|
си нолдан фарқлилиги сабабли
Р(х)
= (а 0ф0(х) +
а х(ўх(х)
+ . . . +
+
а п
фл
(
х
))2 кўпҳад айнан нолга тенг эмас. Демак, Грам детер-
минанти Гя нолдан фарқли ва (2.7) система ягона ечимга эга.
1- м и с о л. Ушбу
/ ( х ) = V х
ни [0, 1] оралиқда,
р(*)
= 1 бўлганда би-
ринчи даражали кўпҳад билан ўрта квадратик маънода яқинлаштирилсин.
Е ч и ш. Бу ерда у
0
= 1,
у Ц х ) — х ,
р(лг) = 1 бўлгани учун
(?о>
?о) = ]' ГаГх =
1
, (?), <р0) = |
х й х = — ,
о
о
1
(?ъ
|
х Ч х
= I-, ( / , ?0) = |
V
х й х
=
( / ,
=
Г
х У х й х =
Демак, (2.7) система
1
2
Яо+ 2 + “ 7
1
1
2
—
йг\
“Г —
й \
=* —
2
0
3
1 2
5
кўринишдадир.
„
4
4
4
Бундан
а 0
= — ,
а х
= — бўлиб, изланаётган кўпҳад
Р х( х )
= — (1
3*)
15
5
15
бўлади (19- чизма).
264
www.ziyouz.com kutubxonasi
2
- м и с о л .
1
-мисол вазн р(дс) =»
=
1
—
х
бўлган ҳол учун ечилсин.
Вазнга нисбатан шуни айтиш мум-
кинки, у оралиқнинг чап четида ях-
широқ яқинлашишни
таъминлайди.
Бу ҳолда
1
1
(?о . То) = ~ . («Ро. ?
1
> = — .
(?1. ?1) =
4
4
( / . <Ро) =
- 5'
( / . <Р1) = 3 5 ,
демак, (2.7) система қуйидаги кўри-
нишга эга:
■
■
I
1
4
- «
о
+ - « 1 = Г5
I
I
4
- а° + 12 «1 = 35-
Бундан До =
_8
35’
«1 =
32
35’
Р М
= - (1 +4лг) (19- чизма).
3 -§ . ОРТОГОНАЛ КЎПҲАДЛАР СИСТЕМАСИ
Олдинги параграфдаги методнинг ноқулай томони шундан ибо-
ратки, яқинлашувчи умумлашган кўпҳаднинг коэффициентларини
топиш учун (2.4) системани ечишга тўғри келади, бу эса катта
п
лар учун жуда кўп меҳнат талаб қилади. Агар биз ихтиёрий
чизиқли эркли (
ф
„(
л
:)} система ўрнида {<|>„(х).} ортогонал кўпҳад-
лар системасини қарасак, у ҳолда (2.4) система соддалашлди.
Агар
ь
(Р, 0)
= | р
(х)Р(х)^(х)йх
= 0
а
бўлса,
Р(х)
ва С2(х)
функциялар \а, Ъ\ оралицда р(х) вазн
билан ортогонал,
хусусий ҳолда
р(х)
= 1 бўл са,.
Р(х)
ва (2(х)
функциялар
[а, Ь\
оралиқда ортогонал дейилади.
Агар ихтиёрий
к, I (I ф к)
индекслар учун
ь
| р (*Ж (*Ж (*)Ж е = 0
(ЗЛ)
а
тенглик бажарилса, у ҳолда {ў,,(х )} функциялар системаси
р(х)
вазн билан
[а, Ь\
оралиқда
ортогонал системани
ташкил эта-
ди дейилади.
Биз 3- бобда векторларни ортогоналлаштириш усулини кўриб
ўтган эдик. Бу ерда ҳам ихтиёрий чизиқли эркли кўпҳадлар сис-
темаси {ф„(х)} дан, хусусий ҳолда
(хп)
системадан,
[а, Ъ\
ора-
лиқда р(х) вазн билан ортогонал система тузиш мумкин.
2 6 5
www.ziyouz.com kutubxonasi
Т ео р ем а . Ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида ортогонал кўпҳад-
лар системаси ягонадир, бошқача айтганда, агар
Фо(^), ф,(х), . . . .
Уа(х), . . .
.
1 о ( х ) ,
Х Л Х )
.............
1 п ( х ),
• • •
системалар
\а, Ь]
оралиқда р(л:) вазн билан ортогонал бўлган ик-
кита система бўлса, у ҳолда албатта
*
1
>п(х ) = * С п 1 п ( х )
( л - 0 ,
1,
2, . . . )
бўлиши керак.
И сбот. Аввало ҳар хил даражадаги ва турли системадаги
кўпҳадларнинг ортогонал, яъни
ь
|
? ( х ) ^ к{х )у а (х )с 1 х
= 0
( к ф I )
а
эканлигини кўрсатамиз. Аниқлик учун
к~>1
деб олайлик. Хг(я)
ни ягона усул билан'
I
■
& (*)== 2
У - о
кўринишда ёзиш мумкин. Бундан (3.1) ни ҳисобга олган ҳолда
ь
I
ь
5
р
(х ш х ш х ¥ х
= 2 ^ 1
9(х )^](х ш х )^х
= о
а
/—0
а
га эга бўламиз, чунки у < / <
к.
Энди
ул(х)
нинг ф /л ) орқали тас-
вирланишида номери У < / бўлган барча
коэффициентларнинғ
нолга тенглигини кўрсатамиз. Бунинг учун
ь
1
?(х )Ь (
х
)
ь
(
х
)^
х
а
интегрални қараймиз, бу ерда / < /. Бир томондан, исботлагани-
мизга кўра бу интеграл нолга тенг, иккинчи томондан эса
Ь
I
Ь
| р(х)<1ц
( х ^ х ^ й х
= 2
С)
| р(*Ж
(х)^^х)йх—
а
/ —0
а
Ь
=
С Ь
|
9 (
х
Ц % х ¥
х -
а
Ўнг томондаги интеграл нолдан фарқли, шунинг учун ҳам
— 0.
Демак, барча / < / учун
Сг
= 0, яъни
Ч х ) ^ с {Ц х ) .
Ш у билан теорема исботланади.
Агар ортогонал кўпҳадларга яна бирор қўшимча талаб қў®
266
www.ziyouz.com kutubxonasi
йилса, масалан, кўпҳаднинг бош коэффициенти бирга тенг бўли-
шини ёки бош коэффициенти мусбат бўлиб, нормаси
\ \ ь
«
?{х)$\{х)йх
бирга тенг бўлиши талаб қилинса, у ҳолда ортогонал кўпҳад яго»
иа равишда аниқланади.
-
Ўзаро ортогонал ва нормалари бирга тенг бўлган кўпҳадлар
системаси
ортонормал кўпҳадлар системаси
дейилади. Берил-
ган
%{х),
фг(л:), . . .
§п{х)
ортогонал системанинг ҳар бир кўп-
ҳадини уларнинг нормаларига бўлсак,
Р й{х)
«
Фо(-*)
1№о11 ’
Р у{х)
=
'М-*)
1 М ’ •
, Р п ( х )
М*)
ПФлИ ’ ■ * •
ортонормал система ҳосил бўлади.
Юқорида айтганимизга кўра
берилган
[а, Ь)
оралиқ ва
[>{х)
вазн учун ортонормал кўпҳадлар
системаси ягонадир.
’
Энди ўрта квадратик маънода
/{х)
функцияга энг яхши яқин-
лашувчи
(ўп{х)
кўпҳадни ортонормал кўпҳадларнинг^чизиқли ком-
бинацияси шаклида излаймиз:
<2*(*) =
а 0Р0{х)
+
а хР / х )
+ . . . +
а пРп{х).
Бу кўпҳаднинг козффициентлари
а к
лар (2.7) системадан топила-
ди. Лекин бизнинг ҳолда
( Р 1 , Р } = * Ч
бўлгани учун
ь
«А = ( / . Л ,) “= 1 Р
(х)/(х)Рк(х)йх
а
бўлади ва энг кичик оғиш эеа
ь
ь
Ч ~
| Р М [ / М —
<Зп( х) ]Чх =
|
р{х)/2{х)йх —
а
а
.
п
Ь
п
п
Ь
—
2 2
ак
|
р{х)ў(х)
•
р к(х)йх
+ 2 2 а ь
а 1
1
9
(х)Рк(х)Р
1
(х)йх
■
А=0
а
.
к—0 1 =0
а
■
Ъ
п
п
= |
р(х)/2(х)йх
— 2
2
а &+
2
а *’
к
=0
яъни
82
'I
=* I
р(х)Р(х)йх
— 2 а .
к
=0
билан характерланади.
ь
267
www.ziyouz.com kutubxonasi
4- §. ОРТОГОИАЛ
КЎПҲАДЛАРНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ
Ортогонал- кўп ҳадлар
учун
р екуррен т
м у н осабат л ар .
Ортогонал кўпҳадларни тез аниқлашга имкон берадиган рекур-
рент муносабатни келтириб чиқарамиз.
1 -т ео р ем а . Ортонормал кўпҳадлар системасининг ихтиёрий
учта кетма-кет элементлари учун қуйидаги рекуррент муносабат
/>„+!(*) =
{х
—
%)Рп(х) — ~ ~ Рп_ г
(д:)
(4 .1 )
ўринлидир, бу ерда р.я
Рп(х)
нинг бош коэффициенти бўлиб, а п
қандайдир ўзгармас сон.
И сбот.
х Р п(х)
кўпҳаднинг даражаси
п
+ 1 га тенг бўлгани
учун уни Я0(л:),
Рг(х),
. . . ,
Рп+\(х)
чизиқли комбинацияси орқа-
ли ягона кўринишда ифодалаш мумкин:
х Р п(х)
=
аор о(х)
+
^ Р г(х)
+ . . . +
*пРп(х)
+ ~ ^ Р „ +
1
(х). (4.2)
Б у тенгликнинг ҳар иккала томонини р(х)Р^(х) (у =» 0,
1, . . . ,
п
— 2) га кўпайтириб,
[а, Ь\
оралиқ бўйича интеграллаймиз:
Ь
п
Ь
| р
(х)Рп(х)[хР}(х)]с1х
=
I
р
(
х
)Р/(
х
)Р
1
(х)с1х
+
а
1=0
а
Ь
+
1 р(х)Р£х)Рп+
1
(х)ах.
а
Чап томондаги интеграл нолга тенг, чунки барча у <
п
— 2 лар
учун
х Р }(х)
даражаси
п
— 1 дан ортмайдиган кўпҳаддир, шунинг
учун ҳам уни
Р0(х), Р х(х),
. . . ,
Рп-\(х)
ларнинг чизиқли ком-
Do'stlaringiz bilan baham: |
