак, масалан, қуйидаги уч хил кўри- 
нишда ёзиш мумкин:
х = х 3
— 79х + 32 = (р/л:)
(3.12)
41
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

®ки
* з + Э
2
еки
* =
ў
80* — 32 г <Р
з
(
аг
).
(3.13)
(3.14)
Ҳар иккала илдиз атрофида ҳам 
чч(х)
лар ҳосилага эга бўлгани учун тео- 
ремадаги (3.6) шартни | <р/(л:)| < ди <рг(х) ларнинг қайси бири теорема шартини қаноатлантиришини кўрайлик, 
<р,'(х) = З
а
:3
— 79 бўлгани учун ҳар иккала илдиз атрофида ҳам 
\ у
1
(х)\
> 1, 
демак (3.12) тенглама учун итерация жараёни уЗоқлашади. Энди (3.13) тенг-
дамани текширайлик, <р'
2
(л:)= 5^!. Бундан (0; 0.5) сралиқда |<р'
2
(л:)| <
~ г
=
о 0
о 2
0
«=<
7
< 
эканлигини кўрамиз, яъни 
ни топиш учун (3.13) тенгламага ите-
рация методини қўллаш мумкин. Дастлабки яқинлашишни 
х 0 =
0,5 Деб олиб, 
кейинги тўртта яқинлашишни ҳисоблаймиз:
Х \
(0,5
)3
+ 32 
! 
80
0,4015625; лг
2
= 0,4008094; лг
3
= 0,40080487;
л
:4
= 0,40080483.
Демак, 5 та ишончли рақами билан ^ = 0,40080 деб олишимиз мумкин.
Табиийки, (3.13) тенгламада иккинчи илдизни ҳам итерация методи би- 
лан топишга ҳаракат қиламиз. Лекин бу мумкин эмас, чуики (8,5; 9) оралиқ 
учун 
\
2
'(х)\
< 
д <
1 шарт бажарилмайди. Шунииг учун ҳам (3.14) тенгламани 
текшириб кўрайлик:
<Рз'(*) =
_____ 80_____
3 ^ (8 0 * — 32)2
Бундан кўрамизки, (8,5; 9) оралиқда |<р'(л")|< — < —, шу 
сабабли (3.14)
тенгламадан 
ни топишимиз мумкин.
Нолинчи яқинлашишни 
х 0 =
9 деб оламиз, кейинги яқинлашишлар 2-жад- 
валда келтирилган. Демак, 5 та ишончли раками билан олинган қиймат 
=
= 8,7371 га тенг бўлади.
2- жадвал
1
п
хп
0
9
1
8,828
0
8,7688
3
8,7483
4
8,7412
5
8,7386
6
8,7376
7
'8,7373
8
8,7372
9
8,7371
10
8,7371
42
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Итерация методи яқинлаши- 
у
шини тезлаштиришнинг бир усу- 
ли 
ҳақида. Итерация методининг
яқинлашиши ёки узоқлашиши 
\
илдизнинг кичик атрофида ф'(Х)
ҳосиланинг 
қийматига 
боғлиқ
эканлигини юқорида кўрган эдик.
Лекин Ж . X. Вегстейн 1958 йил-
да итерация методини шундай 
________
ўзгартиришни таклиф қилган эди- 
0 
хп+< $ 
2п
ки, буни қўллаганда ср'(Х) нинг
қиймати ҳар қандай бўлганда 
10
-чизма,
ҳам итерация жараёни яқинлаша-
ди. М абодо |ср/ ('д :)|< 1 тенгсизлик бажарилса, у вақтда оддий
итерация жараёнига нисбатан Вегстейн жараёни тезроқ яқин-
лашади. 
.
Вегстейн усули
\ я /
в
/
 
1
>4,
/
 
1
\с
!
___ ___
1
X
л: = ф (х ) 
(3.15)
формуладан топилган 
х
п + 1
ни
г
п + 1
=
2
„ +
(1
— 
ч)х
п + 1
 
(3.16)
формула ёрдамида 
г
п + 1
билан алмаштиришдан иборат бўлиб, бун-
да 
<7
 — керакли равишда танлаб олинган миқдордир. 
<7
нинг қийма-
тини аниқлаш учун 
10
- чизмадан фойдаланамиз.
Фараз қилайлик, 
х п+г
(3.15) формула ёрдамида 
г п
орқали топил-
ган бўлсин, яъни 
х п+\
 =
+ ( гп).
У вақтда 
А
ва 
В
нуқталарнинг
координаталари мос равишда 
(гп,
ф 
( г п))
ва 
(хп+и
*п+
1
) бўлади.
Бундай ҳолда 
г п+:
учун энг қулай қиймат