Xi kvadrat bólistiriliwi
𝜉𝑖 ~ N( a, 𝜎 ) hám baylanıssız tosınnanlı shamalar bolsın ( i = 1̅̅̅,̅𝑛̅ ).
𝜒2 = 𝜉2 + 𝜉2 + ⋯ 𝜉2
𝑣 1 2 𝑣
𝑣
tosınnanlı shamalardı anıqlaymız. 𝜒2 tosınnanlı shamanıń bólistiriliwine v
erkinlik dárejeli 𝜒2 bólistriliwi delinedi.
v erkinlik dárejeli 𝜒2 bólistiriliwdiń tıǵızlıq funktsiyası x > 0 ushın
𝑥2
− 2
𝑣−1
𝑝𝑣(𝑥) = 𝑘𝑣𝑒
𝑥2
kóriniske iye, bul jerde 𝑘𝑣 kobeytiwshi
shártti qanaatlandıradı.
+∞
∫−∞
𝑝𝑣
(𝑥)𝑑𝑥 = 1
Koshi bólistiriliwi
Itimalliqlar teoriyasındaǵı Koshi bólistiriwi (fizikada Lorents bólistiriwi hám Breit-vigner bólistiriwi dep da ataladı ) ulıwma úzliksiz bólistiriwler klası bolıp tabıladı. Koshi bólistiriwine iye tosınarlı ózgeriwshi hesh qanday matematikalıq kutiliw yamasa dispersiyaga iye bolmaǵan muǵdardıń standart úlgisi bolıp tabıladı.
𝑋
X tosınnanlı ózgeriwshiniń bólistiriliwi tómendegi kóriniske iye bolǵan 𝑓𝑥
tıǵızlıǵı berilgen bolsın
𝑓𝑥 = 1
1 𝛾 ]
𝑋 𝑥−𝑥0 2
= [
𝜋 (𝑥−𝑥
)2+𝛾2
𝜋𝛾(1+(
𝛾 ) ) 0
Koshi bólistiriliwi tómendegi kóriniske iye:
𝐹 𝑥(x ) = 1 arctg ( 𝑥 − 𝑥0) + 1
𝑋 𝜋
𝛾 2
Ol qatań artıp baradı hám keri funktsiyaǵa iye:
𝐹 −1(x ) = 1
𝑋 𝑥0 + 𝛾𝑡𝑔 [𝜋 (𝑥 − 2)]
Bul keri ózgertiw usılı járdeminde Koshi bólistiriliwinen úlǵi jaratıw múmkin.
Koshi bólistiriliwi sheksiz bólinedi.
Koshi bólistirilwi turaqlı. Ádette, standart Koshi bólistiriliwinen alınǵan ulǵininiń ortasha ulgisi standart Koshi bólistiriwge iye:
𝑋 ̅ = 1 ∑𝑛 𝑋 ~𝐶(0,1)
𝑛 𝑖=1 𝑖
Koshi bólistiriliwi, eger tuwrı sızıq hám ordinata arasındaǵı múyesh (−𝜋; 𝜋) aralıqta bir qıylı bólistiriliwge iye bolsa, ordinatanıń bir toshkasında qoyılǵan tuwrı sızıq arqalı absissada kesilgen segment uzınlıǵın sáwlelendiredi, yaǵnıy tuwrı sızıqtıń baǵıtı tegislikkede izotropik boladı. Negizin alǵanda , bul tómendegilerdi ańlatadı:
Tangenstiń periodlıǵı sebepli intervaldaǵı birdey
(−𝜋; 𝜋) aralıqtaǵı bir qıylılıqtı ańlatadı.
(− 𝜋 ;
2
𝜋) 2
bir waqıttıń ózinde
Fizikada Koshi bólistiriliwi (Lorents kórinisi dep ta ataladı) bir qıylı keńeygen spektral sızıqlar profillerin suwretleydi.
Koshi rezonans chastotalar jaqınındaǵı sızıqlı tebreniw dizimleriniń amplituda-chastota qásiyetlerin suwretleydi.
Styudent bólistiriliwi
Bólistiriw funksiyası qálegen bolǵan tosınarlı muǵdar matematikalıq kutiliwi ushın ámeliy isenimlilik aralıǵın duzdik. Egerde tańlanba orta ma`nisiniń bólistiriwi málim bolsa, anıq isenimlilik aralıǵın dúziw múmkin.
Shama menen oylayıq, 𝑋1, …, 𝑋𝑛 ler matematikalıq kutiliwi 𝜃 hám dispersiyasi
𝜎2 bolǵan normal nızam boyinsha bólistirilgen X tosinarlı muǵdardıń tájiriybeler nátiyjesinde alınǵan kólemi n - ga teń bolǵan tańlanbası bolsın.
Tómendegi statistikanı kiritemiz:
𝑥̅ − 𝜃
Bul jerde,
𝑡 = √𝑛 − 1
𝑆
𝑥̅ = 1 ∑𝑛
𝑥 , 𝑆̅2 = 1
∑𝑛
(𝑥
− 𝑥̅)2
𝑛 𝑖=1 𝑖
𝑛−1
𝑖=1 𝑖
Teorema. Egerde 𝑋1, …, 𝑋𝑛 n – baylanıssız hám (𝜃, 𝜎2 ) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen statistik tańlanba bolsa, bunday jaǵdayda t – statistika erkinlik dárejesi n-1 ge teń bolgan Styudent bólistiriliwine iye boladı. Styudent bólistiriliwiniń tıǵızlıq funktsiyası tómendegi kórinisde boladı:
𝑛
Г (2)
𝑛
𝑡2 −2
𝑆𝑛−1(𝑡) =
√𝜋(𝑛 − 1)Г (
𝑛 − 1)
2
(1 + )
𝑛 − 1
0
Г(𝑥) = ∫∞ 𝑢𝑥−1𝑒−𝑢𝑑𝑢
– gamma funktsiya joqarıdaǵı formuladan kórinip
turıptı, olda Styudent bólistiriwi x hám S statistikalarǵa baylanıslı bolmay, tek gúzetiwler kólemi n ga baylanıslı bolıp tabıladı. Endi Styudent bólistiriwiniń isenimlilik aralıǵın qurıwǵa nátiyjeni ámelde qollanıwın kóreyik.
Normal nızam boyinsha bólistirilgen X tosınnanlı shamanıń tájiriybeler nátiyjesinde 𝑋 1, …, 𝑋 𝑛 bahaları tabılǵan bolsın. Bular tiykarında 𝑥̅ hám 𝑆 ̅ statistikalardı esaplaymiz. Tosınnanlı shamanıń belgisiz matematikalıq kutiliwi
𝜃 - ushın isenimlilik múmkinshiligı β (0<β<1) bolǵan 𝑒𝛽 isenimlilik aralıǵın qurıw máselesin qaraymız.
Tómendegi itimaldı kóreylik:
𝑃{|𝑥̅ − 𝜃| < 𝛿𝛽}
Bul teńliktiń shep tárepinde x tosınnanlı shamadan t – statistikaǵa otemiz.
Bunıń ushın |𝑥̅ − 𝜃| < 𝛿𝛽
teńsizligin eki tárepin√𝑛
𝑆̅
t ge kóbeytemiz. Bunday
jaǵdayda,
ﻟ√𝑛|𝑥̅ − 𝜃|
𝛿𝛽 1
𝑃 ❪ 𝑆̅ <
= 𝛽
𝑆 ❵
𝗅 √𝑛𝖩
teńlik payda boladı. (1) formuladan paydalansaq,
ﻟ 𝛿𝛽 1
𝑃 |𝑡| <
❪
= 𝛽
𝑆 ❵
𝗅 √𝑛 𝖩
Styudent bólistiriwi tıǵızlıq funksiyasınıń juplıǵınan paydalanıp tómendegini payda etemiz:
𝑃{|𝑡| < 𝑡 } = 2 ∫𝑡𝛽 𝑆
(𝑡)𝑑𝑡 = 𝛽 (2)
𝛽 0
𝑛−1
Endi (2) teńlikten 𝑡𝛽 di tabıwımız múmkin. Styudent bólistiriliwi mánisleri kesteden paydalanıp, isenimlilik itimallıǵı β hám erkinlik dárejesi n-1 ge emes 𝑡𝛽 di anıqlaymız:
Bul bolsa 𝑒𝛽 isenimlilik aralıǵı uzınlıǵınıń yarımına teń.
Demek,
𝑒𝛽 = (𝑥̅ − 𝑡𝛽
𝑆̃
√𝑛
, 𝑥̅ + 𝑡𝛽
𝑆̃
)
√𝑛
Mısal. (𝜃, 𝜎2) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen X tosınnanlı shamanıń 10 dana baylanıssız tájriybeleri tómendegishe mánislerin anıqlaymız:
I
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
𝑋𝑖
|
2,5
|
2
|
-2,3
|
1,9
|
-2,1
|
2,4
|
2,3
|
-2,5
|
1,5
|
-1,7
|
matematik kutiliwi θ ushin isenimlilik itimallıǵı β = 0.95 bolǵan 𝑒 𝛽 – isenimlilik aralıǵın tabıń.
Tańlanbanıń orta mánisi hám dispersiyasin tabamız:
1
𝑥̅ =
10
∑ 𝑥
= 0,4 , 𝑆̅ = 10 [ 1
10
∑ 𝑥2 − (0,4)2] ≈ 4,933
10 𝑖
𝑖=1
9 10
𝑖
𝑖=1
Kesteden erkinlik dárejesi n-1 = 9 hám itimalliq β = 0.95 boyınsha Styudent bólistiriliwiniń (1-𝑡𝛽) – kvantlisin tabamiz 𝑡𝛽 = 2.26. Demek,
𝛿 = 𝑡 𝑆 ≈ 1,58
𝛽 𝛽 √𝑛
hám izlenip atırǵan isenimlilik aralıǵı
𝑒 𝛽 = (𝑥̅ − 𝛿 𝛽, 𝑥̅ + 𝛿 𝛽 ) = (−1,18; 1,98 )
kórinisinde bolar eken.
2.3 Mısal hám máseleler
1-mısal. [ a,b ] kesindige ( [a,b ]⊂ R ) tosınnanlı toshka alınǵanda, yaǵnıy [a, b] ǵa tiyisli qandayda bir toplamǵa toshkanıń tusiw itimallıǵı bul toplamnıń Lebeg ólshemine proportsional bolsın. Bul mısal ushın Ω = [a,b] hám ℑ bolsa [a,b ] daǵi Borel toplamınan ibarat, σ –algebası bolıp, ξ tosınnanlı shamanı tómendegishe anıqlaymız:
ξ(𝜔) = 𝜔 𝜔 =∈ [𝑎, 𝑏]
yaǵnıy ξ tosınnanlı shama taslanǵan toshkanıń [ a,b] kesindidegi mánisine teń bolıp, ólshemli funkciya boladı. Eger x < a bolsa,
𝐹(𝑥) = 𝑃(ξ < x) = 0
boladı. Endi [ x∈a,b ] bolsın.
Bunday jaǵdayda (ξ < x) qubılıs júz bergende toshka [a,x ) intervalga túsedi.
Bul intervalǵa túsiw itimallıǵı onıń uzınlıǵına proportsional, yaǵnıy
𝑥 − 𝑎
𝐹(𝑥) = 𝑃(ξ < x) =
𝑏 − 𝑎
Eger х >b bolsa, F (x)= 1boladı. Demek, F(x) bólistiriw funkciyası tómendegi kórinisge iye boladı:
0 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a
F(x) = {
𝑥−𝑎 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑎
𝑏−𝑎
1 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > b
< x
Joqarıdaǵı bólistiriliw funkciyası menen aniqlanǵan ξ tosınnanlı shama [a,b ] aralıqda tegis bólistirilgen dep ataladı.
Endi bólistiriw funkciyası qásiyetlerin keltiremiz. ξ tosınnanlı shamanıń bólistiriliw funkciyası F (x) bolsin. Bunday jaǵdayda F(x) tómendegi qásiyetlerge iye:
F1. eger x1 ≤ x2 bolsa, bunday jaǵdayda F( x1) ≤ F(x2) (monotonlıq qásiyeti); F2.
lim
𝑥→−∞
𝐹(𝑥) = 0, lim
𝑥→+∞
𝐹(𝑥) = 1 (shegaralanǵanlıq qásiyeti);
F3.
lim
𝑥→𝑥0−0
𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥0) (shepden uzliksizlik qásiyeti).
Dálilleniwi. x1 ≤ x2 ushın
{ξ < 𝑥1} ⊆ {ξ < 𝑥2}
bolǵanligi sebepli F1 qásiyetiniń itimallıǵı 3) qásiyetinen kelip shiǵadı. F2 qásiyetin dálillew ushın tómendegi {x n } ham {y n } sanlı izbe-izliklerdi kiritemiz:
{ x n } kemeyiwshi izbe-izlik bolıp, x n →−∞ hám { y n } osiwshi izbe-izlik bolıp, y n
→+∞ bolsın.
𝐴𝑛 = {ξ < 𝑥𝑛}, 𝐵𝑛 = {ξ < 𝑦𝑛}
kópliklerdi kiritemiz. x n ↓−∞ ekenliginen A n koplikler izbe-izligi monoton kemeyiwshi hám ∩A n =∅ boladı. Itimallıqtıń uzliksizlik aksiomasına tiykarlanıp
n→∞ da P n (A) → 0. Bunday jaǵdayda
lim 𝐹(𝑥𝑛) = 0
𝑛→∞
Bunnan F(x) funkciya monotonlıǵınan
lim 𝐹(𝑥 𝑛) = 0
𝑛→∞
ekenligi kelip shiǵadı. {y n } izbe-izlik n→∞ da +∞ ge monoton jaqınlasıwshı bolganlıǵı ushın B n kóplikler izbe-izligi de ósiwshi bolıp, UB n =Ω boladı.
Itimallıqtıń qásiyetine tiykarlanıp n→∞ da P( B n )→ 1 boladı. Bunnan
lim 𝐹(𝑦𝑛) = 1, lim 𝐹(𝑥) = 1
𝑛→∞ 𝑛→∞
qatnaslar kelip shiǵadı.
F3 qásiyetin dálillew ushın
Do'stlaringiz bilan baham: |