‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

MMX
MMy 
kesmada  faqat  x   ozgaruvchi,  y   va  z 
4.12.-rasm 
lar o‘zgarmasIigini  inobatga olsak,  dy = 0,dz = 0 
boMadi va integralni koordinatalar shaklida quyidagicha yozamiz
x+tx
AXU = 
J 
(adr) = 
J 
axdx + aydy + a.dz= 
J 
axdx
MM, 
MM, 
x
Oxirgi aniq integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qoMlaymiz:
x*6x
AXU=  j   ax(x,y,:)dx = ax(x,y,:)Ax,
M ____Mj
:
x+ A x  x
62
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Buyerda  xe[jt,*+Ax]. U holda
U' = lim 
= lim a*(*,-*',~)^x _ |jm a  (x,y,:) = a (x,y,z).
1 
Ar-KI  Ax 
»H0 
Ax 
A r-tO  r '  
'  
rV
Shunday qilib,  U't = ax(x,y,z).  Xuddi shuningdek,
U" =a  {x,y,=),  U'. =ar(x,y,:).  ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. U holda, 
(a,df) = atdx + aydy + atd= = Utdx + U'ydy + U\dt = dU
boMadi.
Yetarligi.  (a,dr)=dU  o‘rinli  boMadigan  U
 
funksiya  mavjud
boMsin.  Parametrik tenglamasi
x = x(t),  y = y(t),  :  = : (t);  te[tA,tB]
ko‘rinishda boMgan AB yoyni olaylik. Unda,
J  (d,df)=
  J 
dU(x,y,-.) =
 }
dU(x(t),y(t),:(t))
 = t/(x(0,v(0,-'(0)[; =
k j
AB 
\
j
AB 
tA
= b (xB, vs ,:B)-U (xA,yA,:A) = U(B)~ U(A), 
boMadi.  Shuning  uchun  §(a,df)  integralning  qiymati  faqat  A  va  B
L
nuqtalargagina bogMiq boMib uning shakliga bogMiq boMmaydi.
Isbotlash  jarajonida  biz  chiziqli  integral  uchun  Nyuton-Leybnis 
formulasini eslatuvchi formulani ham keltirib chiqardik.
J  dU =U(B)-U(A).
 
(4.10)
\
j
AB
Yuqorida  keltirilgan  teoremalardan  quyidagi  qoidani  keltirish 
mumkin.
Agar D  soha  bir  bogMamli  boMsa,  quyidagi  shartlar  bir-biriga  teng 
kuchli:
• J (a,df)  chiziqli  integral integrallash yoliga bogMiq emas;
L
• J(5,dF)  chiziqli  integral  D  da  joylashgan  ixtiyoriy  yopiq  kontur
c
bo‘yicha integral nolga teng;
•D  sohaning barcha nuqtalarida  rota = 0  boMadi;
• (a,df)
 
ifoda biror U
 
funksiyaning toMiq differensiali boMadi. 
\-misol.  Ushbu
J  (2
xy
 + 
: 2 )dx
 + 
(x2
 + 
:)dy
 + 
(y
 + 
2x:)ck
L
chiziqli  integral  integrallash  yoMiga  bogMiq  boMish-boMmasligini 
tekshiring.
63
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

>   Buning  uchun  a = {2xy + z2,x 2 + z, y + 2x=}  vektoming  rotorini 
hisoblaymiz
rot5 =
i
j
i<
d
8
8
8x
8y
8z
2x + z2 x2 + z y + 2xz
= (1 -  l)r  +(2z — 2z)j + (2x -  2x)k = 0;
Shuning uchun berilgan chiziqli  integral  integrallash yoMiga bogMiq 
boMmaydi.
Chiziqli  integral integrallash yoMiga bogMiq emas.  4
2-misol.  a = ^jl + x2 +y2i + y[x}- + ln(jc + J l + x2 + y 2 )]J
vektor  maydonning  L:  x2+y2=R2  kontur  bo‘yicha  sirkulyatsiyasini 
toping.
[>  Sirkulyatsiyani
C = y]l + x2 + y 2dx+ y  xy + \n(x + yjl + x2 + y2 jjdy 
Grin formulasida hisoblaymiz.
8a, 
_
dy 
~ J [ + x
2
  +   v
2
 
ox
3a 
,
, ^ r = y 2+-
i+