Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

НУҚТАДАН ТЎҒРИ ЧИЗИҚҚАЧА МАСОФА МАСАЛАСИГА 
ТУРЛИЧА ЁНДАШУВЛАР 
 
Кошназаров Р.А. ТДПУ катта ўқитувчи 
Холматов Д.Д. ТДПУ талабаси 
 
Маълумки, математикага оид фанлар ўзаро алокада бўлиб, баъзи
математик масалалар алгебра, геометрия, математик анализ фанларида ўзига
хос методлар ёрдамида ечилади. Масалан нуқтадан тўғри чизиққача масофани 
топишда 
геометрияда 
вектор,нуқта, 
тўғри 
чизиқ 
тушунчалариан 
фойдаланилади. Математик анализ дарсларида эса функция, хосила, 
экстремум тушунчаларидан фойдаланиш мумкин. Лекин бу масалани вазиятга 
қараб бошқача усулда ечиш хам мумкин бўлади.
Геометрияга оид дарсликларда 
𝐴(𝑥
0
; 𝑦
0
) нуқтадан 
𝑙: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
тўғри чизиққача масофа векторлар ёрдамида
|𝐴𝐵| =
|𝑎𝑥
0
+ 𝑏𝑦
0
+ 𝑐|
√(𝑎
2
+𝑏
2
)

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
223 
формула билан аниқланади. Аммо математик анализ фанида хам бу каби 
масалани экстемумларга оид мавзуларда ўрганиш мумкин. 
𝐴(𝑥
0
; 𝑦
0
) 
нуқта ва 
𝑙: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
тўғри чизиқ берилган бўлсин. 
Тўғри чизиққа тегишли бўлган 
𝐵(𝑥: 𝑦)
нуқтани олайлик. Унинг 
координаталари 
𝐵(𝑥: −
𝑐+𝑎𝑥
𝑏
) дан иборат бўлади, чунки 
𝑦 = −
𝑐+𝑎𝑥
𝑏
. 
АВ
нинг энг 
кичик қиймати 
А
нуқтадан берилган тўғри чииққача масофани билдиради. 
|𝐴𝐵| = √(𝑥 − 𝑥
0
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
0
)
2
= √(𝑥 − 𝑥
0
)
2
+ (−
𝑐 + 𝑎𝑥
𝑏
− 𝑦
0
)
2
Илдиз белгиси остидаги ифодани алохида кўриб чиқайлик. 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥
0
)
2
+ (−
𝑐 + 𝑎𝑥
𝑏
− 𝑦
0
)
2
= 𝑥
2
− 2𝑥𝑥
0
+ 𝑥
2
0
+
+ (
𝑐 + 𝑎𝑥
𝑏
)
2
+ 2𝑦
0
𝑐 + 𝑎𝑥
𝑏
+ 𝑦
0
2
= 𝑥
2
+ 2𝑥𝑥
0
+𝑥
2
0
+
+
𝑐
2
𝑏
2
+ 2
𝑐𝑎
𝑏
2
𝑥 +
𝑎
2
𝑏
2
𝑥
2
+ 2
𝑐𝑦
0
𝑏
+ 2
𝑎𝑦
0
𝑏
𝑥 + 𝑦
0
2
=
= (1 +
𝑎
2
𝑏
2
)𝑥
2
+ (2
𝑐𝑎
𝑏
2
+ 2
𝑎𝑦
0
𝑏
− 2𝑥
0
) 𝑥+𝑥
2
0
+
𝑐
2
𝑏
2
+ 2
𝑐𝑦
0
𝑏
+ 𝑦
0
2
Бу функциянинг минимум қийматини аниқлаймиз. 
𝑓′(𝑥) = 0
тенглама орқали стационар нуқтани топамиз
𝑓′(𝑥) = 2(1 +
𝑎
2
𝑏
2
)𝑥 + 2
𝑐𝑎
𝑏
2
+ 2
𝑎𝑦
0
𝑏
− 2𝑥
0
= 0
тенгламадан
𝑥 = −
2
𝑐𝑎
𝑏2
+2
𝑎𝑦0
𝑏
−2𝑥
0
2(1+
𝑎2
𝑏2
)
= −
𝑎𝑐+𝑎𝑦
0
𝑏−𝑥
0
𝑏
2
𝑎
2
+𝑏
2
стационар нуқтани топдик. Бу 
нуқтада функция қийматини хисоблаймиз
𝑓 (−
𝑎𝑐 + 𝑎𝑦
0
𝑏 − 𝑥
0
𝑏
2
𝑎
2
+𝑏
2
) =
(1 +
𝑎
2
𝑏
2
) (−
𝑎𝑐+𝑎𝑦
0
𝑏−𝑥
0
𝑏
2
𝑎
2
+𝑏
2
)
2
+ (2
𝑐𝑎
𝑏
2
+ 2
𝑎𝑦
0
𝑏
− 2𝑥
0
)
×
(−
𝑎𝑐+𝑎𝑦
0
𝑏−𝑥
0
𝑏
2
𝑎
2
+𝑏
2
) +
𝑥
2
0
+
𝑐
2
𝑏
2
+ 2
𝑐𝑦
0
𝑏
+ 𝑦
0
2
= 𝑥
2
0
+
𝑐
2
𝑏
2
+ 2
𝑐𝑦
0
𝑏
+ 𝑦
0
2
−

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
224 
−
(𝑎𝑐 + 𝑎𝑦
0
𝑏 − 𝑥
0
𝑏
2
)
2
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
=
1
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
(𝑥
0
2
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
) + 𝑦
0
2
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
) + 𝑐
2
(𝑎
2
+𝑏
2
) +
+2𝑐𝑦
0
𝑏(𝑎
2
+𝑏
2
) − ( 𝑎𝑐 + 𝑎𝑦
0
𝑏 − 𝑥
0
𝑏
2
)
2
) =
1
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
(𝑥
0
2
𝑏
2
𝑎
2
+ 𝑥
0
2
𝑏
4
+
+𝑦
0
2
𝑏
2
𝑎
2
+ 𝑦
0
2
𝑏
4
+ 𝑐
2
𝑎
2
+ 𝑐
2
𝑏
2
+ 2𝑐𝑦
0
𝑏𝑎
2
+ 2𝑐𝑦
0
𝑏
3
− 𝑐
2
𝑎
2
− 𝑦
0
2
𝑏
2
𝑎
2
− 𝑥
0
2
𝑏
4
−
−2𝑐𝑦
0
𝑏𝑎
2
+ 2𝑎𝑐𝑏
2
𝑥
0
+ 2𝑎𝑏
3
𝑥
0
𝑦
0
=
1
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
(𝑥
0
2
𝑏
2
𝑎
2
+ 𝑦
0
2
𝑏
4
+𝑐
2
𝑏
2
+
+2𝑐𝑦
0
𝑏
3
+ 2𝑎𝑐𝑏
2
𝑥
0
+ 2𝑎𝑏
3
𝑥
0
𝑦
0
) =
=
1
(𝑎
2
+𝑏
2
)
(𝑥
0
2
𝑎
2
+ 𝑦
0
2
𝑏
2
+𝑐
2
+ 2(𝑐𝑦
0
𝑏 + 𝑎𝑐𝑥
0
+ 𝑎𝑏𝑥
0
𝑦
0
)) =
=
1
(𝑎
2
+𝑏
2
)
(𝑥
0
𝑎 + 𝑦
0
𝑏 + 𝑐)
2
=
(𝑎𝑥
0
+ 𝑏𝑦
0
+ 𝑐)
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
Натижани илдиз белгиси остига жойласак,
|𝐴𝐵| = √𝑓 (−
𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑦
0
− 𝑥
0
𝑏
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
) = √
(𝑥
0
𝑎 + 𝑦
0
𝑏 + 𝑐)
2
(𝑎
2
+𝑏
2
)
=
|𝑎𝑥
0
+ 𝑏𝑦
0
+ 𝑐|
√(𝑎
2
+𝑏
2
)
ифода хосил бўлади. Бу ифода юқоридаги геометрик усулда келтирилган 
формула билан бир хилдир. Лекин вазиятга қараб баъзи хусусий холларда 
бошқача ёндашувни келтириш мумкин, масалан 
𝐴(𝑥
0
; 𝑦
0
)
нуқтадан 
у = 0
тўғри чизиққача масофа 
|𝑦
0
|
га, 
х = 0
тўғри чизиққача масофа эса 
|х
0
|
га тенг. 
Нуқтадан тўғри чизиққача масофа геометрик усулларда осон хал этилади, 
бироқ бу масалага оид ривожлантирувчи билимларни эгаллашда математик 
анализга оид усулни келтириш мақсадга мувофиқдир. Натижада талабага 
нуқтадан эгри чизиққача масофани ўрганиш масаласи қизиқ туюлади ва бу 
масала илмий мавзу сифатида берилиши мумкин бўлади.
Фойдаланилган адабиётлар рўйхати 
1. Р.Тургунбаев, Р.Кошназаров. Математик анализнинг баъзи элементар 
математика масалаларини ечишга татбиқи. ТДПУ 2008 й. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
225 
2. Н.Парпиева, Р.Кошназаров. Математика. Ўқув қўлланма. Т.2019й.
 
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОСТРАНСТВА 
( )
N X
 ПОЛНЫХ СЦЕПЛЕННЫХ СИСТЕМ 
 
Мадиримов М.М.(ТГПУ), Санакулов У.(студент 401 гр.), 
Рахматуллаев А. (ТИИИМСХ) 
 
Рассматриваются расположенности некоторых 

-компактных всюду 
плотных подмножеств пространства 
( )
N X
полных сцепленных систем 
определенных континиуме 
X
и некоторые геометрические свойства 
подпространств 
являющихся 
бесконечномерными 
многообразиями 
определенных в произвольном метризуемом континиуме 
X
. 
Сцепленная система 
℥
максимальнай (коротко, м.с.с), если 
℥
не является 
подсемейством другой сцепленной системы 
℥
’ [2]. 
Сцепленная система 

замкнутых подмножеств пространства Х 
называется максимальной, если она обладает следующим свойством:
“если замкнутое множество 
A
X

пересекается с каждым элементом из 

”, то 
A


. (*) [3].
Сцепленную систему 

замкнутых подмножеств Х назовем полной, если 
для всякого замкнутого множества 
F
X

верно условие: 
“любая окрестность OF множества 
F
содержит множество 
Ф


” влечет 
Ф


.(**)
Заметим, что для всякой сцепленной системы

существует наименьшая 
полная сцепленная система (коротко, псс) 
f

, содержащая

. Система 
f

, 
которую будем называть пополнением 

, может быть построена путем 
присоединения к 

всех замкнутых подмножеств 
F
X

, удовлетворяющих 
условию (**)[4]. Суперрасширением топологического пространства 
X

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
226 
называется множество 
(
)
X

состоящее из всех максимальных сцепленных 
систем замкнутых подмножеств пространства 
X
, а множество всех полных 
сцепленных систем (п.с.с) замкнутых подмножеств пространства Х
обозначается через 
N(X
). Заметим, что для множеств (пространств) 
(
)
Х

и 
( )
N X
имеет место: 
(
)
(
)
Х
N X


.
Напомним, что пространство Х называется 
k

- пространством, если Х 
является пределом возрастающего семейства компактов 
i
Х
т.е.
lim
i
Х
X


, где 
1
2
...
Х
Х


. Через 
R

обозначается вверх направленный (возрастающий) 
предел семейства 
n
R
, каждый элемент 
n
R
есть подмножества 
R

которое 
является счетным произведением R-действительных прямых. Таким образом 
определяется пространство 
Q

, где 
lim
n
Q
Q



, где 
Q
-гильбертов куб. т.е. 
1
[ 1,1] ,[ 1,1]
i
i
i
Q






отрезок в R. Очевидно, что пространства 
R

и 
Q

бесконечномерны.
Евклидово пространство 
n
R
естественно является подпространством 
счетного произведения 
R

. Тогда во множестве 
1
n
n
R


имеются две 
естественные топологии: топология предела вверх направленного семейства 
1
2
3
...
R
R
R



и топология индуцированная в произведения 
R

. Эти 
пространства соответственно обозначаются 
lim
n
R

и 
f
R

или 
R

и 

. 
Битопологическим пространством называется пара 
1
2
(
,
)
Х Х
состоящая из 
пространств определенных в множестве 
1
2
(
,
)
Х
Х
Х


или пространство 
1
2
( , ,
)
Х
Х
 

образованное двумя топологиями 
1
2
,
 
, где 
1
( , ),
1, 2[4]
i
i
X
X
i



. 
Паракомпактное топологическое пространство 
X
называется 
многообразием моделированным на пространство 
Y
или 
Y
- многообразием, 
если всякая точка пространства 
X
имеет окрестность гомеоморфную 
открытому подмножеству пространства Y. 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
227 
Битопологическое пространство 
(
, , )
M
M
m


называется 
(
, )
R


-
многообразием [1], если топология 
m
метризуема, 
m


и в каждой точке 
M
имеется 
m
-открытая окрестность и которое битопологически открыто 
вложено вложением 
: ( , , )
(
, )
h U
m
R




так чтобы, 
h
не только открыто 
вложено 
m
U
в 

и оно 
U

открыто вложено в 
R

[1]. 
Для всякой полной сцепленной системы 
(
)
N X


определим её носитель
как объединение минимальных по выключению элементов 

. Следовательно, 
для любого натурального числа n можно определить подпространство 
( )
n
N
X
пространства N(X), состоящее из всех п.с.с носитель которых состоит не 
более чем из n точек. т.е. 
( ) {
( ) :|
|
}
n
N
X
N X
supp
n


 

. Очевидно, что для 
любого метрического компакта Х имеем 
1
2
(
)
(
)
...
s
s
N X
N
X


. 
Для 
метризуемо 
континиума 
Х 
положим 
1
(
)
(
)
n
n
N
X
N
X




и 
( )
lim
( )
n
N
X
N
X



.
Для метризуемого континиума Х пространства 
(
)
Х

и 
( )
N X
гомеоморфны гильбертовому кубу Q. Из того что, эти пространства 
компактны и 
(
)
(
)
N X
X


вытекает, что 
(
) \ (
)
N X
X

является Q – 
многообразием. А подпространство 
( )
N
X


- компактно т.е. счетное 
обьединение компактных множеств. Через 

обозначается линейная оболочка 
стандартного кирпича 
'
Q
где 
1
'
[0, 2 ]
i
i
Q





в гильбертовом пространстве 
2
l
.
Получены следующие результаты: 
Теорема 1.
Битопологическое пространство 
(
( ),
( ))
N
X N
X


является 
(
, )
R


- многообразием (соответственно, 
(
, )
Q


-многообразием) тогда и 
только тогда, когда Х метризуемо и 
( )
N
X

является 
R

-многообразием 
(соответственно, 
Q

-многообразием). 
Теорема 2.
Битопологическое пространство 
(
( ),
( ))
N
X N
X


является 
(
, )
R


- многообразием (гомеоморфно 
(
, )
R


) тогда и только тогда, когда Х 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
228 
(связно) локально связно, конечномерно и локально компактное метризуемое 
пространство без изолированных точек. 
Теорема 3.
Для любого метрического 
k

-пространства Х пространство 
( )
N X
тоже 
k

пространство. 
Следствие
. Для каждого (связного) 
Q
-многообразия Х пара пространств 
(
( ),
( ))
N
X N
X


является 
(
, )
Q


-многообразием( гомеоморфно, 
(
, )
Q


).