Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

Е п
( / ) учун (8.10) ва (
8
. 11)
баҳолар устма-уст тушади:
Еп
 (/) =
|Дп
+1
 [ (6 — 
а)п+1
2 2 Л + 1
Шуидай қилиб, бу ерда анг яхши текис яқинлашувчи кўпҳад Чебишев кўп<
ҳадииинг
а
+
Ь
хц =
 
^
Ь
 — 
а
—
 соз
ъ(2к+
1)
' 2
 
( п
 +
1
)
(к
= 1, я + 1)
илдизлари бўйича тузилган интерполяцион кўпҳад билан бир хил бўлади.
Энг яхши яқинлашувчи кўпҳадни бошқа кўринишда ҳам тас-
вирлаш мумкин:
Рп (х)
 = д л+1 
(х)
-
ап+х Тп+1 ( ~
^ )
( Ь
 — 
а ) п + !
22Л + 1
(
8
.
12
)
Ҳақиқатан ҳам, ўнг томондаги ифода 
п-
даражали кўпҳаддир, чун-
ки 
х п+г
олдидаги коэффициент нолга тенг. (8.12) дан кўрамизки,
/ С
?л+1
 (л:) — 
Рп (х)
 I максимумга эришадиган уш бу
х ,
а
+
Ь
~ТГ~
Ь
— 
а
~~2~
соз
гс/
п
 + 1
( / = 0, 
п
 + 1 )
нуқталар 
[а, Ь\
оралиғида Чебишев альтернансининг нуқталарини
л 
ташкил этади.
Чебишевнинг 
Тп (х)
кўпҳадлари яқинлашувчи кўпҳадлар дара-
жасиии пасайтириш учун ҳам қўлланилади. Буни қуйидаги мисол-
да кўрайлик. Фараз қилайлик, 
/ ( х )
 = соз л: ни [— 1, 1] оралиқда
олтинчи-даражали кўпҳад билан яқинлаштириш талаб қилинсин. Бу
функциянинг Тейлор қаторида 6- даражали ҳадини сақласак:
< З е М
= 1 - | + £ - /!.
6! '
292
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

у
ҳолда
!1 /-< Э б Н < ^ < 2 5 -1 0 -«
ва
I I / - 0« II > 1/(1) -
(1) I > 8Т — ш > 24• 10~6-
Энди яқинлашувчи кўпҳад сифатида, созл: нинг Тейлор қаторида
қуйидаги
<38 (х) = 1 —
. X* 
X* . X
8
-т- лл----- «Т -г-;
6 ! 
1 81
қисмий йиғиндини олиб, бу ердан Г8 
(х)
=
2~7 Т&(х)
Чебишев кўп-
ҳади ёрдамида 
х &
ни йўқотамиз, натижада олтинчи даражэли ушбу
р в
 (*) = 
(*)-•£ 
т8(х) =
: I 1 —
¥ Ж
) — (1Г 
М Г ) 
х 2
+ ('
Н !
4 1 8 !
кўпҳадга эга бўламиз. Шу билан бирга
| 1 / - ^ 1 < 1 | / - С в || + ^ | 1 П | | < т ш + -5
о г
< 4 7 - Ю - 8.
10
!
27-8!
Шундай қилиб, 
Р6(х)
кўпҳад /(лг) = с о з х функпия учун олтинчи
Даражали Тейлор қаторига нисбатан 50 марта яхшироқ яқинлашиш-
ни беради.
9- §. СПЛАЙН-ФУНКЦИЯЛАР БИЛАН ЯҚИНЛАШИШ
Сплайн-функциянинг таърифи. Биз 4- бобда ва шу бобнинг
олдинги параграфларида функцияни кўпҳадлар билан яқинлаш-
тиришнинг турли усуллари билан танишдик. Силлиқлиги юқори
бўлмаган функциялар учун кўпҳадлар яқинлашиш аппарати
сифатида қатор ноқулайликларга эга. Булардан энг асосийси
шундан иборатки, бундай функцияларнинг бирор нуқта атрофи-
даги ҳолати, уларнинг тўла ҳолати билан узвий боғлиқдир.
Бундан ташқари интерполяцион кўпҳадларнинг нуқсони сифа-
тида уларнинг ҳар доим ҳам интерполяцияланувчи функцияга
яқинлашавермаслигидир. Энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳад-
ларнинг камчилиги сифатида шуни кўрсатиш мумкинки, уларни
қуриш ж уда қийин ва одатда бундай кўпҳаднинг дараж аси ор-
тиши билан коэффициентлари ҳам тез ўсиб боради.
Охирги вақтларда шу нуқсондан ҳоли бўлган бошқа яқинла-
шиш аппаратлари ишлаб чиқилмоқда. Назарий тадқиқот ва
татбиқларда яхши натижа берадиган аппарат — сплайн-функ-
циялар аппаратидир. Сплайннинг таърифи билан танишайлик.
Ҳақиқий ўқдаги 
[а, Ь]
оралиқда ушбу
А„ : 
а
 =
х 0
 <
х х
 < . . .
< х п = Ь
293
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тўр берилган бўлсин. Фараз қилайлик, 
Нт (Р)
даражаси 
т
дан
ортмайдиган кўпҳадлар тўплами, 
С{к)
 =
С{к) [а, Ь\
ўзи ва 
к
тартиб-
гача ҳосилалари