Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

2. Эйлер усулининг ишчи алгоритми ва дастур таъминоти.
Қуйидаги биринчи тартибли дифференциал тенглама учун Коши масаласини y’f(x,y) (2)
[a,b] оралиқдаги х₀а нуқтада y₀y(x₀), бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш лозим .
Коши масаласини Эйлер усули ёрдамида ечиш учун, дастлаб дифференциал тенгламанинг ечими қидириладиган [a,b] кесмани x₁,x₂,...x_n тугун нуқталар билан бўлакларга бўламиз. Тугун нуқталарнинг координаталари x_i1a(i1)h (i0..n-1) формула орқали аниқланади. Ҳар бир тугунда y(x_i) ечимнинг қийматларини чекли айирмалар ёрдамида тақрибий y_i қийматлар билан алмаштирилади.
(2) дифференциал тенгламани х_i нуқта учун ёзиб y^’(x_i) f(x_i, y(x_i)) олиб, чекли айирмали формуладан фойдаланамиз ва натижада қуйидаги Эйлер формуласига эга бўламиз:



Маълумки, yf(x) функциянинг xx₀ нуқта атрофидаги Тейлор қаторига ёйилмасидан бошидаги иккита ҳад билан чегараланиб, биринчи тартибли ҳосила қатнашган ҳадни аниқлаш натижасида қуйидаги чекли айирмали формулани ҳосил қилиш мумкин:
(3)
Ушбу алмаштиришнинг геометрик маъноси қуйидагича:
Ҳосиланинг геометрик маъносига кўра

(3) дан
Демак, чекли айирмалар формуласи ҳосиланинг асл қийматидан га фарқ қилади, яъни BE қанча кичик бўлса, чекли айирма y’ ҳосилага шунча яқин бўлади. Расмдан да эканини кўриш мумкин. (2) ва (3) дан эканини ҳисобга олиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(4)
Ҳосил қилинган (4) формула Эйлер усулининг асосий ишчи формуласи бўлиб, унинг ёрдамида тугун нуқталарга мос бўлган дифференциал тенгламанинг y_i хусусий ечимларини топиш мумкин. Юқоридаги формуладан кўриниб турибдики, y_i1 ечимни топиш учун y_i ечимнигина билиш кифоя. Демак, Эйлер усули бир қадамли усуллар жумласига киради.
Эйлер усулининг геометрик маъноси қуйидагича:
А ну=та xx_i ну=тага мос келувчи ечим бўлсин. Бу нуқтадан интеграл чизиққ=а ўтказилган уринма x_i1 нуқтада бошқа интеграл чизиғида y_i1 ечимни аниқлайди.


Уринманинг оғмалиги ҳосила билан аниқланади. Демак, Эйлер усулидаги йўл қўйилган асосий хатолик ечимни бир интеграл чизиғидан бошқасига ўтказиб юбориши билан ҳарактерланади.