Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

“optik”
va 
“izogonal”
xossalarini keltiramiz. 
Ellipsning optik xossalari. 
1-xossa. 
Ellipsning biror 
P
nuqtasidan 
l
urinma o’tkazilgan bo’lsin. U holda 
ellipsning fokal radiuslari 
l
to’g’ri chiziq hosil qilgan burchaklari o’zaro tengdir. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
341 
Isbot.
Bu 
xossani 
isbotlash 
uchun 
koordinatalar 
metodidan 
foydalanamiz. 
Ellipsning fokuslari 


1
,0
F
c

va 
 
2
,0
F c
nuqtalarda joylashgan hamda 


0
0
,
P x y
nuqtadan urinma o’tkazilgan bo’lsin. 
Bizga ma’lumki 
2
2
2
2
1
x
y
a
b


ellipsning biror 


0
0
,
P x y
nuqtasidan o’tkazilgan 
l
urinmaning tenglamasi 
0
0
2
2
1
xx
yy
a
b


ko’rinishda bo’ladi. 
1
2
,
F F
fokuslardan 
l
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan 
1
1
2
2
,
F D F D
masofalarni topaylik. 
0
0
0
0
2
2
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0
1
1
1
1
1
cx
y
c
x
ex
ex
a
r
a
b
a a
a
F D
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b




 

 












,
0
0
0
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0
1
1
1
1
1
cx
y
c
x
ex
a
ex
r
a
b
a a
a
F D
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b


















.
Fazraz qilaylik 
1
1
F P
r

fokal radius 
l
bilan 
1

, 
2
2
F P
r

fokal radius 
l
bilan 
2

o’tkir burchaklar hosil qilsin (2-rasm).
Endi bu burchaklarning o’zaro teng ekanligini ko’rsatamiz. 
1
2
2
0
0
4
4
1
1
1
2
2
1
1
0
0
4
4
1
sin
r
x
y
a
F D
a
b
F P
r
x
y
a
a
b






, 
2
2
2
0
0
4
4
2
2
2
2
2
2
2
0
0
4
4
1
sin
r
x
y
a
F D
a
b
F P
r
x
y
a
a
b






. Demak, 
1
2
1
2
sin
sin


 



. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
342 
Bu xossadan quyidagi natijaga ega bo’lamiz. 
Natija: 
Ellipsning biror 
P
nuqtasidan 
l
urinma o’tkazilgan bo’lsin. U holda 
l
to’g’ri chiziq 
1
2
F PF

burchakning tashqi bissektrisasi bo’ladi. 
2-xossa. 
Ellipsning 
1
F
fokusidan o’tuvchi 
PQ
vatari berilgan bo’lsin hamda ellipsga 
P
va 
Q
nuqtalarda o’tkazilgan urinmalar 
o’zaro 
R
nuqtada kesishsin. U hoda 
R
nuqta 
2
F PQ
uchburchakka tashqi-ichki
5
urunuvchi aylananing markazi bo’lib bu 
aylana 
PQ
vatarga 
1
F
nuqtada urinadi (3-rasm). 
Isbot. 
Yuqoridagi natijaga ko’ra 
PR
va 
QR
urinmalar 
2
F PQ
uchburchakning tashqi 
burchaklari bissektrisalaridir. Demak 
R
uchburchakka tashqi-ichki chizilgan aylana 
markazidir. Endi urinish nuqtasi 
1
F
ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik aylana 
PQ
tomonga 
'
1
F
nuqtada urinsin. Tashqi-ichki urinish shartiga ko’ra urinish 
nuqtasida qarama-qarshi uchidan boshlab uchburchak perimetiri teng ikkiga 
bo’linadi, ya’ni: 
'
'
1
2
2
1
F P
PF
F Q
QF



. Ellips ta’rifiga ko’ra ellipsning ixtiyoriy 
nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas ya’ni: 
1
2
2
1
F P
PF
F Q
QF



. Demak aylana 
PQ
vatarga
'
1
1
F
F

nuqtada urinadi. 
Natija: 
Agar ellipsga o’tkazilgan urinmalarning urinish nuqtalarini tutashtiruvchi 
vatar ellips fokusidan o’tsa, u holda bu urinmalar kesishish nuqtasidan hamda 
fokusdan o’tgan to’g’ri chiziq hosil bo’lgan vatarga perpindikulyar bo’ladi. 
Ellipsning izogonal xossalari.
3-xossa. 
Ellips tashqarisida yotuvchi 
P
nuqtadan unga ikkita urinmalar o’tkazilgan 
bo’lsin. Agar bu urinmalar ellipsga 
X
va 
Y
nuqtalarda urinsin, u holda 
1
F PX

va 
2
F PY

burchaklar o’zaro tengdir. 
1. 
Tashqi-ichki chizilgan aylana bu-uchburchakning bir tomoniga tashqi tarafda hamda qolgan ikki tomonlarining 
davomlariga tashqi tarafdan urinuvchi aylana.

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
343 
Isbot.
Aytaylik 
'
'
1
2
,
F F
nuqtalar mos ravishda 
PX
va 
PY
to’g’ri chiziqlarga nisbatan 
1
F
va 
2
F
nuqtalarga simmitrik nuqtalar bo’lsin (4-rasm). 
U holda
'
1
1
PF
PF

va 
'
2
2
PF
PF

tenglik o’rinli. 
1-xossaga ko’ra 
1
,
F Y
va 
'
2
F
bir to’g’ri chiziqda 
yotadi. Xuddi shunday 
2
,
F X
va 
'
1
F
bir to’g’ri 
chiziqqa tegishli. Bundan 
'
'
2
1
2
1
2
1
2
1
F F
F X
XF
F Y
YF
F F





. Ko’rish mumkinki 
'
2 1
PF F
va 
'
1
2
PF F
uchburchaklar (uchta tomoniga ko’ra) o’zaro teng. Demak, 
'
'
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
F PF
F PX
F PF
F PF
F PF
F PY

 
 
 
 
 
1
2
F PX
F PY
 
 
. 
Quyidagi ayrim xossalarni isbotsiz keltiramiz. 
4-xossa. 
Ellips tashqarisida yotuvchi 
P
nuqtadan unga ikkita urinmalar o’tkazilgan 
bo’lsin. Agar bu urinmalar ellipsga 
X
va 
Y
nuqtalarda urinsin, u holda 
1
F P
to’g’ri chiziq 
1
XFY

burchakning bissektrisalaridir (5-rasm).
5-xossa. 
Tekislikda ellips tashqarisidan ellips 
to’g’ri burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalarning 
geometrik o’rni markazi berilgan ellips markazida 
yotuvchi aylanadan iboratdir (6-rasm). 
Ya’ni, tekislikda ellips tashqarisidan unga o’zaro 
perpindikulyar urinmalar o’tkazish mumkin bo’lgan 
nuqtalarning geometrik o’rni markazi berilgan ellips 
markazida yotuvchi aylanadan iboratdir. 
Aytish joizki, biz bu maqolada faqat ellipsning ayrim ajoyib xossalarini keltirdik. 
Bu kabi ajoyib xossalarni boshqa ikkinchi tartibli chiziqlar, ya’ni giperbola va 
parabolalarda ham ko’rish mumkin. Yuqoridagi xossalarga doir misollar, hamda 
ellipsdan boshqa ikkinchi tartibli chiziqlarning bu kabi xossalarini keying 
maqolalarda keltirishni rejalashtirdik. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
344 
 
Adabiyotlar: 
1.
А.В.Акопян, А.А.Заславский. Геометрические свойства кривых второго 
порядка. Москва. М.: МЦНМО, 2007. 
2.
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. 
3.
Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003. 
4.
Берже М. Геометрия, Т. 1, 2. М.: Мир, 1984. 
BA’ZI YIG’INDILARNI HISOBLASHDA REKURRENT 
FORMULALARDAN FOYDALANISH 
Eshmamatova D.B., Bekchanova Sh.X. 
Sergeli tumanidagi 6-davlat ixtisoslashtirilgan umumiy o’rta ta’lim maktabi 
Keyingi yillarda matematika fanidan o’tkazilayotgan olimpiadalarda turli 
chekli va cheksiz yig’indilardan keng foydalanilib kelinmoqda. Ushbu maqolada 
ba’zi yig’indilarni hisoblashda rekkurent formulalardan foydalanish haqida so’z 
boradi. 
Ushbu








n
k
n
n
k
k
k





















1
1
2
4
3
2
1
1
3
2
1
1
yig’indini hisoblash talab qilingan bo’lsin. (bu yerda 
n
N

) 
Berilgan yig’indini S
n
bilan belgilab, uning har bir hadini ikkita had ayirmasi 
ko’rinishida yozamiz: 


 


 
 

 


















k
n
n
n
k
n
n
n
k
k
n
n
n
n



2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
Bundan quyidagi tengliklar kelib chiqadi: 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
345 


























1
4
3
2
1
3
2
1
1
1
1
3
2
1
1
k
k
k
k



, 
Bu tengliklardan dastlabki 
n
tasini qo’shsak, chap tomonidagi ifoda berilgan 
Sn yig’indini beradi, o’ng tomonda esa musbat va manfiy hadlar bir-birini yo’qotadi 
va noldan farqli ikkita had qoladi. Natijada 
S
n
=


 











k
n
n
n
k
k

2
1
1
!
1
1
hosil bo’ladi. Bu berilgan masalaning javobidir. Agar oxirgi tenglikda 
n
cheksizga 
intilganda limitga o’tsak, u holda Sn cheksiz yig’indiga aylanadi.Natijada 
S=
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
=





 

!
1
1
1
2
4
3
2
1
1
3
2
1
1
k
k
k
n
n
n
k
k






















kelib chiqadi. 
Endi xususiy hollarni qaraymiz: k=1 bo’lsa, 
S
n
=


1
1
1
1
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1











n
n
n

, S=
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
=1 
k
=2 bo’lsa, S
n
=




























2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
5
4
3
1
4
3
2
1
3
2
1
1
n
n
n
n
n

,
S
=
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
=
4
1
. 
k
=3 bo’lsa, 
S
n
=































3
2
1
1
6
1
3
1
3
2
1
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n

, 
S
=
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
=
18
1
, 
k
=4 bo’lsa, Sn=





4
3
2
1
1
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1















n
n
n
n
n

= 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
346 
=



















4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
4
1
n
n
n
n
, S=
lim
𝑛→∞
𝑆
𝑛
=
96
1
. 
Xulosa qilib aytganda, bunday formulalardan foydalanish o’quvchilarga 
nafaqat amaliy masalalarni hal qilishda, balki fanga bo’lgan qiziqishlarining 
ortishiga ham xizmat qiladi.