Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта маҳсус таълим вазирлиги қарши муҳандислик иқтисодиёт институти нефть ва газ факультети

9- маъруза. Ростлаш системаларининг турғунлиги
Маъруза режаси:

1. 
   Турғун ростлаш системалари тушунчаси;
   
2. 
   Турғун бўлмаган ростлаш системалари тушунчаси;
   
3. 
   Турғунлик чегарасидаги ростлаш системалари тушунчаси;
   
4. 
   Ляпунов теоремаси.
   

Ташқи таъсир остида бўлган ҳар қандай АРС унга берилган харакат қонунидан четлашади. Бундай ҳолда ростлагич системани шу ҳаракатга қайтаришга интилади. Натижади бир тамондан таъсир натижасида, иккинчи тамондан ростлагичнинг тикловчи ҳаракати натижасида ўтиш характеристикаси юзага келади.

Бу шароитда уч хил ҳолат юзага келиши мумкин:
1) ростлаш системаси талаб этилаётган ҳаракат бузулгандан сўнг уни тиклай олмайди ва системанинг хақиқий ҳаракати талаб этилган ҳаракатга нисбатан кўпроқ четлаша боради. Бундай ўтиш жараёни узоқлашувчи дейилади ва система нотурғун бўлади;
2) ростлаш системаси таъсирлар натижасижа ҳаракати бузулгач вақт ўтиши билан ростлаш системасининг статик хатолигига жавоб бера оладиган аниқликда берилган ҳаракатга қайтади. Бундай ўтиш жараёни яқинлашувчи бўлади ва система турғун дейилади;
3) ростлаш системаси мувозанат ҳолати бузулгач берилган ҳаракатга қўшимча равишда барқарорлашган даврий ҳаракатларни ҳам олади. Бу қўшимча ҳаракатлар сўнмайдиган тебранишлардан иборат бўлади. Бундай ўтиш жараёни сўнмайдиган тебранувчан жараён дейилади, система эса турғунлик чегарасидаги система дейилади.



Y_ч.

Y_ч.

22- расм. Рис.Турғун АРСларнинг ўтиш характеристикаари
а) – бошқарувчи таъсирда;, б) – ғалаёнли таъсирда .



Y_ч.

Y_ч.

23-расм а) нотугғун ўтиш характеристикаси;, б) турғунлик чегарасидаги ўтиш характеристикаси..

Реал АРСнинг деярли барчасининг ҳаракати ночизиқ дифференциал тенглама орқали тавсифланади. АРСлари ҳисобини соддалаштириш мақсадида бу тенгламалар чизиқлаштирилади. Ёпиқ системанинг дифференқиал тенгламаси агар ўзгарувчи сифатида ростланувчи катталик қабул қилинган бўлса қуйидаги кўринишда бўлади:

, (1)
Бу тенглама ташқи таъсир остидаги системанинг динамик ҳусусиятларини характерловчи дифференциал тенгламадир.
Бу тенгламанинг ечимини топиш учун деб ҳисоблаймиз ва унинг оператор шаклидаги характеристик тенгламаси қуйидаги кўриншга келади:
, (2)
Бу ерда р-характеристик тенглама илдизлари. Уни хусусий операторни нолга тенглаб олиш мумкин . Ёпиқ система учун характеристик тенглама системага ташқи таъсир бўлмаган ҳолда унинг узатиш функцияси орқали олиниши мумкин.
Системалар турғунлик масаласини ечиш кўплпб олимлмрнинг илмий ишлари бағишланган. Турғунлик масаласини ечишнинг умумий усулларини рус математиги А.М.Ляпунов яратган. А.М.Ляпунов чизиқли дифференқиал тенглама орқали ифодаланувчи динамик системанинг турғунлигини ўрганиб қуйидаги ҳулосаларга келди:
1) агар характеристик тенгламалар илдизларининг барча ҳақиқий қисмлари манфий бўлса, тенг­лама турғун бўлади;
2) агар бу тенглама илдизларидан биронтаси мусбат бўлса, система нотурғун бўлади.
Чизиқли бўлмаган дифференциал тенглама орқали тавсифланувчи системаларни турғунликка текшириш шартлари учун юқорида келтирилган қоидалар доим ҳам ўринли эмас.
Агар илдизлар текислигининг координата ўқларининг абциссасига ҳақиқий қисмларни, ордината ўқига эса характеристик тенглама илдизининг мавҳум қисмларини қўйсак, у ҳолда бу текисликда ҳар бир илдизга бир нуқта мос келади. Ҳақиқий илдизлар абцисса ўқида жоқлашган нуқталарни аниқлайди, бир бирига боғланган комплекс илдизлар жуфтлиги эса абциссалар ўқига нисбатан симметрик жойлашган икки нуқтадан иборат.

0. 
   24-расм. Характеристик тенгламанинг илдизлар текислиги.
   

1) , 2) , 3)

Шундай қилиб, ҳақиқий система турғун бўлиши учун чизиқлқштирилган системанинг характеристик тенгламаси илдизлари илдизларнинг комплекс текислигида мавҳум ўқдан чапда бўлишлари зарур ва етарли. Агар бирон бир нуқта мавҳум ўқда ётса, у ҳолда система турғунлик чегарасида бўлади. Демак характеристик тенгламанинг барча илдизларини ҳисоблаш шарт эмас. Улар мавҳум ўқдан чапда жойлашганини билишнинг ўзи етарли.

Лекин тўртинчи даражадан юқори бўлган тенгламаларни бундай текширириш мумкин эмас. Шунинг учун характеристик тенгламани ечмай туриб конкрет АРСнинг турғунлигини текшириш ва АРСнинг ўтиш жараёнлари турғун кечишининг зарур ва етарли шартларини белгилаб берувчи аломатларга эга бўлиш зарурияти туғилади. Бу аломатлар вазифасини турғунликнинг мезонлари бажаради.