Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги мирзо улуғбек номидаги ўзбекистон миллий университети математика факультети

1.2.2-$ ГЕОМЕТРИК АЛМАШТИРИШНИНГ ТАЪРИФИ
ВА АЛМАШТИРИШГА ДОИР МИСОЛЛАР
Маълум конун (ё коида) буйича берилган фигурадан янги фигура

хосил килишга берилган фигурани геометрик алмаштириш деб

айтилади.Масалан, саккиз йиллик мактабнинг геометрия курсида

курилган ук симметрияси ёки марказий симметрия — геометрик

алмаштиришнинг энг содда мисолларидандир. Геометрик

алмаштиришни яна куйидагича хам таърифлаш мумкин. Маълум
коида асосида
текисликнинг хар бир нуктасига шу текисликдаги аник ЛГ нукта мос
келтирилса, текисликдаги нукталарни алмаштириш йули аникланган

ёки кискача, алмаштириш берилган дейилади ва бу символи равишда

куйидагича курсатилади: Бундаги М' нукта нуктанинг образи (акси)
нукта эса М' нуктанинг преобрази (асли) дейилади. Бундаги /
символи
алмаштиришнинг нимадан иборатлигини курсатади. Текис F
фигуранинг
хар бир М. нуктасига мос М' образлар тупламидан иборат F' фигура F

фигуранинг образи дейилиб, F фигура эса F' фигуранинг прообрази

дейилади ва бу хам символик равишда куйидагича курсатилади: (Г)

нинг маъносини куйидагича баён килиш хам мумкин: харакатдаги

нукта F фигуранинг хамма нукталари вазиятини олиб утганда

алмаштиришбуйича га мос М' нукта хам уз уринларини узгартиб, F'

фигурани чизиб беради. М' нуктанинг вазияти нуктанинг вазиятига

боглик булгани учун нукта М' нуктанинг аргумента, М' нукта эса

нуктанинг функцияси дейилади. (Г) даги F ва F' фигураларнинг хар

бири биттагина нуктадан, айрим нукталар тупламидан, ихтиёрий

чизикдан ёки текисликнинг бирор булагидан, ёки текисликдан иборат

булиши мумкин.

Фигураларни алмаштириш аналитик усулда хам берилиши мумкин.

1-чизма

1-м и сол. 71-чизмадаги ОХ укда ётган нукталарни у = kx (k Ф 0)

тенглама ёрдамида координаталар бошидан утувчи тугри чизикдаги

нукталарга

алмаштириш мумкин. Бунинг учун ОХ укдаги М(х, 0) нуктага

координаталари х ва у = kx булган нуктани мос келтириш керак. Бу

урта мактаб курсидан маълум булган тугри пропорционаллик

графигини беради. М М ) = М'. (1) f (F) = F'. Агар нукта ОХ ук буйича

силжиса, унга мос М ' нуктаОА тугри чизик буйича харакатланади. 2-

м и с о л. Ихтиёрий АОВ уткир бурчакнинг бир томонидаги

нукталарни унинг иккинчи томонидаги нукталарга турлича

алмаштириш мумкин; булардан бири ОВ томон нукталарига шу

нукталарнинг ОА томонидаги ортогонал проекцияларини

мос келтиришдир (72-чизма). 3-мисол. 73-чизмадаги АОВ бурчакнинг

ОВ томонидаги М, N, . . . нукталарга ОА томондаги М', N', . . .

нукталарни шу бурчакнинг биссектрисасига утказилган

перпендикулярлар воситасида мос келтириш мумкин. Колган

мисолларимизда нуктага М' ни, N нуктага N' ни ва хоказо мос

келтирдик. ОВ нурдаги дар кандай нуктага шу алмаштиришга асосан

71-чизма. ОА нурдан унга мос булган нуктани топиш мумкин. Шунинг

учун куйидагиларни ёза оламиз: / (М) = М', /(А ) =

N', . . . 4-мисол. 74-чизмадаги у = х2 тенглама билан берилган

парабола

нукталарига унинг симметрия уки OY нинг нуктала-

72-чизма. 73-чизма

рини мос келтириш мумкин. Бунинг учун параболада ётган Ж ,

нуктанинг абсциссаси х булса, М' (0, х2) нуктани унга мос

келтирамиз. М' нукта Мх нуктанинг OY даги ортогонал проекцияси

деб дам караш мумкин.

Юкоридаги 1, 2 ва 3-мисолларнинг дар бирида образнинг (ОА тугри

чизикнинг) дар кандай М' нуктаси биттагина прообразга (М нуктага эга

булиб, 4-мисолдаги OY образнинг О дан бошка дар кандай М' нуктаси

иккита прообразга (М х ва М 2 нукталарга) эгадир. Агар айлана

нукталарига айлана диаметридаги ортогонал проекциялари мос

келтирилса, диаметрнинг учларидан бошка хар бир нуктас айланада

иккита прообразга эга булади. Агар дойра нукталарига доиранинг

бирор диаметридаги ортогонал проекциялари мос келтирилса

диаметрни енг учларидан бошка хар кандай нуктасининг

прообразлари шу нуктадан диаметрга перпендикуляр килиб

утказилган ватарнинг чексиз куп нукталаридан иборат булади.

Шундай килиб, геометрик

алмаштиришларда хар бир нуктанинг прообрази биттагина нуктадан,

иккига нуктадан ва чексиз куп нукталардан иборат булиши мумкин.