Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

Биринчи Гаусс интерполяция формуласи.
y = f (x) функция эркли ўзгарувчининиг x_i = x₀ + ih қийматлари учун қуйидагича берилган бўлсин. Интерполяция тугунларини қуйидагича белгиласак уларнинг орасидаги масофа бир хил бўлганда

даража кўрсаткичи 2n дан ошмайдиган шундай P(x) кўпҳад тузиш талаб килинадики, бу кўпҳад учун i = 0, ±1, ±2, … , ±n шарт бажарилиши лозим. P(x) кўпҳад кўриниши қуйидагича қидирилади

Иккинчи формуланинг коэффициентларини топиш учун (2) фойдаланамиз. Гаусс интерполяцион формуласини ёзиш учун марказий чекли айирмалар жадвалидан фойдаланамиз. Жадвалда
марказий чекли айирмалар деб айтилади.Бунда

ва хоказо.
Марказий чекли айирмалар жадвали.

x	y	y	^2y	^3y	^4y	^5y	^6y
x-4	y-4
		y-4
x-3	y-3		^2y-4
		y-3		^3y-4
x-2	y-2		^2y-3		^4y-4
		y-2		^3y-3		^5y-4
x-1	y-1		^2y-2		^4y-3		^6y-4
		y-1		^3y-2		^5y-3
x0	y0		^2y-1		^4y-2		^6y-3
		y0		^3y-1		^5y-2
x1	y1		^2y0		^4y-1		^6y-2
		y1		^3y0		^5y-1
x2	y2		^2y1		^4y0
		y2		^3y1
x3	y3		^2y2
		y3
x4	y4

Бу топилган коэффициентларни (2) га олиб бориб қўйсак.
(3) га Гаусснинг биринчи интерполяцион формуласи дейилади.
Бунга янги ўзгарувчи киритсак




Гауснинг биринчи интерполяцион формуласи ҳосил бўлади.

Гаусснинг иккинчи интерполяция формуласи.

Гаусснинг иккинчи интерполяцион формуласи та интерполяция тугунлари:

учун қуйидагича қидирилади.

(5) нинг коэффицентларини топиш худди олдингидек.

(6)га Гаусснинг иккинчи интерполяцион формуласи дейилади.
янги ўзгарувчи киритсак

Гаусснинг иккинчи интерполяцион формуласи ҳосил бўлади. Гаусснинг биринчи ва иккинчи интерполяцион формулаларини тузишда марказий чекли айирмалар жадвалидан фойдаланилди.


Лагранж интерполяция формуласи
Лагранж интерполяция формуласидан интерполяция нуқталари орасидаги масофа бир хил бўлмаган ҳолда фойдаланилади.
y = f(x) функция учун [a,b] оралиқнинг n+1 нуқтасида x₀, x₁, …x_n y_i = f( x_i ) f( x₀ )= y₀ , f( x₁ )= y₁ , … f( x_n )= y_n қийматларни қабул қилсин. Даража кўрсаткичи n дан ошмайдиган шундай L_n(x) кўпҳад тузиш керакки берилган x₀, x₁, …x_n нуқталарда f(x) функция каби қийматларни қабул қилсин, яъни L_n(x_i)=y_i .
Агар интерполяция нуқталари сони 2 бўлса ҳосил бўладиган кўпҳад чизиқли дейилади ва кўриниши У = АХ + В ёки
( х – х₀)
у = у₀ + ----------- ( у₁ - у₀)
( х₁ - х₀)

Агар интерполяция нуқталари сони 3 бўлса ҳосил бўладиган кўпҳад иккинчи даражали бўлади ва кўриниши У = АХ² + ВХ + С ёки

( х – х₁ ) ( х – х ₂ ) ( х – х₀ ) ( х – х ₂ ) (х – х₀ ) ( х – х ₁ )

у = у₀ ----------------------- + у₁ ----------------------- + у₂ ---------------------
( х₀ - х₁) ( х₀ – х₂ ) ( х₁ - х₀ ) ( х₁ – х ₂ ) ( х₂ – х₀ ) ( х ₂– х ₁ )

Квадратик интерполяциялашни геометрик маъноси – берилган функция графиги, ( х₀ , у₀ ) , (х₁ , у₁ ) , (х₂ , у₂ ) нуқталардан ўтадиган парабола билан алмаштирилади.

Умумий ҳолда n + 1 интерполяция нуқтаси берилган бўлса ва бу нуқталарда
У=f(X) функция жадвал кўринишда берилганида n – даражали кўпҳад қуйидагича аниқланади:
_n ( х – х₀ ) ( х – х ₁ ) …( х – х _k-1 ) ( х – х _k+1 ) …( х – х _n )
L(x) = Σ y_k ---------------------------------------------------------------
^k=0 ( х _k - х ₀) ( х _k – х ₁ ) …( х _k - х _k-1) ( х _k – х _k+1 ) …( х _k - х _n)

Ҳосил бўлган кўпҳад Лагранж интрполяция кўпҳади дейилади.

Бажарилиши лозим бўлган вазифа қуйидагидан иборат – берилган жадвалдаги Х₀ , Х₁ ... Х_n ва У₀ , У_1, ... У_n қийматларидан фойдаланиб Лагранж интерполяцияловчи кўпҳадини тузинг.
2. Лагранж интерполяция кўпҳадини тузиш учун Pascal дастурлаш тилидаги дастур матни.
program lagrangeinterpolation;
type vec=array[0..20] of real;
var i,j,n:integer; x,y,f:vec; p,Pn,e,x0:real;
procedure tab(n:integer;var x,y:vec);
var i:integer;
begin
for i:=0 to n do begin
write('x,y[',i,']=') ; readln(x[i],y[i]);
end;
end;
procedure lagrang(n:integer;x,f:vec; x0:real; var Pn:real);
var l1,l2:real;i,j:integer;
begin
Pn:=0;
for i:=0 to n do begin l1:=1; l2:=1;
for j:=0 to n do if i<>j then begin l1:=l1*(x0-x[j]);l2:=l2*(x[i]-x[j]); end;
Pn:=Pn+y[i]*l1/l2;
end;
end;
begin
write('n='); readln(n); tab(n,x,y);
repeat
write('x0='); readln(x0);
for i:=0 to n do f[i]:=y[i]; lagrang(n,x,f,x0,Pn); writeln('Pn(',x0,')=',Pn);
until false;
end.
Программа асосида эксперимент ўтказамиз:n=4
x,y[0]=0 1
x,y[1]=1 2
x,y[2]=3 1
x,y[3]=2 3
x,y[4]=4 2
x0=0 Pn(0)=1
x0=1 Pn(1)=2
x0=2 Pn(2)=3
x0=3 Pn(3)=1
x0=4 Pn(4)=2
Натижа дастурни тўғрилигини кўрсатамиз.

Назорат саволлари

1. Интерполяция сўзини маъноси

2. Гаусс кўпҳадини ҳисоблаш
3. Экстраполяция сўзини маъноси
4. Лагранж кўпҳади ҳисоблаш

МАЪРУЗА – 15

Тажриба натижаларини қайта ишлаш. Энг кичик квадратлар усули.

Тажриба натижаларини қайта ишлаш.

Энг кичик квадратлар усули бўйича назарий маълумотлар.
Энг кичик квадратлар усули алгоритми
Тажриба натижаларини қайта ишлаш.
Яна эслатиб ўтамиз, интерполяция деганда эркли ўзгарувчининг дискрет нуқталари билан функциянинг шу нуқталардаги мос қийматлари орасидаги муносабати маълум бўлган ҳолда функционал боғланишнинг тақрибий ёки аниқ аналитик ифодасини тузиш тушунилади.
Кўпинча кузатишлар ва тажрибалар орқали эмпирик формулаларни келтириб чиқариш мумкин.
Масалан, ҳароратнинг кўтарилиши ёки аксинча пасайишини, симоб устунининг кўтарилиши ёки пасайишига қараб билиш мумкин. Демак, ҳарорат билан симоб устини ўртасидаги чизиқли боғланиш борлигини тажриба орқали билиш мумкин. Бундай масалаларни ечишда энг кичик квадратлар усулидан фойдаланамиз.
Энг кичик квадратлар усули биринчи марта 1874 йилда Гаусс томонидан ишлаб чиқилган бўлиб, айрим адабиётларда бу усул Гаусс усули деб аталади.
Энди энг кичик квадратлар усулининг моҳияти билан танишиб чиқимиз.
Айтайлик, эркли ўзгарувчининг n та қиймати берилган бўлсин. ₁, ₂, ₃,..., _n унга мос функция қийматлари Y₁, Y₂, Y₃, ... , Y_n бўлсин.
Демак, функция жадвал кўринишда берилган.

Х	1	2	…	n
Y	Y1	Y2	…	Yn

Жадвал функциянинг қийматларини XOY декарт координата системасидаги қуйидаги нуқталар орқали ифодалаш мумкин:
F₁ (₁,Y₁)
F₂ (₂,Y₂)...
Бу қийматларга мос нуқталарни координата текислигида тасвирлайлик.

Демак, биз ана шу тажриба ўтказиш натижасида ҳосил қилинган нуқталардан жуда кам фарқ қиладиган у=а+b функцияни кўришимиз мумкин (чизиқли ҳол).

Умуман олганда бу функция квадратик, яъни у=а²+bx+c ёки у=asinφx+bcosφx кўринишларда танлаб олиниши мумкин. Тажриба нуқталарининг жойлашиш ҳолатига қараб керакли кўринишдаги функциялар танлаб олинади.
Чизмада ясалган тўғри чизиқ билан бир нуқта орасидаги масофалар айирмасини квадратларининг йиғиндисини хатолари минимум бўлсин:

Ушбу шарт бажарилиши учун, ноъмалум коэффицентлардан олинган хусусий ҳосилалар нолга тенг бўлиши керак, яъни



(1)

керакли белгилашларни киритиб,

тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бунда:

Икки номаълумли тенгламалар системасини Крамер усулида ечиш қулайроқ, яъни

(1) системадан а ва в топилгандан сўнг у=а+в функцияни ифодасини ҳосил қиламиз. Энди ҳар қандай аргументнинг қийматида хам функциянинг қийматини ҳисоблаш мумкин бўлади.

+