‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

(div5)„  = lim—,
'•  t'-w, v
bu  yerda  V  P0  nuqtani  o‘z  ichiga  oluvchi  hajm,  Q  -  V  hajmni  o‘rab 
turuvchi 
sirt 
bo‘yicha 
oqim. 
Yopiq 
sirt 
sifatida 
m
=
k
0 , 
u=u B 
+ 
du, 
v  =  v 0 ,  v  
= 
v 0 +  d v , 
w=w0, 
w = w0 + dw 
koordinata
sirtlarini  olish  mumkin  ((6.4)  -   rasm).
sirtda
k
 =  
m
0, 
n .= -e u
sirtda
k
 =  
k
0 
+du, 
=+e„;  shuning  uchun  (6.3) 
formuladan
&, = -J j(a uHvHv\^ d v d w ,
S
Qa; = 
+JJ 
(auHvH w)uru
1 
s
&, +Qa; = J f [ ( ^ ^ U +A - ( a uHuH „ \ ^ d w .
s
Teylor formulasi va or’ta qiymat haqidagi teoremani qoTlab,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Qv  + 0ff- = J j [ j ; < * .' W .... + o(du)^dudw = ■|-(au//v/ / lr)|, dudvdw + o(dudvdw)
Xuddi huningdek,  v=v0, cr2  sirt va v = v0 + dv,  cr2  sirtlar uchun ham
Q ,+ Q   . = — (avHuH„)Pdudvdw + o(dudvdw)\
2 
9i 
0
a } :w=w0, 
va  a }  :w = w0 + dw,  sirtlaruchunesa,
Q
Qa> +Qa,= —
dudvdw + o(dudvdw).
Barcha oqimlami qo‘shib, yopiq sirtdagi oqimni topamiz:
a  = ^ ( a uHvH J fi + j-(a vHuH J Po + ± ( a wHuHv)Po dudvdw + o(dudvdw).
Endi  Fhajmni hisoblaymiz (6.4 - rasm).
P0P, = r ’du + o(du), P0P2 =rv dv+ o(dv), P0P3 = rw'dw + o(dw), 
tengliklardan
U holda
[ ± ( a uHvHw) + ^ ( a vHuHw)+ ^ -(a wHuHv)
dv
dw
& ____________________
V 
Hu HvHwdudvdw+ o(dudvdw)
Bu tenglikda limitga o‘tib,
1
dudvdw = Hu HJi^dudvdw.
dudvdw + o(dudvdw)
diva = -
w
.
<
«
14) 
divergensiyaning  egri  chiziqli  koordinatalardagi  ifodasi  kelib  chiqadi. 
Xususan, silindrik koordinaltalarda divergensiya
dlv
5
"?Li('”',+^w+s('”')
(6.15)
sferik koordinatalarda
diva =
j__a
r 'd r
(rV )n
1
rsin# 
d0
(sin#afl) +
1
rsin# d
(a.)
(6.16)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Misol.  Silindrik  koordinatalarda  berilgan  a = pep-cos
 
maydonning  o  : x '+ y 1 = 4,  z = 0,z=3 
yopiq  sirtning  tashqi  tomidan 
o‘tuvchi oqimini toping (6.2 - rasm).
t>  Sirt  yopiq  bo‘lgani  uchun  Ostragradskiy-Gauss  formulasidan 
foydalanamiz.
88
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Oa = 
n)da = J J J  d iv n  dV.
a  
V
(6.15) formuladan divergensiyani  hisoblaymiz
d i v a  =  —   —  
( p a
) +  —  
( a
)  +  —  
( p a )
8 p K  p'  8
  *'
^ ( p l)+
tt
S ~
cos
<
p
)+ i(p = )
8
8:
= —(3p + sin«9). 
P
Silindrik koordinatalarda  d v = pdpdtpck  bo'lgani uchun, 
Qa = JJJ diva dV = jj (3 p  + sin 

 = 36/r. M
Ortogonal koordinatalarda rotor
Rotorning  invariant  ta'rifidan  ortoganal  koordinatalar  sistemasida 
rotorning  (divergensiyani  keltirib  chiqarish  kabi)  ko‘rinishini  keltirib 
chiqarish  mumkin:
l-
e*
H J iw
H.H,
d
6
8
du
dv
d\v
a„Hu
avHv
rota =
Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida rotorning ko‘rinish!ari:
e. 
e„
 
e-
rota =
1  _
1  _
7 '
K
—e, 
P  '
d
8_
8
,  rota =
—
—
dp
8
6z
aP
par
a.
/•2sin0  /*sin8_ 
8_
8r 
80
a.
P
r
8_
8
ra0
 
/'sin 
0aT
Ortogonal sistentada Laplas operatorL 
Laplas operatori  A/  =div(grad/ )   ko'rinishga ega boMgani  uchun 
(6.14) formuladan
1
' 8 ( H vHwd A
6 \ H„ H . 8 f \ {  8 ( 
h
,
h v
  a/V
HaHvHw
Hu  8u y
X
dv v  Hv  8v)
,  H»  SwJ.
89
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

kelib chiqadi.  Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida Laplas 
operatorining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
Misol.  Af = 0  Laplas  tenglamasining  faqat  r  ga  bog‘liq  boMgan 
barcha yechimlarini  toping.
t>/fiunksiya  faqat r ga bogMiq  boMib,  0  va  
  bogMiq  boMmagani 
uchun (6.17) dan
Egri  chiziqli  koordinatalar  sistemasi,  Lame  koefTitsiyentlari, 
silindrik  koordinatalar  sistemasi,  sferik  koordinatalar  sistemasi, 
rotr?,div5,grada  amallarning egri chiziqli  koordinatalardagi  ifodalari.
1.  Silindrik koordinatalar sistemasi qanday aniqlanadi?
2.  Sferik koordinatalar sistemasi qanday aniqlanadi?
3.  divii  amalining  silindrik  koordinatalardagi  ifodasi  qanday 
boMadi?
4.  rot?i  amalining sferik koordinatalardagi  ifodasi qanday boMadi?
5.  gtada  amalining  silindrik  koordinatalardagi  ifodasi  qanday 
boMadi?
6.  grada  amalining sferik koordinatalardagi  ifodasi qanday boMadi?
7.  Silindrik  koordinatalar  sistemasida  Laplas  operatori  qanday 
yozilad?
8.  Sferik  koordinatalar  sistemasida  Laplas  operatori  qanday
kelib chiqadi.  Bu yerdan,
Tayanch iboralar:
Takrorlash  uchun savollar
yozilad?
90
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Mustaqil ish topshiriqlar
1.  5 = {-v, 
jt
,
o
}  maydonni  silindik bazisda yozing.
2.  u = p 1 +2pcos
  skalyar maydonning  gradientini  silindrik 
koordinatalar sistemasida toping.
3.  a = ^~ °~ er + - l^ - e 0  maydonning  sferik  divergensiyasini  koor-
r
’ 
r*
dinatalar sistemasida toping.
4. 
a = ep + 
= {l,5. 
a 
= cos^//-3ef + sin0/r%   maydonning rotorini toping.
6. 
f(r )
 
funksiya  qanday  bo'lganda 
a 
= 
f ( r ) e r
 
markaziy  maydon 
solenoidal  bo‘ladi?
91
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Kim matematikani bilmasa,
haqiqatni bilmaydi, 
kim uni tushmmasa 
zulmatda yashaydi.
R. Dekart
II bob. TENZOR HISOB ELEMENTLARI
7.  Koordinatalar sistemasini burishda vektorlarni aimasbtirish
•Dekart koordinatalar sistemasida bazis.
•Ortlarni almashtirish.
• Vektor koordinatalarini almashtirish.
7.1.  Dekart koordinatalar sistemasida  bazis
Tenzorlar  bo‘limida  ortonormallashgan  bazis  vektorlami  belgilash 
uchun  e„ej,e3  vektorlami  qaraymiz.  Bu  vektorlar  ortonormallashgan 
boMgani  uchun
tengliklar  bilan  bogMangan  boMsa,  bunday  koordinatalar sistemasi  o‘ng 
sistemani tashkil qiladi, deyiladi.
Bunday belgilashlarda biror 
a 
vektor 
ek 
dekart bazislar orqali
boMadi.
Agar Dekart koordinatalar sistemasining ortlari