|
ш ар ти дан
т о п а д и г а н
б ў л с а к ,
у ҳ о л д а
у л а р у ч у н қ у й и д а ги ф ор м ул ал ар га э г а б ў л а м и з:
а к
= — ^ /(х )с о з
кхйх,
2п
Ц
/ ( х ) з т
кхйх.
(А = 0, 1, 2, . . .)
(
6
.
2
)
Булар анализ курсидан маълум бўлиб,
/ (х )
функциянинг Фурье
коэффициентларидир. Энг кичик оғишнинг миқдори эса қуйидаги-
чадир:
2тс
\ / \ х ¥ х
п
+ 2 < « 2 + »Э
Хусусий ҳолда, агар
/ ( х )
жуфт функция бўлса,
27
7
www.ziyouz.com kutubxonasi
ак
= - I /(л:)со5
кхйх, Ьк
= 0
(к -
0, 1............
п)
(б .З )
®а / (
х
) тоқ функция бўлса,
9
Л
« 0 = 0,
а к —
0,
= — | /(д;) 8Ш
кх йх (к
= 1 ,
п)
0
>бўлади.
'
(6.1) тригонометрик кўпҳадцаги
~
а 0
«о =
> ик
=
ак
соз кх
+
Ьк
з
1
п кх
(£ — 1 , 2 , . . . )
ҳадлар одатда
гармоникалар
дейилади. Агар (6.2)
формулаларни
(6.1)
га қўйиб, я->- о° да лимитга ўтсак,
/ ( х )
функция учун
унинг
-Фурье тригонометрик қатори
оо
-тт + ^
(аксо$ кх-{- Ьк
5Ш
кх)
£= 1
2 (•
келиб чиқади. Функцияни Фурье тригонометрик кўпҳади ёки Фурьв
тригонометрик қатори шаклида ифодалаш
гармоник анализ
дейи-
лади.
Агар
/( х)
функция [0,
2т.]
оралиқда квадрати билан интеграл-
ланувчи бўлса, унинг (6.3) Фурье қатори ҳар доим ўрта квадра-
Чик
маънода уига яқинлашади. Агар
/ (х )
га баъзи қўшимча шарт-
лар қўйилса, у ҳолда (6.3) қатор унга текие яқинлашади.
М и с о л .
/ ( х )
функция [— 71, тг] оралиқда
х
2
га тенг бўлиб, (— оо, оо)
оралиқда 2я давр билан давом эттирилган бўлсин. Шу функцияни бешинчн
•гартибли тригонометрик кўпҳад билан яқинлаштириш талаб қилинсин.
Функция жуфт бўлгани учун (6.3) формулага кўра
Ьк
== 0,
2 ?
277»
а 0
= —
1
х ^ й х
= —
/
о
3
а к =
— )
х"2
соз
к х й х ■
■
к к
х 2
$
1
п
к х
■
—
1
х
$
1
п
к х й х
■
«77 ,
0
—— х
соз
к х
77
к 2
4
к
,
— -— \ соз
к х й х
о
к2Ч
4(— I)*
.Демак, излаиаётган тригонометрик кўпҳад қуйидаги кўринишга эга бўладм
773
0 5 М = - 7 Г - 4
соз
X
— -1 соз
2 х + — соз
З х
—
~
соз
4 х
+ ^ созбх!
4
У
10
278
www.ziyouz.com kutubxonasi
7 -§ . ЖАДВАЛ БИЛАН БЕРИЛГАН ФУНКЦИЯЛАРНИ ЎРТА
КВАДРАТИК МАЪНОДА ЯҚИНЛАШТИРИШ
Д а р а ж а л и к ў п ҳ а д б и л а н ў р т а к в а д р а т и к я қ и н л а ш т и р и ш ^
Фараз қилайлик,
у — / ( х )
функциянинг
х 0, х и . . . , х п
нуқталар-
лаги аниқ ёки тақрибий
/ ( х 0), / ( х х),
. . . ,
/ ( х п)
қийматлари б е -
рилган бўлсин. Даражаси
к(к
<
п)
дан ортмайдиган
Ок(х)
=
а 0
+
а / х )
+ . . . +
а кх к
кўпҳадлар орасида шундай кўпҳадни топишимиз керакки,
*=0
йиғинди минимумга эришсин. Бу ерда р/ лар р* > 0 ва ^ р
1
— 1
„
/“ 0
шартни қаноатлантирадиган ихтиёрий сонлар.
Иккинчи параграфдагидек
А'1
=
(а0, а и . . . , а п)
дан
а^л
ар-
га нисбатан ҳосила олиб, уларни нолга тенглаштирсак, у ҳолда
қуйидаги система ҳосил бўлади:
^ + + 2
р' Х'+ 1 + * • ' +
91 Х‘+к
“
]%Р‘ ЛХ1
к
/=0
1=0
2= 0
(=0
и
= 0, 1............
к).
Қуйидаги
+ = ] £ р^ »
“ 2 Р'Я + И
(=0
1=0
белгилашларни киритиб, бу оистемани уш бу кўринишда ёзиб олай-
лик:
50«0 + ^1+ + • • • +
~ ^о»
$1#о + 52+ + • . . +
= 2+
...............................-
(7.1>
Бу система
.
5 к а
0
+
+ • • • +
5 2 к а к ~ * к ‘
Ок
+ 1 =
$1
• • •
(7.2>
5*
$к+1 . . . 32к
детерминантининг нолдан фарқлилигини ва, демак, (7.1) система
ягона ечимга эга эканлигини кўреатамиз. Даотлаб қуйидаги
5\
. . .
Зк-1
1
г к )ся
52
• • •
X
Зк
$А+1 . . . 5
2к-1
х ь
278
*
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенглик билан аниқланган
к -
даражали кўпҳаднинг
X — {ха, х и
. . . , х п}
тўпламда р = {р0, р„ . . . , р„} вазн бўйича барча у <
к
-лар учун
х 1'
билан ортогонал эканлигини, яъни
П
2
р
{г к
(*,)*{ = о (у = 0 ,
1)
(7.3)
1=0
тенгликлар ўринли эканлигини кўрсатайлик. Ҳақиқатан ҳам,
} <_к
уч ун
£к (XI
) ни р
I х[
га кўпайтириб, барча / = 0, 1, . . . ,
п
лар
бўйича йиғиб чиқсак, қукидагиларга эга бўламиз:
п
п
2 Р^* (
ХдХ/1
= 2 Р*
1=0
1=0
п
5 0
$1
. . .
8 к -
-1
2
1=0
«1
^2
• • • 5*
2
ь х 1+ 1
1=0
$ к
^А+1 . . .
$ 2к~
-1
2
Р‘* 1 +А
1=0
5 0
$ 4
. .
5 к -
1
5 ;
^1
^2
• • •
5к
5 /+ 1
5/6+1 . .
$ 2 к
-1
3 / + к
Иккинчи томондан /Ҳ
(х^)
ни р*
х[
га кўпайтириб, қўшиб чиқ-
сак,
П
2
?1^к (XI )Х[ — ПА+1
(7,4)
1 ~ 0
келиб чиқади. Энди (7.2), (7.3) тенгликлар ёрдамида
П
Мк
— 2 р'
) =
®к ° к+1
(7.5)
/=0
тенгликнинг ўринли эканлигини кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам,
*^1 • • .
§ к
—1
1
^1 $2 • • •
З к
Э С 1
• • •
$2к
—1
^ 1 ^ 1 ( х 1 ) = ^ 91г к (Х 1 ).
1=0
1
=0
50
51
. • 5
а
-1
х(
51
53
• •
$к
х
{+1
5к
54+1 . • • 524-1
х(+к
280
www.ziyouz.com kutubxonasi
п
50
5,
. . • 5
а
_1 2
?1
2 к ( Х { )
1— 0
п
5 2
. ■ ■ 5*
2
? '
2 к ( X I
)х ,
1—0
п
5*
5А+1 .
• •
5
2 к — \
2 Р'
2 к ( X I ) х \
1=0
50
.
• 5*_1
0
51
52
.
.
$ к
0
=
=
О к О к + \
5*
5^+1 •
• ^ 2А—1
В к
+ !
А/* квадратлар йиғиндиси бўлгани учун у фақат
2 к
( х 0) =
2 . к
( э О
= . . . = 2 к
( х п)
= 0
бўлган ҳолдагина нолга айланади. Лекин
к < п
бўлгани учун фа-
қат
2 к
(
х
) е= 0 бўлгандагина А+ = 0 бўлади.
Агар
т.
= 1 бўлса, у ҳолда (7.2) га кўра
в д =
50
1
5^
X
=* 5 0Х
—
= 1 ■
X
—
ф
0.
Демак, А , = Й Д > 0 . Бундан Д = 5 о= 1 > 0 ни ҳисобга ол-
сак,
И2> 0
келиб чиқади.
Энди (7.5) да
к —
2 деб олсак, А^ = £)2Д ; бўлади. Аммо (7.2)
га кўра
2 к
(х) да х 2 олдидаги коэффидиент
В 2
га тенг ва исбот-
ланганга кўра
В 2 Ф
0, шунинг учун ҳам А^2 > 0; бундан эса
О г>
>
0. Бу мулоҳазани давом зттириб,
Оц+х Ф
0 эканлигига ишонч
ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб, (7.1) система ягона ечимга эга, бу системани
ечиб изланаётган кўпҳаднинг коэффициентларини топамиз.
М и с о л. Қуйидаги
X I
0 ,7 8
1,56
2,3 4
3, 12
3,81
/ ( Х \ )
2 ,5 0
1,20
1,12
2,25
4,28
маълумотлар учун
1(х) функцияга яқинлашувчи иккинчи даражали Р 2(х ) =
— а0 + ахх + а2х 2 кўпҳад тогшлсин.
Е ч и ш. Керакли ҳисоблашларни 3 3 -жадвалдаги схема бўйича олиб бо-
рамиз. Берилган мисолга тегишли ҳисоблашлар 34- жадвалда келтирилган, бу
ерда битта эҳтиёт рак.ам олиниб, ҳисоблашлар вергулдан кейин учта ўнли
рақамда олиб борилган.
281
www.ziyouz.com kutubxonasi
3 3 - ж а д в а л
Ўрта квадратик яқинлашиш схем аси
Do'stlaringiz bilan baham: |
