‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

Sp(/4') = .< = 
a ^ A f  = S^Afi = Au = Sp(4j) 
=>
 Sp(.<) = 
Sp(A0) 
Tayanch iboralar
Tenzor,  tenzorlami  ko‘shish,  tenzorlami  ko‘paytirish,  tenzorlami 
yig‘ishtirish, tenzor izi, tenzor rangi.
Takrorlash uchun savollar
1.  Tenzor nima?
2.  Tenzor rangi deb nimaga aytiladi?
3.  Ikki tenzomi qachon qo‘shish mumkin?
4.  Kroneker belgisi nima?
5.  Tenzoming izi deb nimaga aytiladi?
Mustaqil ish topshiriqlari
1.  Dekart koordinatalar sistemasida  T„ =
( \
0
2
0  -2^ 
1 
0 
0 
1
tenzor berilgan.
Koordinatalar  sistemasi  Ox  o‘qini  30°  ga  burishda  hosil  boMgan  yangi 
sistemadagi berilgan tenzoming koordinatalarini toping.
2.  A,B,C  vektorlar  boMsa, 
ko‘paytmaning  vektorligini
isbotlang.
103
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3.  Vektor  a,  va  tenzor  btJ  berilgan.  a,  b^  miqdorlaming  uchinchi 
rang tenzorligini isbotlang.
4. 
Ikki 
o‘lchovli 
fazoda 
2^
va
A = {1,2}; B = {3;-1} 
vektorlar 
ikkinchi  rang tenzorlar berilgan bo‘lsa,  quyidagi
miqdorlaming oMchami va koordinatalarini aniqlang. 
a)  cu  b)  a,ctJ  c)  b,dlt  d)  b^d^  e)  c / A  f)  c ,/(/
9.  Simmetrik va antisimm etrik tenzorlar
• Sinunetrik va antisinunetrik tenzorlar.
•  Tenzorning xos va xos vektorlari.
•  Tenzorning xarakteristik sirti.
• Ikkinchi rang tenzorning invariantlari.
9.1.  Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar
Ikkinchi  rang 
Tv
  tenzorni  qaraylik.  Agar  indekslar  o‘mini  almash-
tirganda  koordinatalari  o‘zgarmasa,  bunday  tenzorlarga  simm etrik 
tenzorlar  deyiladi.  Indekslar  o‘nini  almashtirilganda  tenzor  koordina- 
talarining  ishorasi  teckariga  almashsa,  bunday  tenzorga  antisim m etrik 
tenzor deyiladi:
TtJ = Tt,  =>  Tv-   simmetrik tenzor,
Tv = —T)t  =>  Tt/-   antisimmetrik tenzor.
Yuqori 
tartibli 
tenzorlarda 
simmetriklik 
va 
antisimmetrik 
tushunchalari juft indekslarga nisbatan qaraladi.  Masalan,
= Fjikn  Va  ^ijkn =
tengliklar  o‘rinli  boMsa,  4  -   rang  F   tenzor  birinchi  juft  indeks 
bo‘yicha  simmetrik boMib,  1  -  va  3  -  indekslari  bo‘yicha antisimmetrik 
deyiladi.
Tenzorlaming  simmetriklik  xossasi  tenzoming  o‘zaro  bogMiq 
boMmagan  elementlar  sonining  kamayishiga  olib  keladi.  2  -   rang 
tenzomi  3x3  matritsa bilan qiyoslash mumkin.  Simmetrik tenzorda bosh 
dioganal va undan yuqorida joylashgan elementlar bilan toMa aniqlanadi. 
Bunday elementlar esa oltiga teng boMadi.
Ikkinchi  rang  antisimmetrik  tenzor  koordinatalari  bosh  dioga- 
naldan  yuqorida  joylashgan  va  bu  dioganaldan  pastda  joylashgan
104
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

koordinatalari  ishoralari  bilan  farq  qiladi.  Bosh  dioganalda  joylashgan 
elementlar  nolga  teng  bo'ladi.  Haqiqatan  ham, Ay  antisimmetrik  tenzor 
boMsin:  Ajj—A ji.  Bu  tenglikda  i=j  deb  olsak,  Aj,=-Ajj  (bu  tenglikda j 
bo'yicha  yigMndi  yo‘q)  boMadi,  bundan  Aj,=0  ekaniigi  kelib  chiqadi. 
Shuning  uch  oMchovli  fazoda  antisimmetrik  tenzorning  bogMiq 
boMmagan elementlari uchga teng boMadi.
Tenzorlaming  simmetrik  va antisimmetrik  xossalari  invariantligini 
ko‘rsatish  mumkin.  Haqiqatan  ham,  simmetrik  Ty  tenzomi  ko'raylik: 
ya’ni 
Ttj  =  Tjt  .  Dekart  koordinatalar  sistemasini  biror  burchakka 
burishdan hosil boMgan sistemada ham  7"J = T'jt  boMishini ko'rsatamiz:
T,j 
jnTrm ~ 
^JnfluTmn ~ T
ji
 •
Antisimmetrik xossasi ham shunday  isbotlanadi.
Teorema.  Har  qanday  ikkinchi  rang  tenzomi  simmetrik  va 
antisimmetrik tenzorlaryigMndisi ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Isboti.  Ikkinchi  rang  Tq  tenzor  berilgan  boMsin.  Bu  tenzoming 
ixtiyoriy elementi uchun
T 
T 
T 
T 
T 
T 
T  +T 
T - T