1
s
&, +Qa; = J f [ ( ^ ^ U +A - ( a uHuH „ \ ^ d w .
s
Teylor formulasi va or’ta qiymat haqidagi teoremani qoTlab,
www.ziyouz.com kutubxonasi
Qv + 0ff- = J j [ j ; < * .' W .... + o(du)^dudw = ■|-(au//v/ / lr)|, dudvdw + o(dudvdw)
Xuddi huningdek, v=v0, cr2 sirt va v = v0 + dv, cr2 sirtlar uchun ham
Q ,+ Q . = — (avHuH„)Pdudvdw + o(dudvdw)\
2
9i
0
a } :w=w0,
va a } :w = w0 + dw, sirtlaruchunesa,
Q
Qa> +Qa,= —
dudvdw + o(dudvdw).
Barcha oqimlami qo‘shib, yopiq sirtdagi oqimni topamiz:
a = ^ ( a uHvH J fi + j-(a vHuH J Po + ± ( a wHuHv)Po dudvdw + o(dudvdw).
Endi Fhajmni hisoblaymiz (6.4 - rasm).
P0P, = r ’du + o(du), P0P2 =rv dv+ o(dv), P0P3 = rw'dw + o(dw),
tengliklardan
U holda
[ ± ( a uHvHw) + ^ ( a vHuHw)+ ^ -(a wHuHv)
dv
dw
& ____________________
V
Hu HvHwdudvdw+ o(dudvdw)
Bu tenglikda limitga o‘tib,
1
dudvdw = Hu HJi^dudvdw.
dudvdw + o(dudvdw)
diva = -
w
.
<
«
14)
divergensiyaning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi kelib chiqadi.
Xususan, silindrik koordinaltalarda divergensiya
dlv
5
"?Li('”',+^w+s('”')
(6.15)
sferik koordinatalarda
diva =
j__a
r 'd r
(rV )n
1
rsin#
d0
(sin#afl) +
1
rsin# d
(a.)
(6.16)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Misol. Silindrik koordinatalarda berilgan a = pep-cos
maydonning o : x '+ y 1 = 4, z = 0,z=3
yopiq sirtning tashqi tomidan
o‘tuvchi oqimini toping (6.2 - rasm).
t> Sirt yopiq bo‘lgani uchun Ostragradskiy-Gauss formulasidan
foydalanamiz.
88
www.ziyouz.com kutubxonasi
Oa =
n)da = J J J d iv n dV.
a
V
(6.15) formuladan divergensiyani hisoblaymiz
d i v a = — —
( p a
) + —
( a
) + —
( p a )
8 p K p' 8
*'
^ ( p l)+
tt
S ~
cos
<
p
)+ i(p = )
8
8:
= —(3p + sin«9).
P
Silindrik koordinatalarda d v = pdpdtpck bo'lgani uchun,
Qa = JJJ diva dV = jj (3 p + sin
= 36/r. M
Ortogonal koordinatalarda rotor
Rotorning invariant ta'rifidan ortoganal koordinatalar sistemasida
rotorning (divergensiyani keltirib chiqarish kabi) ko‘rinishini keltirib
chiqarish mumkin:
l-
e*
H J iw
H.H,
d
6
8
du
dv
d\v
a„Hu
avHv
rota =
Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida rotorning ko‘rinish!ari:
e.
e„
e-
rota =
1 _
1 _
7 '
K
—e,
P '
d
8_
8
, rota =
—
—
dp
8
6z
aP
par
a.
/•2sin0 /*sin
8_
8_
8r
80
a.
P
r
8_
8
ra0
/'sin
0aT
Ortogonal sistentada Laplas operatorL
Laplas operatori A/ =div(grad/ ) ko'rinishga ega boMgani uchun
(6.14) formuladan
1
' 8 ( H vHwd A
6 \ H„ H . 8 f \ { 8 (
h
,
h v
a/V
HaHvHw
Hu 8u y
X
dv v Hv 8v)
, H» SwJ.
89
www.ziyouz.com kutubxonasi
kelib chiqadi. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida Laplas
operatorining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
Misol. Af = 0 Laplas tenglamasining faqat r ga bog‘liq boMgan
barcha yechimlarini toping.
t>/fiunksiya faqat r ga bogMiq boMib, 0 va
bogMiq boMmagani
uchun (6.17) dan
Egri chiziqli koordinatalar sistemasi, Lame koefTitsiyentlari,
silindrik koordinatalar sistemasi, sferik koordinatalar sistemasi,
rotr?,div5,grada amallarning egri chiziqli koordinatalardagi ifodalari.
1. Silindrik koordinatalar sistemasi qanday aniqlanadi?
2. Sferik koordinatalar sistemasi qanday aniqlanadi?
3. divii amalining silindrik koordinatalardagi ifodasi qanday
boMadi?
4. rot?i amalining sferik koordinatalardagi ifodasi qanday boMadi?
5. gtada amalining silindrik koordinatalardagi ifodasi qanday
boMadi?
6. grada amalining sferik koordinatalardagi ifodasi qanday boMadi?
7. Silindrik koordinatalar sistemasida Laplas operatori qanday
yozilad?
8. Sferik koordinatalar sistemasida Laplas operatori qanday
kelib chiqadi. Bu yerdan,
Tayanch iboralar:
Takrorlash uchun savollar
yozilad?
90
www.ziyouz.com kutubxonasi
Mustaqil ish topshiriqlar
1. 5 = {-v,
jt
,
o
} maydonni silindik bazisda yozing.
2. u = p 1 +2pcos
skalyar maydonning gradientini silindrik
koordinatalar sistemasida toping.
3. a = ^~ °~ er + - l^ - e 0 maydonning sferik divergensiyasini koor-
r
’
r*
dinatalar sistemasida toping.
4.
a = ep +
= {l,5.
a
= cos^//-3ef + sin0/r% maydonning rotorini toping.
6.
f(r )
funksiya qanday bo'lganda
a
=
f ( r ) e r
markaziy maydon
solenoidal bo‘ladi?
91
www.ziyouz.com kutubxonasi
Kim matematikani bilmasa,
haqiqatni bilmaydi,
kim uni tushmmasa
zulmatda yashaydi.
R. Dekart
II bob. TENZOR HISOB ELEMENTLARI
7. Koordinatalar sistemasini burishda vektorlarni aimasbtirish
•Dekart koordinatalar sistemasida bazis.
•Ortlarni almashtirish.
• Vektor koordinatalarini almashtirish.
7.1. Dekart koordinatalar sistemasida bazis
Tenzorlar bo‘limida ortonormallashgan bazis vektorlami belgilash
uchun e„ej,e3 vektorlami qaraymiz. Bu vektorlar ortonormallashgan
boMgani uchun
tengliklar bilan bogMangan boMsa, bunday koordinatalar sistemasi o‘ng
sistemani tashkil qiladi, deyiladi.
Bunday belgilashlarda biror
a
vektor
ek
dekart bazislar orqali
boMadi.
Agar Dekart koordinatalar sistemasining ortlari
Do'stlaringiz bilan baham: