Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

мавжуд ва <р(л) функция узлуксиз бўлса, (3.3) тенгликнинг ҳар
иккала томонида лимитга ўтиб,
\ =
Нш 
х п
= Пш с? (х
„_0
= <р (Пш 
х п)
 = <р (£),
П-*оо 
П-*оо 
п~+
оо
Я
'1
 НЦ
| = ф ( 5 )
г а эга бўламиз. Бу тенгликдан кўринадики, £ берилган тенглама-
зшнг илдизи экан. Демак, бу илдизни (3.3) формула ёрдамида ис-
талган аниқлик билан ҳисоблаш мумкин. (3.4) лимит мавжуд бўл-
тан ҳолда итерация жараёни 
яқинлашувш
дейилади. Лекин Ншд:„
П —*■
оо
■мавжуд бўлмаслиги ҳам мумкин, бундай ҳолда оддий итерация
усули мақсадга мувофиқ бўлмайди.
Итерация методи содда геометрик маънога эга. Буни тушуниш
у ч у н у = ф (х ) ва 
у — х
функцияларнинг графикларини чизамиз.
Бу графикларнинг кесишган М нуқтасининг абсциссаси (3.1) тенг-
■ламгнинг 
х = 1
илдизидир.
Фараз қилайлик, л
:0
нолинчи яқинлашиш бўлсин, у вақтда
Л
0
(л:0, <р (д:0)) нуқта у = ф(л:) эгри чизиқда ётади (
6
- чизма) 
Бу
■иуқтадан горизонтал 
(ох
ўқига параллел) чизиқ ўтказамиз. Бу чи-
зиқ 
у = х
биссектрисани Д,(<р(л:()), <р (л 0)) нуқтада кесади. ф (л:0)
ии 
х х
билан белгилаб олсак, 
Вх
нуқтанинг координаталари 
(хи х х)
кўринишга эга бўлади. 
Вх
нуқта орқали оу ўққа параллел тўғри
чизиқ ўтказсак, у у == 
(х)
эгри чизиқни 
А х(хх,
<р(л:,)) нуқтада
кесади. Бу жараённи давом эттириб, у =
х
биссектрисада ётган
В.2(х2, х 2)
(бу ерда 
х 2 =
 
сўнг у = <р(х) 
эгри 
чизиқ
устида 
А 2(
х
2,
 
ф
(
м
)) нуқтага эга бўламиз ва ҳ. к. Агар итерация
жараёни яқинлашса, у вақтда 
А 0, А х, . . . , А п, . .
. нуқталар
«злаиаётган 
М
нуқтага яқинлашади. 
А 0, А х, А г, . .
. нуқталарнинг
-х0, х х, х 2,
. . . абсциссалари 
\
га, яъни (3.1) тенгламанинг илди-
зига яқинлашади, Шундай қилиб, итерация методининг геометрик
адаъноси қуйидагидан иборат: у = ф
(х)
эгри чизиқ билан коорди-
наталар бурчаги биссектрисасининг кесишиш нуқтасига синиқ чи-
зиқ бўйлаб ҳаракат қиламиз, синиқ чизиқнинг учлари навбат би-
6
-чизма,
7-чизма,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

5 /
8
-чизма, 
9-чизма.
лан эгри чизиқ ва биссехтриса устида ётади, томонлари эса нав-
бат билан горизонтал ва вертикал йўналган бўлади. Агар эгр®
чизиқ ва биссектриса 
6
- чизмадагидек жойлашган бўлса, у вақт-
да синиқ чизиқ зинапояни эслатади. Агар эгри чизиқ ва биссек-
триса 7- чизмадагидек бўлса, унда синиқ чизиқ спирални эс~
латади. 
,
Итерацион ж араён узоқлашиши ҳам мумкин. Бунинг гео-
метрик маъноси шундан иборатки, зинапоянинг поғоналари (ёкиг
спиралнинг бўғинлари) борган сари катталашади, шунинг учун:
ҳам 
Ао, А и А2,
... нуқталар 
М
га яқинлашмайди, балки узоқла-
шади (
8
—9-ч и зм алар ).
Модомики, итерация жараёни ҳар доим яқинлашавермас
экан, демак, бу ж араён яқинлашиши учун қандай шартлар
бажарилиши кераклигини аниқлаш катта аҳамиятга эга. Б у
шартлар ушбу теоремада кўрсатилади.
1-теорем а. Фараз қилайлик, 
у ( х )
функция ва дастлабки;
яқинлашиш 
Хо
қуйидаги шартларни қаноатлантирсин:-
1
) ф(Х) функция 
_
\х —
 х
0| < 8
 
(3.5)
оралиқда аниқланган бўлиб, бу оралиқдан олинган ихтиёрий ик-
кита 
х
ва у нуқталар учун <р(х) Липшиц шартини қаноатлантир-
сив:
|®(х) — ф ( у ) | <
9
|х — 
у\
 
(0 <
<7
 < 1); 
(3 .6 )
2
) қуйидаги тенгсизликлар бажарилсин:
Хо — ? (*о)1 <
'П,
 
т
3
—
( 3. 7>
У ҳолда (3.1) тенглама (3.5) оралиқда ягона 1 илдизга эга бўлиб».
{хп}
кетма-кетлик бу ечимга интилади ва интилиш тезлиги
\х п ~ Ц
< ^
 
Чп
 
(3 .8 )
тенгсизлик билан аииқланади.
3 $
www.ziyouz.com kutubxonasi

---