|
п
лар учун Л1П)> 0 бўлиши керак. Бу эса мусбат
коэффициентли квадратур формулалар катта аҳамиятга эга эканли-
гини кўрсатади.
В02
www.ziyouz.com kutubxonasi
2- §. ИНТЕРПОЛЯЦИОН КВАДРАТУР ФОРМУЛАЛАР
1.
Энг содда квадратур формулалар: тўғри тўртбурчак, тра-
пеция ва Симпсон формулалари.
Энг содда квадратур форму-
лаларни оддий мулоҳазалар асосида қуриш мумкин. Айтайлик,
ь
|
ў(х)йх
а
-
интегрални ҳисоблаш талаб қилинсин. Агар қаралаётган оралиқда
/ (
х )
сопз1 бўлса, у вақтда
\ / ( х ) й х ^ ( Ь —
(2Л)
деб олишимиз мумкин (23- чизма). Бу формула
тўғри. тўртбур-
чаклар формуласи.
дейилади.
Фараз қилайлик,
/ ( х )
функция чизиқли функцияга яқин бўл-
син, у ҳолда табиий равишда интегрални баландлиги
Ь — а
га ва
асослари /фа) ва
/(Ь)
га тенг бўлган трапеция юзи билан алмаш-
тириш мумкин (24- чизма), у ҳолда
ь
С
о
—
а
]
/ (х )й х
»
—
(ў(а) + /(Ь))
(
2
.
2
)
деб олишимиз мумкин. Бу формула
трапеция формуласи
дейи-
лади. Ниҳоят,
/ (х)
функция [
а , Ь\
оралиқда квадратик функция-
ь
га яқин бўлсин, у ҳолда ]*
/( х )й х
ни тақрибий равишда
Ох
ўқи
а
ва
х
а, х — Ь
тўғри чизиқлар ҳамда
у = / ( х )
функция графи-
а -\- Ь
гининг абсциссалари
х = а , х = *
—
ва
х — Ь
бўлган нуқталари-
дан ўтувчи иккинчи тартибли парабола орқали чегараланган юза
билан алмаштириш мумкин (25- чизма), у ҳолда қуйидагига эга
бўламиз:
|
/( х) йх
»
Ь
~
{
/ ( а )
+ 4 / {
+
/(Ь)
] .
(2.3)
303
www.ziyouz.com kutubxonasi
У
Ьшг
X
0
г
25-чизма.
Бу формулани инглиз математиги Симпсон 1743 йилда таклиф эт-
Г5Н эди.
Бу формуланинг ҳосил қилиниш усулидан кўриниб турибдики,
у барча иккинчи даражали
Р2{х) — а 0
+ а 1х +
а 2х 3
кўпҳадлар учун аниқ формуладир. Шундай қилиб, биз учта энг
содда квадратур формулаларга эга бўлдик. (2.1) формулани тузиш-
да у ўзгармас сон
Қх) — с
ни аниқ интеграллашини талаб қилган
эдик. Лекин у
/{х) — а 0
+
а хх
чизиқли функцияни ҳам аниқ ин-
/
а
+
Ь
\
теграллайди, чунки
{Ь
—
а ) /
I —
I баландлиги
Ь — а
ва ўрта
/
а
+
Ь
\
чизиғи / ( —— I бўлган ихтиёрий трапециянинг юзига тенг (26-
чизма).
Шунга ўхшаш Симпсон формуласи ҳам биз кутгандан кўра
ҳам яхшироқ формуладир. У учинчи даражали
Р3{х) — а 0
+
а^х
4-
а 2х
2 +
а 3х 3
кўпҳадларни ҳам аииқ интеграллайди.
Ҳақиқатан ҳам, учинчи даражали
Р 3{х)
кўпҳадни қуйидагича
ёзамиз:
Р3{х)
—
а 0
+
а^х
+
а 2х
2 +
а 3х 3
=
Р2{х)
+
а 3х 3,
у вақтда
ь
ь
ь
ь
|
Р2{ х ) й х =
|
Р 2{х)йх
+ а 3
|
Р 2{х)йх
+
~
( + — а 4). (2.4)
а
а
а
а
Лекин бизга маълумки,
[•
,
Ь
—
а
( а + Ь \
,)
Р/х)с1х
= - д -
[Р2{а)
+
4Р
2 —
+
Р 2{Ь)\.
(2.5)
а
'
'
Иккиичи томондан,
.
а-ҳ
-{{Ьк
,,
Ь
—
а (
/ д +
6
\з
1
■«')=>
~
о
~
4 а 3^
- ў - )
+ а 3631
(
2
.
6
)
304
www.ziyouz.com kutubxonasi
айният ўринлидир. Энди (2.5) — (2.6) ни (2.4) га қўйиб,
|
Р 3(х)4х
=
Ь
~ ^ { Р9(а)
+ 4Р 3 (
)
+
Р,(Ь
) }
ни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб, биз
учта квадратур формулани кўрдик. Улар-
дан иккитаси тўғри тўртбурчак ва трапеция формулалари—бирин-
чи даражали кўпҳад учун аниқ формула бўлиб, Симпсон форму-
ласи учинчи даражали кўиҳад учун аниқ формуладир.
2.
Тўғри тўртбурчак, трапеция ва Симпсон формула-
ларининг қолдиқ
ҳадл ар и . Энди юқорида қурилган квадратур-
формулаларнинг қолдиқ ҳадларини аниқлаш билан шуғулланамиз.
Тўғри тўртбурчак формуласининг қолдиқ ҳади
Яо(/) = I
/(Х)с1х
- ( Ь — а ) / {
—
)
ни топиш учун
/( х)
функция
[а, Ь\
оралиқда иккинчи тартибли
узлуксиз
/"(х)
ҳосилага эга бўлсин деб фараз қиламиз. У ҳолда
Тейлор формуласига кўра:
<%
—
|-
ь
1 /
а + Ь
2 \ Х - —
,
а
Ь
бу ерда
х
< С = С(х) <
—
■
Бу тенгликнинг ҳар иккала тол%-
нини
а
дан
Ь
гача интегралласак,
Ко(/) = ^ ) [ х - —
) т < 1 х
(2.7>
р
(
а
+
Ь
\
келиб чиқади, чунки ] I х -------1ал; = 0.
Қуйидагича
белги-
лаш киритайлик:
т
= т т
/"(х), М
= т а х /"(л;).
а<*<&
а<*<&
/
й: -|-
Ь
\ 2
^
Интеграл остидаги функция I х ------ / У3 ишорасини сақлайди».
шунинг учун (2.7) интегралга умумлашган ўрта қиймат ҳақидагк
теоремани қўллаш мумкин:
(• (
а
+
Ь
\ 2
(Ь
— а
) 3
’
Т?0( / ) = Т ] ( ^ -------2“ )
й х ^ Ь - ^ + ,
(2.8)
бунда
т
< /. < 7И, / / х ) узлуксиз бўлгани учун Коши теорема-
сига кўра шундай с,
а
< | < 6 топиладики,
Ь ~ / % ) .
2 0 —2105
3 0 5
www.ziyouz.com kutubxonasi
(2.9)
Энди (2.8) тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:
/?о(/)
(Ь
—
й
) 3
~~24~ / % ) .
'Бу зса қолдиқ ҳаднинг изланаётган кўринишидир.
Энди трапеция формуласининг қолдиқ ҳадини топайлик.
Бу-
■нинг учун
ў(х)
функцияни
х = а
ва
х = Ъ
нуқталардаги
қиймат-
-лари ёрдамида
интерполяциялаб, интерполяцион формулани қол-
диқ ҳади билан ёзамиз:
Д х ) - Д ( х ) = \ { х - а){х - Ь)/ % ) .
Б у тенгликнинг ҳар иккала томонини
а
дан
Ь
гача интеграллай-
Миз, натижада
1 6
Я ,( /) = т |
{х - а){х - Ъ)ў%)йх
ҳосил бўлади. Бу ерда
[а, Ь
]
оралиқда
{х — а) {х — Ь)
< 0 бўл-
■гани учун /? ,(/) интегралга ўрта қиймат ҳақидаги умумлашган те-
оремани қўллаш мумкин:
Ш / )
=
2
- г ® ) {х-а) { х - Ь ) й х =
------^
/'%) ( а ^ Ь ) .
(2.10)
а
Ниҳоят, Симпеон формуласининг қолдиқ ҳадини аниқлайлик. Бу-
•нинг учун
с = 0,Ь{а ■% Ь)
деб олиб, қуйидаги
Н{а) = / { а ) , Н{с)
=
Дс), Н'{с)
= / ( с ) ,
Н{Ь)
=
ДЬ)
шартларни қаноатлантирувчи Эрмит интерполяцион кўпҳадини ту-
.замиз:
Л ( х )
=
(%=ГЬ
)2
[(* —
СУ(Х - ь)У(а) - { X - а)(х ~ Ь){а - Ь)/{с) —
— {х — а){х — Ь){х — с){а — Ь)/'{с) — {х — а){х — с//{Ь)\.
Равшанки,
.
Р*
,
Ь — а
/ а + Ь \
]
Н{х)йх
=
[/{а)
+ 4 / 1 —
) +
/{Ь)\.
а
4
'
Энди 5-бобнинг 13-§ га кўра
/ {х) = Н{х)
+
г{х)
формуланинг қолдиқ ҳади
г (х)
= й й
( х ) / 1
ДС)
{а
< С <
Ь)
•бўлиб, бу ерда
&
{х) = {х — а){х — сУ{х
—
Ь).
Демак, (2.3) формуланинг қолдиқ ҳади
1 Г
£ » (/)= ■
Т
а
) & (
х
) Р Л №
х
интерполяцион
3 0 6
www.ziyouz.com kutubxonasi
бўлиб, й (х) кўпҳад
\а, Ъ
] оралиқда ўз ишорасини сақлайди ва;
умумлашган ўрта қиймат теоремасига кўра
(I)
_
га эга бўламиз.
Қолдиқ ҳадлар учун чиқарилган формулалар яна бир бор шу-
ни кўрсатадики, тўғри тўртбурчак ва трапедия формулалари би-
ринчи даражали кўпҳадлар учун аниқ бўлиб, Симпсон формула-
си учинчи Даражали кўпҳадлар учун аниқ формуладир.
3.
И нтерполяцион
квадратур формулалар. Бундан кейин
Do'stlaringiz bilan baham: |
