|
Бунинг исботини, масалан, [4] дан қараш мумкин. Бу формулада
Е, ^ ва
£2
лар,
х 0, х х
.............
х п
нуқталарни ўз ичига оладиган
энг кичик оралиқнинг қандайдир нуқталаридир. Агар
х
нуқта
х 0,
х г
.............
х п
тугунларнинг бирортаси билан устма-уст тушса, у
ҳолда (16.11) нинг ўнг томони соддалашади ва охирги ҳад нолга
айланади.
Қуйидаги теоремани келтирамиз.
Т еор ем а, Фараз қилайлик, л: нуқта
х 0, х^,
. . . ,
х п
тугунларни
ўз ичига оладиган энг кичик [а, й[ оралиқнииг ташқарисида ётсин.
Агар
/ { х )
функция интерполяция тугунлари ва л: нуқтани ўз ичига
оладиган энг кичик
[а, Ь\
оралиқда
(п
+
1
) - тартибли узлуксиз
ҳосилаларга эга бўлса, у ҳолда шундай
5
( & < + < + ) нуқта мав-
ж удки, ихтиёрий
к
(1
< £ < я ) учун
-
тенглик ўринлидир.
И сб о т. Ёрдамчи
Г ( « г-Ч
“{П
% ( х ) / (П+1)®
Кп
(+) —
(„ +
1
)|
(16.12)
<Р
( ? )
=
( 2 )
— * > « + !
( * )
(16.13)
функция оламиз, бу ерда
К
ўзгармас бўлиб, уни кейинроқ аииқ-
лаймиз.
9
(г) функция
[а, Ь\
оралиқда (я + 1)- тартибли узлуксиз
ҳосилага эга ва
х 0 , х
х , . . . ,
х п
тугунларда нолга айланади,
шунинг учун ҳам Ролль теоремасига кўра: (а, р) оралиқда
ф
' ( 2)
камида
п
та ҳар хил илдизларга, ср" (г) камида
п
—
1
та ва ҳоказо,
(г)
эса камида я + 1 —
к
та ҳар хил илдизларга эгадир. Энди
доимий
К
ни шундай танлаймизки,
г = х
да ср<А)(х) =
0
, яъни
<Р(*> ( х ) =
Я{п ]
(X ) -
К ^ п
1
1 ( * ) =
0
(
1 6
.
1 4
)
бўлсин.
К
ни шундай танлашга ҳақлимиз, чунки
<41+1 (г)
нинг бар-
ча « +
1
—
к
та илдизлари (а, б) оралиқда, х: эса (а, р) дан ташқа-
рида ётади ва демак, <
4 + 1
(х)
+
0
. (16.14) дан
К
ни топамиз:
Я {пк)(х)
(16.15)
К
нинг бу қийматида
о(к) (г)
ҳосила
\а, Ъ\
оралиқда камида
я + 2
— к
та турли илдизларга эга. Ролль теоремасига кўра
[а,Ъ\
251,
www.ziyouz.com kutubxonasi
ичида ср(*+1> (
2
г) камида я +
1
—
к
та, <р(*+2)
(г)
камида
п — к
та ва
ҳоказо, <р(л+1)
(г)
эса [
а
, &] да камида битта £ илдизга эга: 'р(ч+1>(£) =
=
0
, яъни
? (п+1)
(I) = / {п+Х) ( 1 ) - ( п +
1
)! К =
0
.
Бундан 'зса
/ (л+1)(£)
(и + 1)! •
,
К
нинг бу қийматини (16.15) билан солиштирсак, теореманинг
тасдиғи келиб чиқади.
Л агранж интерполяцион кўп ҳади ёр дам и да сонли д и ф ф е -
ренциаллаш. Юқоридаги (16.4) тенгликдаги
Ьп (х)
сифатида Лаг-
ранж интерполяцион кўпҳадини олайлик:
бу ерда
"V / (■**)
гт
А=0 “ « +
1 (+) /_0.
/+к
(X - X;),
“« +
1
=
+
1
(+>)*=*,•
(16.16) тенгликдан
(16.16)
£ М £ ) |
_ V
Ў
(**)
+ гг
.
Л
йх
\х=хх
о>'п
,
1
(х^)
'
*
й=0 "+1 4
/==0, /V*
|д;
1
Х1
= 2 - ю; +(Х
) 2 П
( + - + ) .
(16.17)
г#у
Охирги тенгликда фақат иккита ҳолда, яъни
к
= / ва
}
=
I
бўл-
гандагина
П
П (^, - х,)
(=0
кўпайтма нолдан фарқлидир. Шунинг учун ҳам,
± к п М _
I
/(-**)
V _!_ П
( х
г)4-
йх
*=*,
ш'
/„ч
Ал
XI —X,
1 1
I
% +
}=Ъ, Н=1 1
П = 0 ,1 ф /
■
П
^ / V
П
/( * * ) _
1
Демак,
й Ьп (х)
йх
+ 2
< х , - х , )
А=0.
к+1 " + 1 ( А)
^
*
1=0, 1+1
х
( х д
З ^ Ь ) + “ « + 1 М
2
1
/=
0
,
1+1 1
>
й=
0
кф1
Ў(Хк)
к=0 (Ч-ХьК+^Хк)
‘
(16.18)
2 5 2
www.ziyouz.com kutubxonasi
Агар лг^ = л
:0
+ /Л бўлса, ш , / ( + ) = (— I
)'1
11\ (п — 1)\Нп
бўлган-
лиги учун,
ў — / ( х д
Деб олиб, қуйидагига эга бўламиз:
й 1*п (х)
Лх
=Х1
Л £ > 1~ *
1
, ( -
1
)'
ПСп к
= 0
кф1
(_п * г к
(
]- / ў .
(16.19)
Қолдиқ ҳад эса (16.9) формулага кўра
а я п(х)
_ ( -
1
)"-*
(в+1)
йх
Х=Х1~ {П + I) С1
/
( I ) Н п
.
(16.20)
Энди (16.19) — (16.20) формулалар ёрдамида
п
нинг турли қий-
матларида ҳосила учун формулалар чиқарамиз.
.
п =
2
(тугунлар учта) бўлганда:
ў (х0)
= + ( - 3
/ 0
+
4 ў - ў ) + ~ ў" (I),
ў (х ,) = ^ ( ў - / 0) - ^ ў " ( 1 ) ,
/ (*,) = / ( / о - 4 + + 3 / 2) + | г
Ф-
/г == 3 (тугунлар тўртта) бўлганда:
/ (х о) = р ( - 11 / 0 + 1 8 / х - 9 / 2+ 2 / 3) - ^ / У (£),
/ (*
1
> = 4 ( - 2 /о - 3 / + 6 / - / . ) + Т
2
/ У
/
( Х 1> — о Л
( / о
3 / + 3 / 2 + 2 / з )
2 2
/
(Ю*
/
( х о) = 6 ^ ( - 2 / о + 9 / -
1 8
/
2 + 1 1
/ з ) +
© •
« = 4 (тугунлар бешта) бўлганда:
/ ( + ) =
Ш
( - 2 5 /о + 4 8 / - 3 6 /2 + 1 6 /, - 3 / 4) + у / (I),
/ ( + ) =
т
( - 3 /о -
10/ +
1§/ -
6 / + / ) ~ го / У
/ (**) = 4 ( / ~ з / + 3 / - / ) + + о /У (9 .
/ (*») = Ш ( - / + 6/ - 18/ + 10/з + З/з) - | /
/ ( + ) = 4
( 3 / - 16/ + 3 6 / - 4 8 / 3 + 2 5 / ,) + 1
/
(I).
Агар бу формулаларга эътибор берилса,
п
жуфт бўлганда ўрта
нуқталардаги ҳосилалар ифодаларининг нисбатан содда эканликла-
рини кў]:и:н мумкин. Шу билан бирга қолдиқ ҳадлардаги ҳосила
олдидаги коэффициентлари ҳам кичикдир. Шунинг учун ҳам амал-
2 5 3
www.ziyouz.com kutubxonasi
да, мумкин қадар шу формулаларни қўллашга ҳаракат қилиш керак.
Энди (16.10) — (16.11) дан « = = 2 да иккинчи ҳосилалар учун
қуйидаги ифодаларни чиқарамиз:
.
Г (
х
0) - 1 1 Г
о
- 2 Л + Л ) - Ь / ' " ( 1 1)
+ | 2/ ’
у
(У,
■
Г
(*0 = р (/„ - 2 / + /2) - § / 1У (?),
Г
(*») -
р
(/о - 2 Л + / ,)■ + /г/да ( У - | / 1У ( У .
Б у ерда ҳам ўрта нуқталарда ҳосиланинг хатоси энг кичик бўлади.
Н ью тои
формуласи ёрдамида сонли дифференциаллаш.
Интерполяция тугунлари тенг узоқликда жойлашган бўлса, у ҳол-
да сонли дифференциаллашда Ньютон,
Бессел,
Стирлинг, Эверетт
формулаларидан фойдаланиш мумкин.
Ньютон биринчи интерполяцион формуласидан фойдаланайлик:
Ьп(х)
=
Ьп(х0
+
(Н)
=
Р(()
=
/ 0
+
(/',
+ ~
/ ? + . . . +
,
— ! ) ■ • • [ / — (га —
1)1
Н------------------ ------------------------
->
41
%
•
Б у кўпҳад ҳадларини группалаб, уни
(
нинг даражаси бўйича ёзиб
чиқамиз:
р({)
= / 0 + / [ А —
А г
р Л 4 + - р /% + . . . ] +
+
211/1
““ / “/> + 12/2 — Т -А + • • • ] + зр [/% — -2-/2 +
+ \ / 1
(16.21)
Бу ерда қавс ичида фақат бешинчи тартиблигача чекли айирмалар
қатнашадиганларигина ёзилди, амалиётда шу етарли бўлади. Ик-
кинчи томондан
Р(()
ни Тейлор формуласи бўйича ифодаласак:
Р(()
= Р ( 0 ) +
Р'(0)(
+
/ 2
+ • • • +
(16.22)
Энди (16.22) ни (16.21) билан таққосласак:
р '(°)
= - А
- \ л г \ / 1 — \ /!
+
\ / 1
— • • • ,
Р " (
0) = / 1 - А
+ 1 ^ / 2 - 4 / V + . . . I
я
,//( 0 ) =
д
- 4 /
24
+ {
а
- . . . ,
Сўнгра А =
1
, 2, . . . , я учун
а кР(()
№ « ) =
=0
’ йй
р(й)(0)
йй
1
254
www.ziyouz.com kutubxonasi
ни ҳисобга олган ҳолда
х 0
нуқтада сонли дифференциаллаш учун
қуйидаги формулаларга эга бўламиз:
У'(х о) — }[■ (/%
----- 2
У*
----- 4
/ 2
+
5
' А — • • •)>
У"(х о)
7/2
( /1
~ / 31 +
12
/
2
— ' б / I + • • • ) >
п * о ) ~ р ( А - 4 / * + - т / “« - •
Аницмас коэф ф и ци ен тлар
м етоди . Агар тугунлар ихтиё-
рий равишда жойлашган бўлса, Лагранж кўпҳадидан фойдаланмас-
дан, амалда анча қулай бўлган аниқмас коэффициентлар методи-
Do'stlaringiz bilan baham: |
