|
да итерация н^уда ҳам секин яқинлашади. Бунга ишонч ҳосил
қилиш учун ( х (/г)} нинг бир неча дастлабки ҳадини топиш кифоя-
дир. Шунда бу кетма-кетликнинг яқинлашишини тезлаштириш
масаласи туғилади.
В
матрицанинг х о с сонлари
\ \ \ > \ Ч >
• ■ •
> \ К 1
тартибда жойлашган деб фараз қиламиз. Люстерник методининг
асосий ғояси қолдиқнинг бош қисмини ажратиб олишдан иборат-
дир.
_
_
Шундай қилиб, биз
х * — х(к)
қолдиқ _ҳадининг бош қисмини
ажратишимиз керак. Бунинг учун х (1) — л:<0) векторни
В
матрица-
нинг хос векторлари бўйича ёямиз:
_
^
1’ — * (0) => Р Я + Р
2
г
2
+ . . . +
Энди л:*1) — л:<0) га (11.2) ни қўллаб
Зс<2) — Зс(1) =.
В
(Зс(1) — Х(0))
ни ҳосил қиламиз. Демак,
П
х Ю - х ^
« 2 Р М л
(11.3)
/=1
Шунга ўхшаш ихтиёрий
х (-к+Х)
—
х (к)
=
В(х{к)
— л (А_1)) вектор
учун
П
=
(11.4)
„
/=1
_
ёйилмага эга бўламиз. Шартга кўра {х (/г)} яқинлашувчи ва
00
М < 1 ,
к
= 0
1 ~ К1
бўлганлиги учун, П т х (т) =
х*
ни эътиборга олиб,
д:
—
х№=*
2
(х(к+‘+ х) — х(к+1))
=
1=0
2 2
= 2
т-=т,
1 = 0
/ = 1
/ = 1
1
/
(11.5)
198
www.ziyouz.com kutubxonasi
П
1
!)|-а бўламиз. Агар
к
етарлича катта бўлса, у ҳолда (11.3)
шлртга кўра (11.4) ва (11.5) ёйилмалардан бош қисмларини ажра-
ти(> олишимиз мумкин. Натижада қуйидаги тақрибий тенгликларга
лгл бўламиз:
* ( * + п _ + б ) ~ ^ 5 ; ,
(
1 1
.
6
)
_
_
X*
-
(П-7)
1
>ундан эса
х* « Б »
( х <А+1) -
х (к))
(П.8)
кслиб чиқади. Агар X, орқали X, нинг тақрибий қийматини белги-
ласак, у ҳолда, (
1 1
.
6
) га кўра,
Хг =
(М-
1
) _ (А)
Х!
*
Х!
М
_
( к - 1)
Х/
Х/
0
X)
( / = ! , « ) ,
Я, + <
(11.9)
муносабатлар ўринлилигини
8
- § да кўрган эдик.
Қуйидагича тузилган
^ * ) = р ) + _
1
_ ( х (*+
1
, _ 3 с (*))
(
1 1
.
1 0
)
вектор аниқ вектор
х*
га
х<к)
ва
х<к^
векторларга нисбатан
яқинроқ эканлигини кўрсатамиз. Аввал
х* — у*к)
ва
х*
—
х<-к)
ора-
сидаги муносабатни топамиз. Бунинг учун
Ц - [ Я - З Д
матрицани олиб,
х
*
—
ў » =
В г(х* —~х<к))
эканлигини кўрсатамиз.
Ҳақиқатан ҳам,
* • -
У(к)
= * -
& к+1)
-
=»
1
— X)
= х -
х (к) -
[
Сх(Ш) - X )
+
(X - х (к)) }
=
1
— Х^
* х - х (к)
------ ^
[ -
В(х* - х (к))
+ (X -
х (к))}
-
1 — Х4
в - 1 ^
в(х -
х (к))
+ ( 1 ----- ^ )
(х - х(к))
=
1 — Хх
V
1 — Х^ /
7
=
-
1- — В(х
— х(к))
----- (х*
—
х (к))
= Вг(х*
— х(к)).
1
— X)
1
— X!
199
www.ziyouz.com kutubxonasi
■Энди (11.5) дан фойдаланиб,
х* — у {к) ~ Вл(х*
—
х {к))
=
1 - ^ 1
1
1
*
1
_ у А _ р ,
‘ ~ х‘
^
к
о
'Т'
п
л^сгч
VI Л;
-
т
=
л г
+
2
г з г
М
ху
- ^
(ХУ _
Ц г {
/=2
■ - 'V
ни ҳосил қиламиз. Бундан (11.9) га кўра, яъни е = о (х ~ | ) бўл-
Гснлиги учун
_
у (к)
= о (|Х
2
|*)г„
(11.7) формуладан зса
нисоат қанча ки-
х* — х<*) = 0 (1X^1*)^!.
Охирги тенгликлардан кўриниб турибдики,
чик бўлса, яқинлашиш тезлиги шунча ортади.
Агар X, 1 га яқин бўлса, у ҳолда "[ЗГТ шУнча катта бўлиб,
бунинг натижасида (
1 1
.
10
) формула билан ҳиеоблаганда аниқлик
йўқолади. Шунинг учун ҳам, у формула ўрнига
у<*> =
х {к)
-)- —
(х{к^Р)
—
х {)>))
■ч
(
11
.
11
)
билан ҳисоблаш мақсадга мувофиқдир, бу ерда
бирдан анча
кичик бўлиши керак. Бу формула ҳам (11.10) формула каби ҳо-
сил қилинади.
12-§. ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМАЛАр СИСТЕМАСИ ТАҚРИБИЙ
ЕЧИМИНИНГ ХАТОСИНИ БАҲОЛАШ ВА МАТРИЦАЛАРНИНГ
ШАРТЛАНГАНЛИГИ
Одатда амалиётда тақрибий ечимнинг аниқлиги ҳақида тақри-
бий ечимни берилган системага келтириб қўйилиб, сўнгра ҳссил
бўлган боғланишсизликнинг бирор метрикадаги миқдорига қараб
баҳо берилади. Фараз қилайлик, х'к'
А х = Ф
(
1 2
.
1
)
системанинг аниқ ечими бўлиб,
у
эса унинг тақрибий ечими бўл-
син. Қуйидаги- белгилашларни киритамиз:
А у ~ й , & = х*
—
у , г = Ь — й = Ь
—
Ау.
(12.2)
Бу ерда е
хатолик вектори, г
эса
боғланишсизлик вектори
деб аталади. Бу векторлар қуйидаги
Аг
= г,~г =
А - 1?
(12.3)
200
www.ziyouz.com kutubxonasi
мупосабатлар билан боғланган бўлиб, хатолик вектори боғланиш-
сизлик вектори орқали аниқланади. Аммо боғланишсизлик вектори
компонентларининг кичиклиги ҳар доим ҳам хатолар вектори ком-
понентларининг кичиклигидан далолат беравермайди. Ҳақиқатан
ҳам, фараз қилайлик (
12
.
1
) система жуда кичик X хос сонга эга
бўлиб, бу хос сонга мос келувчи хос веКтор
г
бўлсин, яъни
Аг
= Хг,
У ҳолда
А ( х *
+ г) =
Ъ
+
'кг
бўлиб, X жуда кичик бўлганлиги учун
Ь
+ Хг векторнинг компо-
нентлари
~Ь
векторнянг мос компонентларидан жуда кам фарқ қи-
лиши мумкин, аммо шунга қарамасдэн х * +
г
векторнинг компо-
нентлари
х
* векторнинг мос компонентларидан жуда катта фарқ
қилиши мумкин. Шу муносабат билан е ва г векторларнинг нор-
малари орасидаги муносабатни баҳолайдиган қандайдир £Онли ха-
рактеристикалар киритишга тўғри келади. Амалиётда
||е||
ва ||г|1
нормаларнинг ўзлари аҳамиятга эга бўлмай, балки маълум маъно-
да „нисбий хатоларни" белгилайдиган
Л Н 1
М
1ЙГ
Н»||
нисбатлар катта аҳамиятга эгадир.
Матрица ва системанинг шартланганлиги тушунчаси.
Боғланишсизлик вектори
г
мумкин бўлган барча қийматларни қа-
бул қилганда
х*
ва
Ь
векторлари „нисбий хатолигининг
11
нисбати-
ни киритамиз:
Бундан зса
И
1
!ГН
(12.4)
(12.5)
келиб чиқади ва (12.5) дан кўринадики, р кичик бўлса, у ҳолда
богланишсизлик вектори нормасининг кичиклигидан хатолар нор-
масининг кичиклиги келиб чиқади. Бу ҳолда (12.11)
састема ях-
ши шартланган
дейилада. Агар ц катта бўлса, у ҳолда ;|г[| нинг
кичиклигига қарамасдан |П жуда катта бўлиши мумкин.
Бундай
ҳолда (12.1)
система ёмон шартланган
дейилади.
Шунга ў х -
шаш матрица шартланганлиги тушунчасини киритиш мумкин. Мат-
рица нормасининг таърифи ва (
1 2
.
2
) дан
зир
\ \А-' (Ах* —
Лу*)Ц
II “!|
= зир
Г
11
Л-Ц
II'I/
( 1 2 . 6 )
201
www.ziyouz.com kutubxonasi
'
= -4^7 • |;
а
-Ч1
(12.7)
келиб чиқади.
Энди (12.1) системани ўнг томони
Ь
мумкин бўлган барча
қийматларни қабул қилганда текширамиз.
Ҳар бир
Ь
учун ўзи-
нинг
х*
ечими мос келади. Бу ечимлар тўпламини X орқали бел-
гилаймиз ва (12.7) билан аниқланган ц нинг л:* векторлар
X
да
ўзгарган пайтдаги хусусиятини, яъни
8
Ир р.
х*£х
ни кўриб чиқамиз. Матрица нормасининг таърифига кўра
= !И Г1-И~Ч1-
(12.8)
V = зир р.
~х*£х
зир
1г* £
х]\х*\\
V сони
А матрицанинг шрртланганлик сони
дейилади.
(12.8) дан кўриниб турибдики, агар
А
матрица махсусликка яқие
бўлса, у ҳолда бундай матрица учун V сони жуда катта бўлади.
Бундай матрицани
ёмон шартланган матрица
дейилади. Агар
V кичик сон бўлса, у ҳолда
А матрица яхши шартланган
де-
йилади. Ҳар хил нормаларда р. ва V лар ҳар хил сонли қийматлар-
га эга бўладилар. Матрицанинг ихтиёрий нормасининг унинг мак-
симал хос сонининг модулидан катта ёки унга тенглигини
3
- боб-
да кўрган эдик. Буидан ташқари, тескари матрицанинг хос сон-
лари берилган матрица хос сонларининг тескари қийматларига
тенглиги маълум. Шунинг учун
ш ах |Х(|
т 1 п | Х г|
(12.9)
Учинчи нормада (12.9) муносабатни аниқроқ ёзиш мумкин. Ҳақи-
қатан ҳам,
=
1
И
1
,з , |И ~
11
!з
— V
гаа
хЬ~У
шахт]г ,
(
12
.
10
)
б у ерда
Ь
А
' А
Do'stlaringiz bilan baham: |
