Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта маҳсус таълим вазирлиги қарши муҳандислик иқтисодиёт институти нефть ва газ факультети

6-маъруза. Объектнинг (АРС элементининг) узатиш функцияси
Маъруза режаси:
1. Дифференциаллаш оператори.
2. Узатиш функцияси тушунчаси ва унинг таърифи.
3. Лаплас алмаштирилиши.

Доимий коэффициентли чизиқли тенгламаларни символик оператор кўринишида ёзиш қулай бўлиб, бу тенглама қуйидагича бўлади:

, (1)
Бу ерда - дифференциаллаш оператори дейилади.
нинг n –ҳосиласини қуйидагича ёзамиз
Чап ва ўнг тамаонларида ҳосилаларга эга бўлган юқори тартибли дифференциал тенгламани оператор кўринишида қуйидагича ёзамиз:
, (2)
Бу ерда
,
.
-кўпҳадни объектнинг (элементнинг) хусусий оператори дейилади, ни эса кириш оператори дейилади. Хусусий оператор объектнинг (элеметннинг) хусусий, яъни ташқи таъсирлар бўлмагандаги ҳаракатини ифодалайди. Кириш оператори эса объектга (элементга) берилган таъсирни характеристикалайди. Кириш оператори нинг ҳусусий оператор га нисбатини доимий коэффициентли чизиқли дифференциал тенглама билан характеристикаланувчи объектнинг (АРС элементининг) узатиш функцияси
,
У ҳолда (2) тенгламанинг ечими қуйидаги алгебраик тенглама кўринишида изланиши мумкин:
(3)
Дифференциал тенгламаларни алгебраик усулда ечишга ўтиш фикрини символни киритган инглиз физиги Хэвисайд киритган. Лекин бошланғич шартлари ноль бўлмаган қатор масалаларни ечишда дифференциаллаш оператори ни қўллаш адекват натижа бермайди.
Бундай ўтишнинг жиддий математик асосланишини Пьер Симон Лаплас берди ва бу усул Лаплас алмаштирилиши усули деб юритилади. Бу усулга кўра дифференқиал тенгламаларни ечиш масаласи оригинал текислигидан (ўзгарувчи t таъсири текислиги) тасвирлар текислигига (S ўзгарувчилар) ўтказилади. Оригиналнинг тасвири устидан амал бажариб жавобнинг тасвири олинади. Сўнгра бу тасвир орқали оригинал жавоби қидирилади.
Қуйидаги талабларга жавоб берувчи функция мавжуд бўлсин:
а) функция ва унинг ҳосилалари узлуксиз, яъни текширилаётган интервалда функция ўзулишсиз;
б) функция абсолют интегралланувчи, яъни функциянинг 0 дан ∞ гача интеграли чекли сон.

функциядан интеграл оламиз
, бу ерда комплекс ўзгарувчи.
У ҳолда интеграл t нинг эмас, балки s нинг функцияси бўлиб қолади, яни қуйидаги белгилашни киритамиз

Бу интеграл Лаплас бўйича функциянинг тасвири номини олган ва бу интеграл акс эттирадиган амал Лаплпснинг тўғри алмаштирилиши дейилади. Бу алмаштирилишни одатда қуйидагича белгиланади ва уни шунингдек Р- алмаштирилиш деб ҳам юритилади.
Кўпгина функциялар учун тасвирлар топилган. Масалан доимий катталик нинг тасвири қуйидагича :
учун бўлади, агар ҳақиқий текисликда бўлса, у ғолда тасвирлар текислигида 1 энди бўлади. Ҳосиланинг тасвири : ; кўринишда бўлади.
Жавобнинг оригиналини топиш учун Лапласнинг тескари тасвиридан фойдаланиш лозим
,
Одатда тескари ўтишлар функциясининг жадвалидан фойдаланилади.
(2) система ҳаракатини характеристикаловчи дифференциал тенгламани Лаплас бўйича алмаштирамиз. Бу ечимни топишда бошланғич шартлар ноль деб ҳисоблаймиз ва қуйидаги белгилашларни киритамиз:
ва ,
Бу ерда ва оригинал функциялар ва ларнинг тасвири. У ҳолда
(4)
Бу ерда
,
Ноль бўлган бошланғич шартларда
белгилашни қўлласак (4) тенгламанинг ечими кўринишга келади. Бу тенглама системанинг чиқиш координатаси тасвири ни кириш тасвири билан боғлайди.
функция системанинг динамик хусусиятларини характеристикалайди ва узатиш функцияси деб юритилади

Узатиш функцияси бошланғич шартлар нол бўлганда система чиқиш координатасининг Лаплапс алмаштирилишининг кириш таъсирининг Лаплас алмаштирилишига нисбатини ифодалайди. Узатиш функциясининг бундай таърифи олдин берилган тариф билан турли нарсалар эмас. Чунки бошланғич шартлар нол бўлганда дифференциал тенгламалар системасини ечиш учун комплекс ўзгарувчи дифференциаллаш оператори билан бир бирларига тенглаштириладилар.
Шундай қилиб, системанинг узатиш функциясин ни билган ҳолда ва системага берилган таъсирнинг тасвири ни аниқлаб чиқиш координатасининг тасвирини топиш мумкин, сўнгра тасвирдан оригиналга ўтиб кириш таъсири бўлганда чиқиш координаталири ўзгариш жараёнини олиш мумкин.
функцияга эга бўлган ҳолда ни га ўзгартириб бу системанинг амплитуда-фаза характеристикасини аниқлаш мумкин.
,
Бу ерда -кириш таъсирини беришнинг частотаси ва системанинг барқарорлашган тебранувчан ҳаракатида -система чиқиш координатаси ўзгаришининг частотаси.