‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

I  bob. SKALYAR VA VEKTOR MAYDONLAR
1.  Skalyar  maydon
•  Skatyar ntaydon tushunchasi.
•  M aydonlarning sath sirt va chiziqlari.
•  Yo ‘nalish bo ‘yicha hosila.
•  Skalyar  maydon gradienti.
•  S irt normalining yo ‘naltiruvchi kosinuslari
1.1.  Skalyar maydon  tushunchasi
Ta 'rif.  Fazodagi biror D sohaning har bir M  nuqtasiga aniq  qonun 
bo'yicha  biror  u(M)  son  mos  qo'yilgan  bo'lsa,  bu  sohada  u-u(M ) 
skalyar  maydon  berilgan  deyiladi.  D  soha  sifatida  fazoning  biror 
boMagi, sirti yoki chizig'i bo'lishi mumkin.
Faraz  qilaylik,  D  soha  biror  jism  bilan  toMdirilgan  boMsin.  D 
sohaning  biror  M   nuqtasida  jism  zichligi  p(M)  boMsin.  Bunday 
maydonni  jismning  zichliklar  maydoni  deyish  mumkin.  M  dan  boshqa 
nuqtada  jism  zichligi  boshqa  boMishi  mumkin,  yani  jism  D  sohada 
notekis  taqsimlangan  boMadi.  Agar  skalyar  maydon  sohaning  barcha 
nuqtalarida  bir  xil  boMsa,  bunday  maydonni  bir jinsli maydon  deyiladi. 
Agar  skalyar  maydonning  qiymati  bir  nuqtadan  boshqa  nuqtaga 
ko‘chganda o‘zgarsa bunday  maydonga bir jinssiz maydon deymiz.
Xuddi  shuningdek,  atmosferaning  har bir  nuqtasiga  bosimning  aniq 
qiymatini  mos  qo‘yish  mumkin  boMganligi  sababli,  atmosferadagi 
bosimlar maydoni  berilgan, deyish mumkin. Qizdirilgan jismning har bir
6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ichki  nuqtasiga  tempetaturaning  aniq  qiymatini  mos  qo'yish  mumkin 
boMganligi  tufayli,  qizdirilgan  jism  ichida  temperaturalar  maydoni 
berilgan, deb aytish mumkin.
Ba’zan  skalyar  maydonning  qiymati  vaqtga  qarab  ham  o‘zgarib 
borishi  mumkin.  Masalan,  qizdirilgan  jism  temperaturasi  tashqi  muhit 
temperaturasiga qarab o ‘zgaradi.  Bunday maydonlar nostasionar skalyar 
maydonlarni  tashkil  qiladi.  Agar  skalyar  maydon  vaqtga  bog‘liq 
boMmasa bunday maydonlami stasionar (barqaror)  maydonlar deyiladi.
Agar fazoda  Ox\z koordinatalar sistemasini  kiritsak,  u holda har bir 
M  nuqta maMum x,y,z koordinatalarga  ega boMadi  va  u skalyar funksiya 
shu  koordinatalaming  funksiyasi  boMadi  u=u(M)=u(x,y,z).  Bu  holat 
skalyar  maydonni  ko‘p  o'zgaruvchili  funksiyalar  nazariyasi  yordamida 
tekshirish  imkonini  beradi.  Fiksirlangan  O  nuqta  olinsa  fazodagi 
ixtiyoriy  M  nuqtani  uning  radius  vektori  yordamida  aniqlash  mumkin. 
Bu  holda  u(M)  skalyar  maydonni  ? = 
om
  vektor  argumentli  skalyar 
funksiya deb qarash mumkin  «(?).
Agar  skalyar  maydon  simmetriklik  xususiyatiga  ega  boMsa,  uni 
tahlil qilish juda osonlashadi.
Agar  koordinata  sistemasini  shunday  tanlash  imkoniyati  boMsaki 
unda maydon  funksiyasi  faqat  ikki  o'zgaruvchiga  bogMiq  boMsa bunday 
maydonlarga yassi maydon deyiladi.
Yassi  maydonga  bir  xil  isitilgan  uzun  aylanma  trubali  issiqlik 
trassasining  atrofida  joylashgan  tuproq  temperaturasini  keltirish 
mumkin.  Bunday  holatda truba o‘qiga perpendikulyar joylashgan barcha 
tekisliklarda  tuproq  harorati  bir  xil  kechadi.  Bunda  tuproq  tempera- 
turasini  aniqlovchi  funksiya  ikki  oMchovIi  boMadi  (truba  o‘qi  bo‘ylab 
olingan koordinataga bogMiq boMmaydi).
Agar  koordinatalar  sistemasi  shunday  tanlansaki,  unda  skalyar 
maydon  faqat  bir  koordinataning  funksiyasi  boMsa.  Masalan,  tinch 
holatda  boMgan  suv  havzasining  temperaturasini  bir  oMchamli  deyish 
mumkin.  Bunda  suv  havzasining  temperaturasi  suv  sathidan  qancha 
pastda joylashganligiga bogMiq boMadi.
Skalyar  maydonni  silindrik  koordinatalar  sistemasida  ham  qarash 
mumkin.  Agar  skalyar  maydon  biror  silindrik  koordinatalar  Orqjz 
sistemasida  
  ga  bogMiq  boMmasa,  bunday  maydonni  o'qqa simmetrik 
deyiladi.  Yuqorida  keltirilgan  issiqlik  trassasi  atrofidagi  tuproq 
temperaturasi  o‘qqa  simmetrik  bo'ladi  (agar  trassa  yer  sathidan  yetarli 
pastda  joylashgan  boMib,  tuproq  sathi  bilan  temperatura  almashish 
jarayonini  inobatga  oinmasa).  Agar  yassi  skalyar  maydon  faqat  radial
7
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

kordinatagagina  (r)  bogMiq  bo'lsa,  bunday  maydonga  o'qli  maydon 
deyiladi.
Agar  biror  sferik  Orcpd  koordinatalar  sistemasida  skalyar  maydon 
faqat  masofa 
r 
ga  bogMiq  boMsa  (M   nuqtadan  fiksirlangan  O 
nuqtagacha  boMgan  masofa),  bunday  maydon  markaziy  maydon 
deyiladi. Misol sifatida gravitatsion potensialni keltirish mumkin:
t/(r) = G—  
r
bu yerda G graviatasion ozgarmas, m0 massa.
Koordinata  boshida  joylashtirilgan  q  zaryadning  hosil  qilgan 
elektrostatik potentsiali
U(r) = —
= --------.  q
Ane,/ 
4fre„yjx2 + j-2 + z1
ham markasiy maydon boMadi (koordinata boshidan tashqari).
Agar  |/j = const  bo‘sa,  x2 +y2 + r 2 -const  kelib  chiqadi.  Shuning 
uchun  sferada yotgan  nuqtalar uchun  elektrostatistik  maydon  potentsiali 
o‘zgarmas boMadi:  u = const.