Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

26-mavzu. Turg‘unlikni ta’minlash va turg‘unlik zahirasini oshirish. Ildiz godografi bo’yicha parametrlarni tanlfsh va korrektlovchi qurilmalarni sintez qlish.

23.1. Илдизли годограф усули

23.2. Геометрик шаклларни чизувчи асбоблар

Илдизли годограф усули Эванс усули деб ҳам аталиб, тизимларининг коррекцияловчи қурилмаларини ҳисоблашда ҳамда ёпиқ автоматик ти-зимларини турғунлигини текширишда ва ўтиш жараёнини сифатини баҳолашда қўлланилади.

Илдизли годографлар деб, автоматик тизимларини комплекс текисликдаги илдизларини бирорта параметри 0 дан ∞ гача ўзгарганда, тавсифий тенгламалари илдизлари орқали ифодаланган траекторияга айтилади.

Бу графоаналитик усул тадқиқотчига намунали кўзга ташланиши имконияти юқорилиги билан фарқланади. У тизимларининг ўтиш функ-циялари қўллашга асосланган ва ёпиқ тизимларини илдиз текисликларида нулнинг аниқ жойлашганда, тавсифий тенгламаларини илдизларини жой-лашишини аниқлайди ва очиқ тизимларининг қандайдир параметрини турли қийматларда ўтиш жараёнларини қутбларини аниқлайди.

Очиқ ва ёпиқ тизимларининг узатиш функциялари ва тавсифий тенгламаларига қараб, кучланиш коэффициентини турли қийматларида уларнинг нул ва қутблари орасидаги ўзаро боғлиқликни тузиш мумкин. Очиқ АТБларни бир контурли тизим ҳолатида узатиш фуникцияси, типик бутинларни узатиш функцияларини кўпайтмалари билан аниқланади, шунинг учун у биринчи ва иккинчи даражали кўпайтувчиларидан ташкил топгал:

(6.23)

бу ерда - очиқ тизимнинг кучайтириш коэффициенти.

Бу ҳолда очиқ тизимларининг тавсифий тенгламалари қуйидаги кўринишга эга бўлади:

(6.24)

Биргина тескари боғланишда ва нисбатан берилган таъсирда ёпиқ тизимни узатиш функцияси,

(6.25)

Ёпиқ тизимнинг тавсифий тенгламаси, (6.25) га асосланиб, қуйидагича ёзилади.

(6.26)

(6.26) ва (6.27) лардан кўриниб турибдики, да ёпиқ
тизимларини тавсифий тенгламаларини илдизлари, очиқ тизимнинг тавси­фий тенгламалари А(Р)=0 илдизларига интилади, (яъни очиқ тизимнинг
узатиш функцияси қутбларига) (14).

Илдизлар траскторияси (илдизлар годографи) ни кўриш учун, (6.26) -(6.27) тенгламада кучайтириш коэффициенти K ўзгарганда ва қолган параметрлари ўзгармай қолганда, тавсифий тенгламани ҳар бир К ни қиймати учун (қуйидаги тенгламага асосланиб) илдизлар жойлашувини топиш керак,

(6.28)

Мусбат тескари боғланиш ҳолатида

(6.29)

К1(Р) комплекс ўзгарувчи Рни функцияси бўлгани учун (6,28) тенглама иккига бўлинади.

Модул учун

(6.30)
Аргумент учун

(6.31)

бу ерда i=0,1,2...

(6.28), (6.30), (6.31) тенгламалар ўхшашдир. Агар АТБ занжири Z_тб(p) кўринишдаги узатиш функциясига эга бўлган бўғин шаклида бе­рилган бўлса, у ҳолда АТБнинг чиқишида тизимни узиб қуйидагини ёзиш керак бўлади.



Илдизли годограф усулини қўллаб К • К_экв(р) узатиш функциясини

(6.33)

бу ерда N₁, N₂,... , N_m -умумий сони mта бўлган нуллар; Р₁, Р₂, ..., Р_n-умумий сони nта бўлган очиқ тизимнинг узатиш функцияларини қутблари; С-оператор Р бўлган ҳолда сурат ва махражда ҳамма коэффициентларни бирга айланганда юзага келадиган коэффициент; Частотали усулдан фарқли (р ) равишда бу ерда комплекс сон р илдизнинг комплекс текислигида турли қийматларига эга бўлиши мумкин.

Охирги формуланинг сурат ва махражидаги кўпайтмаларни илдиз-ларнинг комплекс текислигида вектор кўринишида ифодалайдиган бўлсак, унда р нуқта ёпиқ тизимнинг тавсифий тенгламасининг илдизи бўлиб саналиши мумкин бўлган ҳол учун (6.32) ва (6.33) дан келиб чиққан ҳолда, қуйидагини ёзишимиз мумкин:

; (6.34)

(6.35)

(6.32) ва (6.33) дан кўриниб турибдики, К•К_экв(р) векторнинг модули К_с ни суратни l­ векторлар модулига кўпайтириш, (6.33) нинг махражини эса l_ii векторлар модули кўпайтмасига бўлиш билан аниқланади.

Бу ифодадан илдизли годографининг ҳар қандай нуқтаси учун ку-чайтиршп коэффициенти топилади

(6.36)

Геометрик шаклларни чизувчи асбоблар: чизғич ва танспортирдан фойдаланиб, (6.35) тенгламани қаноатлантирувчи нуқтани комплекс те-кисликдан топиш мумкин. Шундай қилиб, К нинг қийматлари 0 дан чексизгача ўзгарган ҳолда ҳам (6.35) тенгламанинг бўлиши мумкин бўлган барча илдизларини топиш мумкин. К нинг катталиги годограф нуқталари учун (6.36) дан аниқланади.

Тавсифий тенгламанинг ҳақиқий коэффициентлари учун комп­лекс илдизларнинг биттасигагина нуқталарни аниқлаб қуриш кифоя. Иккинчи-сига туташган комплекс илдиз учун эса симметриклик шартидан келиб чиққан ҳолда қурса бўлади. Комплекс илдизларнинг илдизли годографи симметрик шохчалардан иборат бўлиб, стрелкалар эса К нинг қийматлари 0 дан чексизгача ўсиб боришини кўрсатади.

Илдизли годографнинг жойлашиши ва шакли автоматик бошқариш тизимсининг параметрлари ва тузилишига боғлиқ. Чунки улар асосида очиқ тизимнинг АТБ чиқишига нисбатан узатиш функцияси аниқланади.

Шундай қилиб, илдизли годограф усули бўйича турғунлик мезонини қуйидагича шарҳлаш мумкин: агар илдизли годографнинг қандайдир шохчаларининг бир жуфти К_кр қийматда мавҳум ўқни кесиб ўтса, ва К бўлганда унинг ярим текисликдаги чексизлик томонга интилса, К<Ккр да тизим турғун бўлади; К=К_кр бўлса тизим турғунлик чегарасида, К>K_кp да эса нотурғун бўлади.

6.4. расмда узатиш функцияси

(6.37)

кўринишда, мисол тариқасида берилган автоматик бошқариш тизимси учун илдизли годографнинг кўриниши берилган. Расмдан кўриниб турибдики, годограф шохчалари қалин қора чизиқларда берилган. К=0 нуқтада очиқ ва ёпиқ тизимларининг қутблари мос келади. К нинг қийматлари ортиб бориши билан Р₁ қутб N₁ нулга интилади, Р₄ қутб эса манфий ишорали ҳақиқий ўқ бўйлаб чексизликка интилади. Р₂ ва р_з қутблар ҳакиқий ўк бўйлаб бир-бирларига интилади-лар, бир-бири билан туташгач, комплекс туташган илдизларга айланадилар. Масалан, К=8,5 бўлганда ва шохчалар симметрик бўлганда чексизликка интилади ( ). Годографнинг тармоқланган шохчалари бўлиб р_з ва Р₂ қутблардан ҳақиқий ўққа нисбатан юқорига ва пастга томон йўналган шохчалар саналади. Бу Р₂ ва р_з қутбларнинг тарқалган шохчалари мавжҳум ўқни К_кр =253 да кесиб ўтадилар.

Илдизли годографларни осонроқ усулда қуриш учун, одатда, исбот талаб қилмайдиган қуйидаги хусусиятлардан фойдаланилади:

1. Илдизли годографдаги шохчалар сони автоматик бошқариш ти-зимсининг тенгламасини даражасига тенг.

2. Илдизли годографнинг шохчалари мавҳум ўқда кесишадиган нуқталар кучайтириш коэффициентининг критик қийматига мос келади ва уни (6.36) формула ёрдамида ёки Гурвиц мезони орқали аниқлаш мумкин.

3. Илдизли годографнинг шохчалари К=0 даги очиқ тизимнинг узатиш функцияси қутбларидан бошланади.

4. Илдизли годографнинг шохчаларида чексиздаги очиқ автоматик бошқариш тизимсининг нулида тугайди.

5. Илдизли годографлар К ни 0 дан чексизгача ўзгарган қийматларга мос келувчи узлуксиз эгри чизиқлар ёки тўғри чизиқ булакларидан иборатдир.

6. Ҳақиқий ўқда ётмаган илдизли годографлар шу ўққа нисбатан симметрикдир.

7. Ҳақиқий ўқда ётган илдизли годографлар унинг шундай қисмларига жойлашганки, улардан ўнг томонда ҳақиқий нулларнинг умумий тоқ сонлари ва очиқ тизимнинг қутблари ётади.

8 . да чексизликка интилаётган илдизли годографнинг шохчалари сойи очиқ тизим узатиш функциясининг махражнинг олий поғонаси n ва суратнинг олий поғонаси т ларнинг айирмасига тенг бўлган асимптоталарга эгадир. Асимптоталар (n-m) кўринишидага нур шаклида абцисса ўқига нисбатан _а бурчак остида жойлашган ҳақиқий ўқдаги

нуқтадан ўтади. Асимптоталар эса умумий

(6.38)

нуқтада кесишишади.

9. Ҳақиқий ўқни кесиб ўтувчи годографлар ўнга томон тўғри бурчак остида йўналгандир.

Автоматик тизимлар кўпконтурли бўлган ҳолларда илдизли годог-рафларни қуриш қўшимча ўзгартиришлар ва ҳисоблашларни талаб қилади.