|
бўлса, у ҳолда / ( х ) бутун функция
дейилади.
Т ео р ем а . Фараз қилайлик,
/ ( х)
бутун функция бўлсин. У
ҳолда элементлари
[а, Ь\
оралиқда ётувчи (12.1) кўринишдаги
ихтиёрий учбурчак матрица бўйича
/ ( х )
учун тузилган Лагранж
интерполяцион кўпҳадлари
Ьп(х) \а, Ь\
оралиқда
/ (х )
функцияга
текис яқинлашади.
И сбот. Бутун функция ихтиёрий тартибли ҳосилага эга бўл-
гани туфайли, интерполяцион формуланинг қолдиқ ҳади учун қуйи-
даги баҳога эга бўламиз:
I я * (*) I = I / (*) -
1п (х)
I <
^
1 0
)
я+1
(X)
I.
Б у ерда
П
М п+1
= шах | / ('1+1)
(Х)
| , «о
я+1
(х)
=
П
(х
— дг/я)).
а<Х<*
г_д
Кўриниб турибдики,
\®п+
1
{х ) \ < ( Ь — а)п+\
демак,
|
Агар бу тенгсизлик ўнг томонининг нолга интилишини кўрсатсак,
теорема исбот бўлади. Биз
/ ( х )
нинг ( « + 1) - тартибли ҳосила-
сини топиб, баҳолаймиз:
оо
.
/ (п+
1
)
(х)
=
2
к(к — \) . . . (к — п) ак (х — х й)п~к~ \
к=п
+ 1
2 3 6
www.ziyouz.com kutubxonasi
| / (п+
1
) ( х ) <
2
* (
6
-
1
) • • •
Ф - п ) \ а к \ \ х - х 0\ * - к~'
к=п
+ 1
оо
.
<
2
(п +
кУ+'
I
а^ ь
11
х
-
| А - 1
к
— 1
Маълумки,
х
> 0 бўлганда
( > + * ) ■
•<
ех
бўлади, бундан
Ш
" +Ч
1 + ± Г
< ^
'
Демак,
I /
(п + 1)
( х ) \
< 2
\ а п + к \ ( е \ х - х й \)и~ \
(п
+
1
)
Л+1
к=\
Энди
Ь
ихтиёрий мусбат, лекин муайян сон бўлсин. Охирги
тенгсизликнинг ҳар иккала томонини /.”+' га кўнайтирамиз:
' С + о й
1
^ п+1
<
2
1
а ”+А
1 1П+1
{е
| х ~ х ° | )6_1-
/е=1
Агар
г
орқали / ва т а х
( е \ х —
х 0 [) сонларнинг энг каттасини
а<х<Ь
белгиласак, у ҳолда
I /
(п+
1
)
(л +
1
)п+
2
г й.
/г= п -)-1
Охирги тенгсизлик барча
х
6
[а, Ь\
учун ўринлидир.
Демак,
Мп+\
7ц7
Г ЬП + ' <
2
\ ак\Гк-
(
12
.
2
)
(12.3)
к=п
+ 1
(л +
1
)" + !
/ ( х )
бутун бўлганлиги учун, 2 I
Iг * Кат0Р яқинлашади ва
к
= 0
ОО
унинг қолдиқ ҳади
2
\ а ь \ г к
билан биргаликда
„ - » 0 -
(12.4)
к—п
+ 1
М п+1Ьп+1
( я + I
) - " " 1
ех
нинг ёйилмаси
=
1
+ ( » +
1
) + < + Ч
. . . + + + + + + . . .
( « +
1)1
дан
п
+ 1
^ (га + 1)1
237
www.ziyouz.com kutubxonasi
к ел и б ч и қ а д и . Д е м а к ,
М
„ + 1
\п
+
1
)!
(Ь
— а
)л+1
=
Мп+1
(« +
1
)Л +
1
(п + 1)л+1
.(« +
1)1
(Ь
— а
)'г+1
<
■__Мп±
1
_
' (я +
1
)л +
1
[е
(6
— а )]я+1.
Энди
Ь*= е(Ь — а)
деб алиб, (12.2) — (12.4) дан керакли лимит
муносабатга эга бўламиз:
Н т
П-+
оо
Мп+1
(п
+
1)1
(Ь
—
а
)п+1
= 0.
Ш у билан теорема исбот бўлди.
Э с л а т м а . Теорема шартида /
(х) нинг бутун функция бўлиши жуда
муҳимдир. Ҳақиқатан ҳам, [— 1, 1] оралиқда
/ М = {
е Ч*2, агар х > 0 бўлса,'
0
, агар
х < 0 бўлса
функцияни олайлик, Бу функция сонлар ўқи бўйлаб барча тартибли узлуксиз
ҳосилаларга эга, лекин бутун эмас. Агар интерполяция тугунларини [— 1,0]
оралиқда олсак, у ҳолда
Ьп (х) = 0 бўлиб, у л: нинг ҳеч бир мусбат қиймати
учун
/ (х) га интилмайди.
•
13- §. КАРРАЛИ ТУГУНЛАР БЎЙИЧА ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАШ.
ЭРМИТ ФОРМУЛАСИ
Бу ерда интерполяцион масаланинг Эрмит томонидан кўрсатил-
ган қуйидаги умумлашган ҳолини кўриб чиқамиз.
. Фараз қилайлик,
[а, Ь]
оралйқда интерполяциянинг ( о т + 1 ) та
ҳар хил тугунлари берилган бўлсин.
Шу оралиқда аниқланган
функцияни олайлик ва
х
=
х ь (I —
0
,
т)
нуқталарда
/ ( х )
нинг
ҳамда унинг кетма-кет ҳосилаларининг қийматлари / ( + ) ,
/ '
( + ) ,
. . . , / (“г-1)
(х^) ( 1 ~ 0 , т)
берилган бўлсин. Бу ерда а0, сц , . . . ,
а т
мос равишдаги тугунларнинг
карра кўрсаткичлари
дейилади,
/ (х)
функция ҳақидаги барча дастлабки маълумотларнинг сонини
п
+ 1 орқали белгилаймиз: я
0
+
Ч + • • • + ат
=
п
+
1
. Энди да-
ражаси
(п
+
1
) дан ортмайдиган
М >
') ( + ) = / <0( + г)
(Ь = 0Гт-,
1 = 0,
+ - 1)
(13.1)
шартларни қаноатлантирувчи
Н п(х)
=
а0х п
+
ах х п~л
+ ' . . . + а„
(13.2)
кўпҳадни қурайлик. Бу шартлар а г
(I =
0,
п)
номаълумларни тс-
пиш учун ( « + 1) та чизиқли тенгламалар системасини беради. Бу
»истема ечимининг мавжудлиги ва ягоналигини кўрсатиш учун
Н 1
„1)( х л) = * 0
(к = 0 / т \ / = 0 , а/г — 1)
( 1 3 .3 )
бир жинсли системанинг фақат тривал ечимга эга эканлигини кўр-
сатиш кифоядир. (13.3) система шуни кўрсатадики
х 0 , х { ,
. . . ,
2 3 8
www.ziyouz.com kutubxonasi
х т
тугунлар
Нп(х
) кўпҳад учун мос равишда а0,
а
х , . . . ,
ат
лардан кичик бўлмаган тартибли каррали илДизлардир. Демак,
Ип (х
)
кўпҳад илдизларининг карра кўрсаткичлари йиғиндиси а
0
+ -а , +
+ . . . + ат = я +
1
га тенгёки ундан каттадир. Даражаси
п
дан
ортмайдиган ва илдизлар карра кўрсатгичлари йи« индиси
п
дан катта
бўлган
Н п
(х) кўпҳад фақат айнан нолга тенг бўлиши керак. Бун-
дан зса унинг барча а г козффициентларининг нолга тенглиги ва
бир жинсли системанинг фақат тривиал ечимга эгалиги келиб чи-
қади.
Шундай қилиб, (13.3) даги / (!>
(хк)
қийматларнинг қандай бўли-
шидан қатъи назар, қўйилган масала ягона ечимга эга. //,,
(х)
кўпҳаднинг
х к
тугунлар ва / ((>
(хк)
қийматлар орқали ошкор кў-
ринишини детерминантлар ёрдамида ифодалаш мумкин. Лекин бундай
ифоданинг тузилиши ж у д а . мураккабдир. Шунинг учун бу ерда ҳам
Лагранж интерполяцион кўпҳадини тузгандек, бошқачайўл тутамиз.
Бунинг учун фундаментал қўпҳадлар деб аталувчи я-даражали
(л:)
(Ь = 0,т-, } —
0
, аг —
1
) кўпҳадларни, яъни
< М * * ) = <& (**) = . . . =
0 § к~Х)(хк)
= 0,
Ь ф 1 ,
(13.4)
Яц
( + ) =
( + ) = = . . . =
0 1 г 1)
( + ) =
0\! + 1)
( + ) =
.
_
=
ф - :) (хд
= 0.
(13.5)
<Э//)
(X}) = 1 ( 1 =
0
,
т\ }
=
0
, аг —
1
)
шартларни қаноатлантирувчи кўпҳадларни тузамиз. У ҳолда изла-
наётган кўпҳадни қуйидагича ёзиш мумкин:
.
(13-6)
1=0
/=0
(13.4) тенгликлардан кўрамизки, Р гу-(х) кўпҳад
х 0, х х,
. . . ,
х 1-х,
, . . . ,
х т
нуқталарда мос равишда а
0
, а
4
, . . . , а
г - 1
,
а1+1
,
. . . ,
ат
каррали нолларга эга бўлиб, (13.5) тенгликларга асосан
х ь
нуқтада у каррали нолга эга.
.
Демак,
С1ц
(
X)
=
(х
— х 0)"°
(х — Хх)а'
. . .
(X
— лг
,_ 1)а' - 1
(х
— + ) ' X
X
( х - х 1+1р
+ 1
. . .
( х - х тУ>пди (х).
(13.7)
б у ерда
Цц(х) х = х {
нуқтада нолга айланмайдиган
п
—(а
0
+ . . . +
+ “! -
1
+ / + «и-1+ • • • + + ) = а г~ У —
1
- даражали кўпҳад-
дир. Қуйидаги белгилашни киритайлик
2
(х)
=
(х — х (Г"
. . .
(х — х тУт
.
(13.8)
У ҳолда (13.7) — (13.8) дан ушбу
.
23!)
www.ziyouz.com kutubxonasi
формулага эга бўламиз.
д^(х)
ни аниқлаш учун (13.5) шартларга
Do'stlaringiz bilan baham: |
