|
-[а, Ь\
оралиқда узлуксиз бўлган функциялар тўп-
лами бўлсин.
Т а ъ р и ф . Қуйидаги иккита шартни қаноатлантирувчи ушбу
$ т( х ) = З т(х,Ап)
функция дефекти 1 га тенг бўлган
т- даражали полиноминал
сплаан
дейилади:
1) Ҳар бир
[X;, х 1+х\ (1 = 0 п)
оралиқда
8 т(х) £ Н т(Р)\
Бу ердаги { + } нуқталар
сплайн тугунлари
дейилади.
5 т (х)
сплайннинг
т-
ҳосиласи
[а, Ъ\
оралиқда узилишга эга бўлиши ҳам
мумкин.
'
Агар
к = 0 , \
.............
т
лар учун
8 {к)
(а + 0) =
8т) (Ь
—
а)
тенгликлар бажарилса,
8 т (х)
сплайн
Ь
—
а даврли даврий сплайн
дейилади.
Таърифни қаноатлантирувчи сплайнлар билан бир қаторда шун-
дай сплайнлар ҳам қараладики, уларнинг силлиқлиги
Ап
тўрнинг
турли қисмларида турличадир. Бундай сплайнлар
[а, Ь\
оралиқнинг
турли қисмларида турли силлиқликка эга бўлган функцияларни
яқинлаштиришда фойдаланилади.
Одатда, сплайн ягона равишда аниқланиши учун
[а, Ь\
оралиқ-
нинг четки
а
ва
Ъ
нуқталарида
яегаравий шартлар
деб аталувчи
қўшимча шартлар қўйилади. Амалда учиичи Даражали, яъни кубик
сплайнлар кенг қўлланилади.
.
Сплайнларнинг ҳисоблаш математикасида кенг қўлланилаётган-
лиги сабабларидан яна бири уларнинг қийматларини ЭҲМларда ҳи-
соблашнинг қулайлиги ва улар ёрдамида интерполяциялаш каби
жараёнларнинг кенг синфдаги тўрлар учун яхши^яқинлашишлиги-
дадир (юқорида айтилгандек кўпҳад билан интерполяциялаш бун-
дай эмас).
Бундан буён биз интерполяцион кубик ва 5 з ( х ) = 5з
(Ь) =
0
чегаравий шартларни қаноатлантирувчи сплайнлар билан шуғуллана-
миз.
■
Интерполяцион кубик сплайнларни қуриш. Олдинги пункт-
да айтилгандан сўнг қуйидаги таърифни бера оламиз.
Т а ъ р и ф . Қуйидаги
тўрт шартни
қаноатлантирувчи ушбу
8 ( / , х ) = 8 3(/, х, Ап)
функция
интерполяцион кубик сплайн
дейилади:
1. Ҳар бир
[Х;, х 1+1\ (1 = 0,п)
ораликда
8 ( ў , х ) £ Н г (Р)\
2. 5
( / , х ) в
С2
[ а , Ь \ \ _
'
3. Тўрнинг
х к (к = 0, п)
тугунларида 5 ( / ,
х к)
=
/ к
тенглик
ўринли;
4.
8 " ( / , х )
учун
8 " ( / , а ) = 8"(/,Ь) = 0
(9.1)
£94
www.ziyouz.com kutubxonasi
чегаравий шартлар бажарилади. Б у тўрт шартни қаноатлантирувчи
ягона 5 ( / ,
х)
сплайн мавжудлигини кўрсатамиз. Бунинг учун аввал
қуйидаги ёрдамчи фактларни келтирамиз.
Лемма. Фараз қилайлик,
А = [а{]] п
- тартибли квадрат матри-
цанинг элементлари
,
т ш { | л „ | - 2 | а . . 1 } = 9 > 0
(9.2)
шартни қаноатлантирсин. У ҳолда
А х = Ь
система ягона ечимга
эга бўлиб, унинг ечими
шах
\ х к\ < ц ~ '
шах
\ Ьк \
(9.3)
1<к<п
1
<к<п
тенгсизликни қаноатлантиради.
И сбот. Агар
А х = Ь
системанинг озод ҳадлари
нолга тенг
бўлса, у ҳолда (9.3) тенгсизликдан бу системанинг фақат тривиал
ечимга эга эканлиги, демак, йе1.
А Ф
0 бўлиши ва бу системанинг
ихтиёрий озод ҳадлар учун ягона ечимга эгалиги келиб чиқади.
Шунинг учун ҳам, леммани исбот қили и учун (9.3) тенгсизлик-
ни келтириб чиқариш кифоядир. Фараз қилайлик, (9.2) шарт
бажарилсин ва шах | х г|
= х к
бўлсин. У ҳолда
Ь1 = ''^ ацХ/
экан-
1
/ = 1
лигидан
шах |
Ь
1
1
1
акк
(|
х к
|
2 I
11
I
1<1<«
]фк
=
шах | х , | { | а ЙА [ — 2 1%'| }> < ? т а х | * , |
бўлади. Шу билан (9.3) тенгсизлик ва демак лемма исботланди.
Агар матрицанинг элементлари (9.2) шартни қаноатлантирса,
бундай
матрлца салмоцли. бош диагоналга эга
дейилади.
Энди сплайнни қуриш билан шуғулланамиз, 5 ( / , л) нинг иккин-
чи ҳосиласи тўрнинг ҳар бир [ я ^ . л:.] оралиғида узлуксиз бўл-
ганлиги туфайли
х {_ г
<
х
< .
х {
да ушбу
$"{1,
х
) = М 1_1^ 1* + М 1х
- = ^ = ±
(9.4)
тенгликни ёза оламиз. Бу ерда
ва
М {
= 5" ( / ,
х^).
Бу тенгликнинг ҳар икки томонини интеграллаб қуйидагига эга
бўламиз:
5 (/, *> -
+
М ,
+
+ В. £т г =1'
(+5)
бунда
Аь
ва
В{
интеграллаш доимийлари бўлиб, улар 5 ( / ,
= Л
_1
ва 5 ( / , *;) = / шартлардан аниқланади. (9.5) да
х = х {_{,
У?{
X
=
X]
ларни ўрнига қўйиб мос равишда
М ^ - ^ - А
{ = / {_ х ва
295
www.ziyouz.com kutubxonasi
А?
М,-
+
В(
= / ларни ҳосил қиламиз. Бундан
А.
ва
В{
ларни
топиб (9.4) га қўйсак, натижада
___ _
____
-Х
Ь- , ) 3
6 Л;
5 ( / , х )
•5'(Д+>------М
6/г;
+
—X
‘
1 - 1
Ь{
( X I - X
) 2
2
М1—М1_,
/ г
+ М,
М{ Ъ?1\
х
— Х1-
х
~ {
’
( Х — Х г -
2
Нь
>4
к,
(9.6)
(9.7)
6
I
ларга эга бўламиз. Охирги тенглик [+.,
х 1+х\
оралиқ учун қуй«’
даги кўринишга эга:
5 '
(/,х)
= —
М ь
+
М
I
В
+ 1
—Ў
1
2
н
1+1
1 ‘ “ /+1 2Лг+1
_
м 1+
1—
^
Лг+4
6
"т+1 •
(9-8)
Энди (9.7) да
х
нинг
х.
га чапдан ва (9.8) да д: нинг
х {
га ўнгдан
интилгандаги, яъни
х и х ъ
, х п_х
лар учун ҳосиланинг бир
томонлама лимитларини ҳисоблайлик:
Ў1—Ў1
- 1
3 ' " ‘1 '
нь
’
(Г
5 , ( + - ° ) = | ^ - 1 + Т уИГ
1 ,я — 1)
5 '
{х{
+ 0) =
Ў { + 1
м ,
.(И±1 м
-
6
‘ +
1
Ў1 + 1 — Ў1
3
1
§ 1 + 1
|йг + 1
•
Таърифнинг 2) шартига кўра
8'
( / ,
х)
ва
8"
( / , л;) функциялар
\а, Ь\
п-1
нуқталарда уз-
оралиқда узлуксиз.
8 ' ( / , х )
нинг
х и х 2, . . . , х^
луксизлигидан фойдалансак, қуйидаги
п
— 1 та тенгламага эга бў-
ламиз:
М
|
Ь{ў-Ь{+\
, Лг+1
. .
__/<+1 —
Ў{
6
м (- х
4-
з
Т 6 /+ + 1 —
ь
- ў {
Ў1 ■
(9.9)
6 " ‘ / - 1
1
3
" ‘ 1 1
6
‘ " ‘ + 1
—
Л / +
1
'
Н {
Б у тенгламаларни (9.1) чегаравий шартдан келиб чиқадиган
АГ0 = Л + = 0
(9.10)
тенгликлар билан тўлдириб,
а,
+ ; =
Ь {
+ Л ;+1
.
с.
Ь { + \
,
+ . =
Ў{+\
ЎI
/{
Ў{ —
\
(9.11)
6 ’ “ ’
3
6
Н 1 + 1
Л;
белгилашларни киритсак, у ҳолда
М 1г М 2, . . . , М п- 2
номаъ-
лумларни топиш учун
+
ЎМ\
—
(—
С\ ЬА2
=
(Ў\,
а 2
М х
+
Ь2 М 2
+
с2 М 3
•=
й2,
ав М 2
+
Ъъ М г
+
сг М 4
==
й3,
а п
~ 2
М п- 3
+ Ьп~2
М п_2
+
с
п_2
М п_ г
йп_л,
а п
- 1 - ^ п - 2 +
Ьп - 1 М
п—1
“
(9.12)
/
1 - 1
296 ,
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. (9.11) га кўра (9.12) сис-
теманинг матрицаси салмоқли бош диагоналга эга бўлганлиги ту-
файли ихтиёрий
/
, / 2 , . . . , /„ лар учун (9.12) система ягона
ечимга эга. Шундай қилиб, 1 )— .4) шартларни қаноатлантирувчи
ягона сплайн мавжуд экан. (9.12) системани ечишнинг жуда ҳам
эффектив алгоритми мавжуд, уни қуйнда келтириб ўтамиз. Бунинг
учун барча
к = \ ,
2, . . . ,
п
— 1 лар учун
Рн = акЯк
- 1
+ Ьк
(
(9 .1 2 )
9 к = —
£/г
ри
ик =
Ц
& - 1
Рк
(«о = 0)
ёрдамчи миқдорларни ҳосил қиламиз. Сўнгра (9.12) системанинг
2- , . . . ,
(п
— 1) -тенгламаларидан кетма-кет
М и М ъ
Do'stlaringiz bilan baham: |
