Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

381
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

У,
— © —
- + )
У,
— ® — —ф —
Т
- 4 ь -
!
4
-
1
- 4
,
! 
х
хра
4
■<>
11
Ч
41
28-чизма,
б у ерда
Н =
Ь
— 
а
~ Т ~ '
к =
й
— 
с
2 •
Ш у н д а й қ и л и б , ҳам м аси бўлиб 
т ў қ қ и з т а
(х , , у }) (I,
у' =
0
, 
1
, 
2
) 
н у қ т а г а э г а б ў л ам и з (28- ч и зм а ). 
Э н д и ( 1 3 .1 ) и н тегр ал д а 
ь 
а
1 —
|
й х
|
ў ( х , у ) й у
а 
с
и ч к и и н тегр ал н и ҳ и с о б л а ш у ч у н С и м п сон ф срм уласин и қўл л ай м и з: 
ь к
7
~ 1 Т [Д * > Уо) + 4 / ( * .
У \ ) + Ў ( х , уъ)\с1х
=
а
Ь 
Ь 
Ь
 
"
] ў ( х , у 0) й х
+ 4 1
ў ( х , у х) й х
+ 1 ў ( х ,
у 2)с1х
Ҳ а р бир и н т е г р а л г а я н а С и м п со н ф орм уласини 
қ ў л л а с а к , у ҳ о л д а
кк 
-
 
и
^ = -9 
{ [ / К , Уо) + 4Л ^ 1 , У о ) + / ( * 2> Уо)] +
4
[ /( ж 0, У Л +
+ 4 / ( х ъ У
1
 
) + Ў ( Х ъ , у х) \ + [ ў ( х 0, У*) + Ь ў ( х и У 2) + Ў ( Х 2,
у О ] ’ 
ёк и
. 
!
кк
д -Н Л ^ О , Уо) + / ( *
2
, У о ) + / ( *
0
> 
У л ) + Ў ( Х и
У ,)] 
+ Ч ў
( Х и
У о ) + / К ,
У\) +
/ ( Х ц
У \ ) + Ў ( х и у 3) ] + \ Ъ ў ( х и У,)}
(1 3 .2 )
ҳ о с и л б ў лад и . Б у ф о р м у лан и қ и с қ а ч а қу й и д а ги
кўри ниш д а ёзи ш
м ум кин:
кк
1
» Т
2 л 
1ЧЎ(Х
1
, У/ )•
I,
/ = 0
Б у ерда Ху қу й и д а ги у ч и н ч и тар ти б л и
-1 
4 1
А =
4
16 4
1 
4 1
м атри ц ан и н г элем ен ти д и р (2 8 -ч и з м а ). 
.
К ўрсати ш м ум к и н ки , (1 3 .2 ) ф о р м у лан и н г қ о л д и қ
ҳ ад и
Ь*Ь
в*/(е,ч) 
Л
1
) 
А6А® йв/(е», 
12
)
45 
"
^ ( / ) =
( 1 3 .3 )
дх
4 
45 
йу4 
902 йл:2(/у4
( а < Ь < Ь ; С С ^ <.(1)
кўри н и ш га э г а
бўлади.
Қ о л д и қ ҳ а д н и н г б у кў р и н и ш и д ан м а ъ л у м б ў лад и к и , 9 н у қ т а л и
3 8 2
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

( 1 3 .2 ) ф о р м у л а д а р а ж а с и учдакг ортм аган к ў п ҳ а д л а р н и ан и қ и н т е г - 
раллай ди .
М и с о л . Симпсон 4°рмуласи ёрдамида
ҳисоблансин. Бу ерда
5 1 . .
И
ЛхЛу
, „ 
~&+ЎЎ
деб оламиз. Интеграл. остидаги функция / (
х
, 
у) = {х + у)~ ‘-
йидаги жадвалда келтирилган
қийматлари қу-
4
4,5
5
0
0,0625000
0,0493827
0,0400000
0,5
0,0493827
0,0400000
0,0330688
1
0,0400000
0,0330688
0,1666667
(13.2) кубатур ^ормулани қўллаймиз:
, 
0,5-0,5
I
яа -----— [0,0625000 + 0,0400000 + 0,0400000 + 0,1666667) +
+ 4(0,0493827 + 0,0493827 + 0,03300688 + 0,03300688) + 16-0,0400000] =
= 0,044688.
Б и р ў л ч о в л и ҳ о л д а г и д е к б у ерда ҳ а м а н и ҳ ли кн и ортти риш
м ақса- 
дида Й =
у < с/) т ў ғр и т ў р тб у р ч а к н и н г том он лари -
ни м ос равиш да 
т
ва 
п
б ў л а к ч а л а р га б ўли б, 
ҳо си л б ў л га н
т п
та 
к и ч и к тў гр и т ў р тб у р ч а к л а р н и н г ҳ а р бирида 
С и м п сон ф орм уласин и 
ҳ о с и л қи ли ш м ум ки н. Ф а р а з 
қ и л ай л и к ,
к
Ь\-
2т
ва 
к
й
— с 
~2п~
б ў л с и н , у ҳ о л д а т у г у н л а р н и н г тўри қ у й и д а ги ко о р д и н а та л а р га э г а
б ў л а д и : 
■
.
XI = х 0 + 1к, х 0 — а, I
=
0
, 
И.т;
У] = Уо + ЎК Уо *=с> 1
= 6 7 2 Й Г
Қ у л а й л и к у ч у н
/ ( х г
, у у) = / г/ д е б о л и б , 
ҳ а р б ир 
к и ч и к
т ў гр и
т ў р т б у р ч а к к а ( 1 3 .2 ) ф орм улан и қ ў л л а с а к , у ҳ о л д а
I I
Л Х >
у ) й х й у
~ -д 2 2
№ 21’
2
/ 
+ /
2 1
+
2 , 2 1
 + Лс+
2
,
2/+2
+
а с 
1=01=0
+ /2(,-2/+2 ) + 4 ( / 2/+1, 2/ + / 2/+2, 2/+1 
+ / 2 1 +
1, 2/+2+/21, 2/+1 ) +
16
/
2
г+
1
, 
2
/+
1
]
г а э г а б ў л а м и з ё к и ў х ш а ш ҳ ад л ар н и и х ч а м л а с а к ,
6
а 
кк
2п
1 1
Л х , У)с1хс1у
2
2
1ч / ч
.
а с 
1=01=0
383
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

б у е р д а Хд қ у й и д а ги м атр и д ан и н г элем ентидир:
1
4
2
4
2
.
. 4
2
4
1
4
16
8
16
8
.
. 16
8
16
4
2
8
4
8
4 .
. 
8
4
8
2
2
8
4
8
4 . . . 
8
4
8
2
4
16
8
16
8
. . . 16
8
16
4
1
4
2
4
2
.
. 4
2
4
1
Б и з и ч к и ва т а ш қ и и н те г р а л л ар н и н г ҳ а р и к к а л а с и у ч у н ҳ ам Симп» 
с о н ф орм уласин и 
қ ў л л а д и к . И ч к и и н тегр ал н и бир к в ад р ату р ф ор- 
м у л а билан ҳ и со б л аб , т а ш қ и и н ге гр а л н и эс а б о ш қ а ф орм ула билан 
ҳ а м ҳ и соб лаш м ум ки н эди.
А г а р 2 с о ҳ а
а
< х <
Ь,
<р(х) <
у
< ф(л:)
т е н г с и з л и к л а р би лан а н и қ л а н га н б ў л с а
(2 9 - ч и зм а ), б у
ҳ о л д а ҳ а м
( 1 3 .1 ) и н тегр ал н и ю қ о р и д аги у с у л би лан ҳ и со б л аш м ум кин:
ь
<к*) 
ь
| | Л * >
у )Л х й у
= |
й х
|
Д х , у ) й у =
|
Ғ { х ) й х ,
2
а 
ч(х) 
а
б у ерда
Ғ ( х ) =
|
Д х , у ) й х .
<е(х)
ь
Б и р о р кв ад р ату р ф орм улан и қ ў л л а б , |
Ғ(х)с1х
ни ҳ и соб лай м и з:
а
п 
.
I I
Д х , у ) й х й у
«
2
А ‘ Ғ ( Х {
). 
(13.4)
У*Ф!
у=уМ
I
Ў з навбатида
<И-»0
Ғ ( х { ) =
Г 
/ ( X I , у ) й у
■ И х 0
и н те гр а л н и б о ш қ а бирор кв ад р ату р ф орм ула 
х
би лан ҳ и с о б л а ш м ум кин:
29-чизма,
Б у н и (1 3 .4 ) г а қ ў й и б қуй ид аги
1П[
Ғ(Х[ 
)
= 2
в ч Д х 1
У/ )
/=-1
п т1
I | Л * .
у ) й х й у
2
2
Л ' 
в ч
^ х ‘
> 
' 
( 1 3 .5 )
Л 
1=1 1=1
Ш
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

кубатур формулани ҳосил қиламиз. Биз қараган (13.4) ва (13.5)'
формулаларда кўп тугунлар қатнашади. Бу йўл билан борсак ин-
теграл карраси ортган сари тугунлар сони ҳам тез ортиб боради.
Агар интеграллаш соҳаси 
п
ўлчовли куб бўлиб, ҳар бир ўзгарув-
чи бўйича интеграллаш учун 
т
тадан нуқта олинса, у ҳолда ту-
зилган кубатур формуланинг тугунлари сони 
N — тп
та бўлади.
Шунинг учун ҳам, кубатур формулалар назариясида энг юқора
аниқликка эга бўлган формулалар тузишга ҳаракат қилинади.
2. И нтерполяцион к убат ур ф ор м улал ар. Интеграл остида-
ти функцияни 2 ўлчовли интерполяцион кўпҳад билан алмашти-
рамиз.
Агар 
Ц
(
х
, у) кўпҳадларни қуйидагича
1 ‘
(+•> 
у})
= { 
У — 1, АГ
аниқлаб олсак, у ҳолда
■
N
Ц х > У)
= 2 / ( * / . 
У‘
.) 
1 ‘ (х ’ у)
 
(13.6)
1=1
кўпҳад 
(х^
 
пуҳтада 
/(х^.
у7-) ҳийматни ҳабул қилади. Инте-
грал остидаги функцияни (13.6) билан алмаштирамиз:
N
.
|
Л х > У)<*хс1у 
Ц х , у)йхс!у
= 2
А ‘ Л х ‘
, 
Уь
),
*2 
2 
1=1
бу ерда 
А
-1
= 1 1
Ц (х, у)йхйу
а
бўлиб, уни мураккаб бўлмаган соҳалар учун ҳисоблаш қийин змас.
Фараз қилайлик, Й 
соҳа тўғри тўртбурчак бўлсин:
<
Ь,
с < у < й). Интеграллаш тўри сифатида
--------
-------- - 
Ь
 — 
а
' 
а — с
XI
 
+
у ; = с + у й ( г = 0, 
т\
/ = 0 ,
п),
А =
—
к =
——
тўғри чизиқларнинг кесишишларидан ҳосил бўлган нуқталар тўп-
ламини оламиз, у ҳолда қуйидаги интерполяцион формулага эга
бўламиз:
т 
п
 
•
л х > у)
~ 2 2 / с ^
1=0
 
) = 0
у .) 
У - Уд>
/=0 
Х1 
Х1 з
= 0
 Уу — 
Уз
1ф1 
$ф]
Буни тўғри тўртбурчак бўйлаб интегралласак,
Ь й
а с
т 
п
, у) йхйу
 « 2
^ А чЛх ‘
, 
У])
■
 
1=01=0
ҳосил бўлади, бу ерда
ь
1 ]~
| П
° 1=0 Х1 — Х1
1Ф1
йх
[ п
У — У\. йу
о 3=0 
У ) -
У•
25—2105
38®
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

■ёки 
А
1
, = (Ь — а) (с1 — с )
1 1 > т + 1
 •//,„ + !
кўринигцда ёзиш-мумкин, Л-, 
т+\
ва //, п-и лар эса Ньютон— Котес
■формуласининг коэффициентларидир.
14- §. СТАТИСТИҚ СИНОВ МЕТОДИ (МОНТЕ—КАРЛО МЕТОДИ)
Ш у пайтгача тузилган квадратур (кубатур) формулалар учун
■функцияларнинг бирор синфида қолдиқ ҳаднинг аниқ баҳоси бе-
рилган эди ёки бериш мумкин эди. Масалан, 7- § да С1 (/.) синф
учун тўғри тўртбурчаклар формуласининг хатоси учун 0,25 
Ь М~х
Саҳони 
аниқлаган эдик, 
бу ерда 
N
квадратур формула ту-
гунларининг сони. Бу баҳо қаралаётган синфнинг барча функция-