Ózbekstan respublikasi yuqori va o’rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq

2-natija. (Borel teorem asi). Yutuqning ehtimoli p bolgan Bernulli sxemasi boyicha otkazilayotgan n ta tajribada yutuqlar soni uchun kuchaytirilgan katta sonlar qonuni o‘rinli, y a ’ni
.
Misol. Bernshteyn polinomlari. Katta sonlar qonuni, matematik analiz kursidan bizga ma’lum bo‘lgan uzluksiz funksiya ko‘phadlar orqali tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass teoremasini isbotilashda ishlatiladi. Har bir tajribada “yutuq” chiqish hodisasining ehtimoli x , qarama-qarshi hodisaning ehtimoli 1 - x , (0 < x < 1) bo'lgan bogliqsiz tajribalar o'tkazilayotgan bolib, esa n ta tajribada chiqqan “yutuq”lar soni f bolsin. U holda
P(
tenglik o‘rinli bolgani sababli
(11)
kophad f(x) funksiya uchun Bernshteyn polinomi deb
ataladi. Bernulli teorem asiga k o ‘ra
holda Mf(
munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin.
Bernshteyn teorem asi. (11) formula orqali aniqlangan { } ko‘phadlar ketm a-ketligi [0,1] oraliqda aniqlangan uzluksiz f{x) funksiyaga tekis yaqinlashadi.
Isboti. F funksiya [0,1] oraliqda uzluksiz bolgani sababli u [ 0, 1] oraliqda tekis uzluksiz boladi, ya’ni ixtiyoriy > 0 uchun shunday son topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha va sonlar uchun
boladi. f( x ) funksiya [0,l] oraliqda chegaralangan bolgani uchun, shunday o‘zgarmas son с topiladiki, uning uchun f(x) <с tengsizlik o‘rinli boladi. Ushbu
binom formulasi o‘rinli. Bunga ko‘ra
demak,

Chebishev tengsizligidan

kelib chiqadi, chunki 0 <x < 1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x sonlar uchun x(x-1) soni

tengsizlikni qanoatlantiruvchi natural son bolsin. U holda ixtiyoriy
xe [ 0.1] uchun
tengsizlik o‘rinli. Shuni isbotlash talab qilingan edi.