‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

2 y l - z j  
+ 
2xk 
dan quyidagi sistemaga kelamiz.
& 
ct 
ax 
Sy 
v 
7
(5.5) 
ning  birinchi  va  ikkinchi  tengliklarini  z   bo'yicha  integral- 
laymiz.
b7 = - J  2 y ±  = - 2 jc  + v**, y),
_2
A i = J - r < f c  =  - y
 +  t ( r ( x ,y ) .
Bulami (5.5) ning uchunchi tenglamasiga qo‘yamiz
i t - i t r * v ’^ y ) - ^ x , y ) = 2x.
ox 
cy
Bu tenglikni qanoatlantiruvchi 
y/(x,y) = Qy 
 
ko'rinishda 
olsa bo'ladi. Unda vektor potensial
b 
= 
{6„^,0} 
= 
| - y , -  2 yz + x1 
fi 
ko‘rinishda bo'ladi.  4
5.3.  G arm onik maydon
Garmonik skalyar maydon.
A g a r/ skalyar maydon
div(grad/ )  = 0
Laplas  tenglamasini  qanoatlantirsa  bunday  maydon  garm onik  maydon 
deyiladi.
Laplas tenglamasining o‘ng tomonidagi  ifodaga Laplas operatori 
deyiladi va  Af   ko‘rinishda belgilanadi.
Dekart koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasi
A f = / ; + / ; + / » = o ,
ko'rinishda bo'ladi.
Misol.  f(r ) = j   funksiyaning  R}  da,  f( r )  = \nr  funksiyaning 
da 
garmonik boMishini ko'rsating.
72
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

O 
l)Gradientxossasigako‘ra  grad- = ^ i j  
Divergensiya xossasiga ko‘ra 
div^gradij = d i v ^ r  
j = 
- ^ d i v r  
+ 
^ .g ra d -j 
j j.
. 
1  r 
r
grad/- = — j — = —j. 
r  r 
r
r={x,y,:}  uchun  R3  da  divr = 3  ekanligini va  grad-i = - i -   dan
r 
r  r
bo‘ladi.
2)  y?j  da  f(r) = \nr  maydon uchun
grad ln r = (ln r)' gradr = 
r = {x,y},  divr = 2, ■
div(grad In r) = d i v ^ r  j  = ^jdivr + ^r , g r a d \ j  = -i- + ^r , ^ - j  = 
0."
Garmonik vektor maydon
Agar  a  vektor  maydon  bir  vaqtda  ham  potensial  ham  solenoidal 
bo'lsa bunday maydonlarga garmonik vektor maydonlar deyiladi.
Garmonik vektor maydonning xossalari.
1) 
garmonik  vektor  maydon  skalyar  va  vektor  potensialga  ega 
boMadi.
2) u skalyar potensial garmonik funksiya boMadi.
3 )  
garmonik  vektor  a = {aItay,az}  maydon  uchun  uning  komponen- 
talari  ax,ay,a.  garmonik funksiyalar boMadi.
Bu xossalami tekshiramiz.
1) birinchi  xossa  ta'rifdan  kelib  chiqadi.  Chunki  potensial  maydon 
skalyar  potensialga  ega  boMadi,  solenoidal  maydon  esa  vektor 
potensialga ega boMadi.
2) 
garmonik  5  maydon  potensial  maydon  boMgani  uchun  skalyar  U 
potensial  mavjud  va  a = gradt/  ko‘rinishda  boMadi.  Ikkinchi  tomondan 
garmonik maydon solenoidal boMadi, shuning uchun
divfl = div(gradCZ) = 0
boMadi.  Shuning  uchun  garmonik  a  maydonning  potensiali  U  Laplas 
tenglamasini qanoatlantiradi va garmonik funksiya boMadi.
73
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3) 
garmonik