Њзбекистон республикаси олий ва њрта махсус

Ikkilangan masalalarning iqtisodiy ma’nosi

Faraz qilaylik, ishlab chiqarishni tashkil etish uchun quyidagi ko„rsatkichlar ma‟lum bo„lsin:

9. 
   – ishlab chiqarish resurslari indeksi;
   
10. 
    – ishlab chiqarilgan mahsulotlar indeksi;
    

b_i c _j ^aij

• 
  i -ishlab chiqarish resursining hajmi;
  
• 
  j -turdagi bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish bahosi;
  
  • 
    i -ishlab chiqarish resursidan j -turdagi bir-birlik mahsulotni ishlab
    

chiqarish uchun talab qilinadigan xarajatlar me‟yori.
Endi ishlab chiqarilishi lozim bo„lgan mahsulotlar miqdorini x _j
belgilaylik. Bu ma‟lumotlarga ko„ra quyidagi masalani tuzish mumkin.

deb

Shunday mahsulotlar ishlab chiqarish miqdorini ko„rsatuvchi o„zgaruvchilar topilsinki, natijada
F  c₁ x₁  c₂ x₂  ...  c_n x_n  max
bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:


^{a11x1  a12x2  ...  a1n xn  b1}
x₁ ,
x₂ ,..., x_n

a
^ 21^x1

 a₂₂ x₂
 ...  a_2n x_n
 b₂

_.............................................
_^a_m1 x₁  a_m2 x₂  ...  a_mn x_n  b_m

x₁  0,
x₂  0,...,
x_n  0

Yuqoridagi berilganlarga asosan bu masalaga qo„shma bo„lgan yangi masalani ham tuzish mumkin.

Har bir ishlab chiqarish resurslariga mos ravishda shunday
y₁ ,
y₂ ,..., y_m

baholar (o„zgaruvchilar) aniqlansinki, resurslardan foydalanish minimal bo„lib, bir- birlik mahsulot ishlab chiqarish uchun qilinadigan xarajatlar uning umumiy bahosidan oshib ketmasin.

Masalaning matematik modeli quyidagicha bo„ladi.

Shunday
y₁ ,
y₂ ,...,
y_m o„zgaruvchilar topilsinki, natijada

F  b₁ y₁  b₂ y₂  ...  b_m y_m  min
bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:
^{a11y1  a21y2  ...  am1 ym  c1
}a y  a y  ...  a y  c

^ 12 1

22 2
m2 m 2

_.............................................
_^a_1n y₁  a_2n y₂  ...  a_mn y_m  c_n

y₁  0,
y₂  0,...,
y_m  0

Agar dastlabki masalani shartli ravishda to„g„ri masala desak, unga qo„shma bo„lgan keyingi masala ikkilangan masala deyiladi.
Тo„g„ri va ikkilangan masalalarni taqqoslasak, ular uchun ushbu umumiylikni ko„rish mumkin:

1. 
   to„g„ri masalada funksional maksimumga intilsa, ikkilangan masalada esa minimumga intiladi;
   
2. 
   to„g„ri masalaning hamma shartlari kichik yoki teng , ikkilangan
   

masalada esa katta yoki teng  belgi bilan ifodalanadi;

3. 
   to„g„ri masalada n ta noma‟lum va m ta cheklashlar tizimi mavjud bo„lsa, ikkilangan masalada m ta noma‟lum va n ta cheklashlar bo„ladi;
   
4. 
   to„g„ri masalaning ozod hadlari ikkilangan masalada chegaraviy shartlar koeffitsiyentlari sifatida qatnashsa, ikkilangan masalaning ozod hadlari to„g„ri masalaning maqsad funksiyasida koeffitsiyent bo„lib qatnashadi;
   
5. 
   ikkala masaladagi tengsizliklar koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsalar o„zaro transponirlangan bo„lib, birining satrlari ikkinchisining ustuni bo„ladi.
   

^a11
_{A } ^a21
...
^am1
^a12 ^a22
...
^am2


...

^a1n ^a2n
...
^amn


A₁ 
^a11 ^a12
...
^a1n
^a21
^a22
...
^a2n


...

^am1 ^am2
...
^amn

Ko„rinib turibdiki, bu ikkala masala o„zaro aloqada bo„lib, ular birgalikda chiziqli dasturlashning juft simmetrik qo„shma masalalarini hosil qilar ekan. Agar to„g„ri masalada

mahsulot ishlab chiqarishning optimal rejasi aniqlansa, ikkilangan masalada ishlab chiqarish resurslarining optimal baholari tizimi aniqlanadi.
Chiziqli dasturlashda ikkilangan masalaning asosiy teoremasi bo„lgan to„g„ri va ikkilangan masalaning ixtiyoriy yechimi mavjud bo„lsa, ular uchun optimal yechim ham mavjudligi va
n m
max _c_j x _j min _b_i y_i

ekanligi isbot etilgan.

j1
i1

Qo„shma simmetrik masalalarning optimal rejalari faqat maqsad funksiyalari qiymatlarining tengligi bilangina bog„liq bo„lmay, ularda ushbu muhim munosabatlar ham mavjud:

1. 
   faqat optimal rejada to„liq ishtirok etgan resurslarning ikkilangan bahosi mavjud, qolganlariniki nolga tengdir;
   
2. 
   agar mahsulot optimal rejaga kiritilgan bo„lsa, uning bahosi bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan resurslar bilan baholanadi, aks holda shu mahsulotni ishlab chiqarish korxona uchun foyda keltirmaydi.
   

Chiziqli dasturlashning to„g„ri va ikkilangan masalalari bir-biriga bog„liq bo„lmagan holda simpleks usul orqali yechilishi mumkin.
Yuqoridagilardan ko„rinib turibdiki, chiziqli dasturlashning to„g„ri masalasiga mos ravishda ikkilangan masalani tuzish va aksincha, ikkilangan masala berilgan bo„lsa, unga qo„shma bo„lgan to„g„ri masalani keltirib chiqarish mumkin ekan.

Masala.
x₁ va x₂
o„zgaruvchilarning shunday qiymatlari aniqlansinki, unda
F  5x₁  x₂  max

bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:

2x₁  x₂  3

3x₁  2x₂  6
 x₁  x₂  1

x₁  0, x₂  0 .

Bu masalaga qo„shma bo„lgan ikkilangan masala quyidagicha bo„ladi:

y₁ , y₂ va
y₃ o„zgaruvchilarning shunday qiymatlari aniqlansinki, unda
F₁  3y₁  6y₂  y₃  min

bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:

2 y₁  3y₂  y₃  5
 y₁  2y₂  y₃  1

y₁  0,
y₂  0,
y₃  0 .

Berilgan dastlabki va tuzilgan ikkilangan masalalarning tengsizliklari uchun ushbu munosabatlar o„rinli ekanligini ko„rish mumkin:

1) 2x1  x2  3	va	y1  0 ;
2) 3x1  2x2  6	va	y2  0 ;
3)  x1  x2  1	va	y3  0 ;
4) x1  0	va	2 y1  3y2  y3  5 ;
5) x2  0	va	 y1  2y2  y3  1.

Juft simmetrik qo„shma masalalar uchun ayrim iqtisodiy mulohazalarni ko„rib chiqamiz. Simmetrik qo„shma masalalarni iqtisodiyotning turli xil sohalari va tarmoqlarida qo„llash mumkin. Masalan, ishlab chiqarish korxonalarida xom ashyodan foydalanish masalasi berilgan bo„lsin. Bu masalada ikki xil turdagi xom ashyo zaxiralari bo„yicha uch xil assortimentdagi mahsulot ishlab chiqarish rejasini shunday tashkil etish kerakki, natijada ishlab chiqarilgan mahsulotlarning sotilishidan keladigan foyda eng katta bo„lsin (maqsad funksiyasi maksimumga intilsin). Keltirilgan ushbu masalaning matematik ko„rinishini quyidagicha ifodalash mumkin (1.1-rasm).
Ma‟lumki, umumiy holda ifodalangan 1.1-rasmdagi I-masalaning ozod hadlari
b₁, b₂ ,..., b_n resurslarni (ishlab chiqarish omillarini) ko„rsatib, optimal ishlab chiqarish

rejasini aniqlaydi. Ikkilangan yoki qo„shma II-masala esa resurslarning optimal bahosini, ya‟ni bir-birlik bahosini (narxini) shunday aniqlash kerakki, mahsulot ishlab chiqarishga sarflangan resurslar qiymati eng kam bo„lsin. Ko„rinib turibdiki,

resurslarning optimal bahosi nisbiy ma‟noga ega ekan, chunki resurslar ikkala masalada ikki xil ma‟noga egadir.

I. Тo„g„ri masala	II. Ikkilangan masala
x1 , x2 , x3 o„zgaruvchilarning shunday qiymatlari topilsinki, unda	y1 va y2 o„zgaruvchilarning shunday qiymatlari topilsinki, unda
F 12x1 15x2 19x3  max	F1  60y1  45y2  min
maqsad funksiya maksimum qiymatga ega bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:	maqsad funksiya minimum qiymatga ega bo„lib, quyidagi shartlar bajarilsin:
x1  0 x2  0 x3  0 4x1  2x2  6x3  60 2x1  6x2  4x3  45	4y1  2y2 12 2y1  6y2 15 6y1  4y2 19