|
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1 .5 = {*,>} vektor maydonning vektor chiziqlarini toping.
2.
u = x2- y 2
skalyar maydon gradientining vektor chiziqlarini
toping.
3.
x- + y
skalyar maydon gradientining M(0,1,1) nuqtadan
o'tadigan vektor chiziqlarini toping.
4.
a = - y l + xj + bk
vektor maydonning (1,0,0) nuqtadan o‘tuvchi
vektor chiziqlarini toping.
5.
v
tezlikda harakatlanayotgan nuqtaviy zaryad fazoda
B = k [ v ,r ] !r 2
magnit maydonini hosil qiladi. Bu yerda
r
kuzatish
nuqtasidan zaryad joylashgan nuqtaga yo‘nalgan vektor,
k
biror
koeffitsiyent. Zaryad Oz o‘qi bo‘ylab harakat qilayotgan bo‘lsa
B
maydonning vektor chiziqlarini toping.
3. Vektor maydon oqimi
• Suyuqlikniitg oqimi masalasi.
• Oqim tushunchasi va uitiitg yozilish sltakllari.
• Oqintni hisoblash.
• Vektor ntaydon divergensiyasi.
• Yopiq sirt ho ‘yicha oqimning Jizik ma 'nosi.
• Ostrogradskiy - Gauss formulasi.
^
• Divergensiyaning invariant ta'rifi.
Bizga fazoda biror sirt berilgan boMsin. Odatda sirt yopiq yoki
ochiq boMishi mumkin. Sirt ochiq yoki yopiq boMishidan qat'iy nazar
28
k
www.ziyouz.com kutubxonasi
uning ikki tomoni bo‘ladi. Agar sirtning har bir nuqtasida birlik normal
n(M)
vektor tanlangan bo‘lib u Mnuqtaning uzliksiz funksiyasi boMsa,
bunday sirtni orientirlangan deb ataymiz (3.1 - rasm). Lekin sirt har
doim ham ikki tomonli boMavermaydi, masalan, Myobius sirti bir
tomonli sirtdir [2]. Biz faqat ikki tomonli sirtlami qaraymiz.
Sirtga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi qarama-qarshi tomonga
o‘tkazilganda sirtning orientasiyasi o'zgarganligini bildiradi va sirtning
qarshi tomoni tanlanganligini aniqlaydi.
Vektor maydon oqimi tushunchasiga olib keladigan suyuqliklar
oqimini ko‘raylik.
Fazoning biror qismida suyuqlik oqayotgan boMib, uning tezligi
vaqtga bogMiq boMmasdan faqat fazoning nuqtasiga bo‘g‘liq boMsin:
a = a( M) .
Biror orientirlangan o sirtdan tanlangan yo'nalish bo‘yicha
oMadigan suyuqlik miqdorini (hajmini) topishni ko‘raylik.
Awal sodda holni ko‘raylik. Birlik normal vektori
n
boMgan sirt
tekis boMib, sirtning barcha nuqtalarida suyuqlik tezligi bir xil boMsin
(3.2 - rasm).
Yassi sirtdan birlik vaqt ichida oMuvchi oqim miqdori asosi sirt
yuzidan yasovchisi |a| boMgan silindrdan iborat boMadi. Agar
a
bilan
n
ning yo‘nalishlari mos kelsa suyuqlik hajmi
\a\
ga teng
boMadi ( 3.2 - rasmning chap bo'lagi). Agar
3
vektor bilan
n
biror
burchak tashkil qilsa silindr balandligi
\prAa\
=(|a,w|) = |a||«|cos^ ga teng
boMib, suyuqlik hajmi |(a,«)| a ga teng boMadi. Har ikki holda ham
suyuqlik hajmi |(5,/!)|-cr ga teng boMadi. Modul belgisini tashlab
yuborsak
(a,n)
miqdorga
a
sirtdan o'tadigan suyuqlik oqimi deyiladi.
3.1. Suyuqlikning oqimi masalasi
3.1-rasm
3.2-rasm
29
www.ziyouz.com kutubxonasi
Agar a bilan n orasidagi burchak o‘tkir boMsa, suyuqlik n vektoryo‘na-
lishi bo'ylab oqadi deymiz; bu holda (a,n)> 0 va oqim suyuqlik miqdo-
riga teng bo'ladi. Agar a bilan « orasidagi burchak o'tmas boMsa.su-
yuqlik n vektor yo‘nalishiga teskari yo'nalishda oqadi deymiz va bunda
(5,/l) <0 bolib oqim va suyuqlik miqdorlari ishoralari bilan farq qiladi.
Agar a bilan n orasidagi burchak o‘zaro perpendikulyar boMsa suyuq-
lik o yassi sirt bo'ylab yo'nalgan boMadi va oqim nolga teng boMadi.
Endi umumiy holni ko‘raylik. Ixti-
yoriy a sirtdan o‘tadigan suyuqlik oqi-
mini topish uchun sirtning yuzalari
A
c
T|, A(
j
2, ...,A(rn ga
teng
boMgan
qismlarga ajratamiz (3.3 - rasm). Har bir
boMakdan ixtiyoriy Mk nuqtani olamiz.
Har bir boMakchadagi suyuqlik tezligini
taqriban o‘zgarmas deb qaraymiz: a = a(Mk). Shu bilan birga
boMakchani yassi deb qaraymiz va n(Mk) normal vektorga perpen-
dikulyar deb olamiz. U hoida Aak boMakchadan o‘tadigan suyuqlik
oqimi taqriban
Qha, ~{a(Mk),n(Mk))-Aak
ga teng boMadi. ToMa sirtdan o‘tadigan oqim esa
2 = 1
) MMk)) • Aa*,
*=i
*=i
ga teng boMadi. d = maxjACT!,...,^^-,,} kichiklashgan sari aniqlik oshib
boradi. Oqimning aniq qiymati esa
Q=)}™YXa(Mk),n(Mkj ) & o k
‘l~*0k=1
limitdan topiladi. Bu limit (a(Mk),n(Mk)) skalyar funksiyadan olingan
1- tur sirt integraliga tengdir. Shunday qilib sirtdan o ‘tadigan oqim
Q = jj(a,n)da = jja„da
(3.1)
<
j
formula orqali topiladi.
,r
Quyidagilami nazarda tutaylik.
> agar Q> 0 boMsa, n normal yo‘nalishi bo'yicha suyuqlik miqdori
-n yo'nalishdan o'tadigan suyuqlik miqdoridan ko‘p boMadi;
> agar Q< 0 boMsa « normal yo'nalishi bo'yicha suyuqlik miqdori
-/1 yo'nalishdan o‘tadigan suyuqlik miqdoridan kam boMadi;
30
www.ziyouz.com kutubxonasi
> agar Q= 0 bo‘lganda #1 normal yo‘nalishi va unga qarshi
yo'nalishlardagi suyuqlik miqdorlari teng boMadi.
(3.1) formuladagi integral ( a,n) skalyar funksiyadan olingan 1 - t u r
sirt integralidan iborat. Bu integralni a vektor funksiyadan olingan 2 -
tur sirt sirt integrali deb ham yuritiladi. Ixtiyoriy vektor funksiyaning
oqimi tushunchasi shu tarzda kiritiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
