‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

- J 2 I 2
 
0 ' " V 2 / 2  
- V 2 / 2  
0
' 
0  
1 - 2 '
- V 2 / 2   - V 2 / 2   0
- V 2 / 2  
V 2 / 2  
- 2 - J l
11 - 1 0 2
◄
0
 
0
 
1
\  
J
2
-
2
 
0
V 
)
, 2   - 2  
o y
101
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

8.3. Tenzorlar ustida amallar
8.3.1. 
Tenzorlarni  qo‘shish.  Faqat  bir  xil  rangli  tenzorlami 
qo‘shish  mumkin  va  qo‘shishda  mos  koordinatalari  qo‘shiladi. 
Tenzorlami qo‘shish natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.
Misol. Masalan, uchinchi rang tenzor quyidagicha qo‘shiladi:
C ljk  1 4jk +  fyjk
t>  C  ning  uchunchi  rang  tenzor  ekanligini  ko‘rsatamiz.  A  va  B 
uchinchi  rang  tenzor  boMgani  uchun  uiaming  har  birining  elementlar 
soni  33=27  ga teng. A  va B tenzorlaming mos elementlari  qo‘shilgandan 
so‘ng  yifmdidda  yana  27  ta  element  hosil  boMadi.  Endi  C  tenzor 
koordinatalarining almashish qonunini ko‘raylik.
+ Sm/) = amaimauCnml.
Shunday qilib,
C mU
  =  
a ima jma k f-m U -
Bu  munosabat C ning  uchunchi  rang tenzorligini  ko‘rsatadi.  Ravshanki, 
ixtiyoriy rangli tenzorlar uchun ham bu qoidaning o‘rinliligini  ko‘rsatish 
qiyin emas.  4
8.3.2. Tenzorlarni ko‘paytirish. A tenzor R/ rangli boMib B tenzor 
R2  rangli  boMsin.  Bu  tenzorlami  ko‘paytirish  natijasida  R/+R2  rangli  C 
tenzor hosil boMadi.
Misol.  A  1  -  rang,  B  2  -   rang  tenzorlar  boMsin.  Bu  tenzorlami 
ko'paytirish natijasida 3 -  rang tenzor hosil boMadi.
A, ■
 Bjt — C,Jk
t>  Haqiqatan  ham  C  ning  elementlar  soni  27  ga  ya'ni  3  -   rang 
tenzor  elementiar  soniga  teng  boMadi.  Endi  koordinatalar  sistemasini 
burishdagi almashish qonunini  tekshiramiz.
c 'jk = 4'- B]k = a,„An ■
 
= a,„a ,maki-Wk, = a,„a,„,auc m,r
Bundan C ning tenzorligi kelib chiqadi.  ^
8.3.3.  Tenzorni  yigMshtirish. A  R -  rang tenzor boMsin.  A  tenzor 
koordinatalarini  ikki  indeksi  bo'yicha  qo‘shishga  tenzorni  yig'ishtirish 
deyiladi. R -  rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida R-2  nargli tenzor hosil 
boMadi.  Tenzomi  yig'ishtirish  amali  tenzomi  Kroneker  simvoliga 
ko‘paytirish va so‘ng ikki  indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil  boMgani 
uchun  tenzomi  yigMshtirish  amalini  tenzomi  Kroneker  belgisiga 
ko‘paytirishdan hosil qilsa boMadi.
Misol.  A  uchinchi  rang  tenzor  boMsin.  Bu  tenzomi  oxirgi  ikki 
indeksi  bo‘yicha  yig‘ishtiraylik,  yani 
a
,
jj
-  Ikkinchi  tomondan  A, A  = A,u
102
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

bo'ladi.  Bu  yerda j   yig‘ish  indeksi  i  esa  erkin  indeks,  shuning  uchun 
Aw = B,  bo'ladi.  Ya’ni  uchinchi  rang tenzomi yigMshtirish  natijasida  1  -  
rang tenzor hosil boMadi. Haqiqatan ham,
^ im fi^ J ffi^ J k ^ m n k  
^ m fin k ^ m n k  
^ im ^ m k k  
^ im ^ m
 *
Misol.  C  4  -   rang  tenzomi  oxirgi  ikki  indeksi  bo‘yicha  yigMshni 
ko'raylik. Natijaviy tenzorni ikkinchi  rangligini isbotlaylik.
t>  c;jtt = D '= a,majnaklathC,l„ll, = a ^ a ^ C ^  = aimaJKC ^  = a^a^D^ .  ◄ 
Tenzomi  yigMshtirish  amalini  qoMlash  uchun  tenzor  rangi  2  va 
undan  yuqori  boMishi  kerak.  2  -   rang  tenzomi  yigMshtirish  amaliga 
tenzorning izi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Sp(A,J) = Tr(AiJ) = Att 
(8.20)
Koordinata  sistemasini  burishga  nisbatan  tenzoming  izi  inva- 
riantdir. Haqiqatan ham