Zbekiston respublikasi axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot

---

 

 

 

O

‘

ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI  VA 

KOMMUNIKATSIYALARINI  RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI 

MUHAMMAD AL-XORAZMIY  NOMIDAGI  TOSHKENT AXBOROT 

TEXNOLOGIYALARI  UNIVERSITETI  

 

 

                       

KAFEDRA:   Sun’iy intellekt  

FAN:  Tizimlar va signallarni qayta ishlash 

 

 

 

Mustaqil ish 

              Mavzu: 

Bazislarda spektral analiz algoritmlari 

 

 

 

 

                                                                            

 

                                                                                 

Bajardi:   

Abduraximov Fazliddin 

                                              

Tekshirdi:

   Azimov Bunyod                 

 

 

 

 

 

                                                Toshkent - 2021 

---

 

 

   

 

Reja: 

Kirish 

I. Xaara bazislarida  spektral analiz asoslari 

II. Arrasimon  o'zgartirish algoritmi va matrisasi 

III. Lokal spektral  o'zgartirishlarning  algoritmlari 

Xulosa 

Foydalanilgan  adabiyotlar  va saytlar 

 

А

xborot-

kommunikatsiyalarini  jadal surʼatlar bilan rivojlanishi  signal va tasvirlarga 

raqamli ishlov  berishning, ularning matematik  va dasturiy taʼminotini  yaratish boʼyicha 

bir qator ilmiy tadqiqot ishlari olib borish zaruriyligi  zamon talabi boʼlib qoldi.

 Bu 

ishlarda signallar va tasvirlarni  filtrlash, interpolyatsiyalash  va detsimatsiyalash  hamda 

ularni tarmoq orqali uzatishda vaqtdan yutish, xotirada saqlaganda kam joy egallashi 

kabi masalalar uchun unumli  matematik  metod va algoritmlar yaratish sohasi muhim 

rol tutmoqda.Bunday  masalalarni  yechishda  bir qator olimlar ilmiy  izlanishlar  olib 

borgan, jumladan, xorijda J.Walsh, W.Prett, Dr. Pawel, Dobeshi, Oʼzbekistonda 

M.Musaev, X.Zayniddinov,  R.

А

loev,  M.

А

ripov, 

А

.Qobulovlar

Yuqoridagi  masalalarni 

yechishda odatda bazaviy almashtirishlarning  eng samarali tanlab olinadi. Signallarni 

qayta ishlashda Furye almashtirishlari  muhim  boʼlsada, ularni raqamli koʼrinishga 

oʼtkazishda Uolsh-Аdamar  almashtirishlari  samaraliroqdir.  Bundan tashqari, Uolsh-

Аdamar almashtirishining  bazis funktsiyalari  matritsalari  -1 va 1 sonlaridan iboratligi 

hisoblash vositalarining  tezligi, aniqliligi  va soddaliligini  taʼminlaydi. Shuningdek, 

matritsalarning  oʼlchovlari 2 ning darajalarida ifodalanishi  ham hisoblashning 

soddalashtiradi.  Xaara almashtirishida  bazis funktsiyalari  matritsalari 2, -1, 1, 2 

sonlaridan  iborat . Bular  ham  o`z navbatida  2 ning darajalariga  mos  keladi.

 

 

 

 

 

 

 

    Bazislarda spektral analiz algoritmlar. 

---

 

 

 

FURYE  (Fourier) Jan Batist  Jozef — fransuz matematigi,  Parij FA aʼzosi 

(1817).  Oserdagi harbiy maktabni tugatgan,  oʻsha maktabda, keyin Politexnika 

maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98).  Dastlabki ilmiy  ishlari algebraga 

doir. Asosiy  ilmiy  ishlari matematik  fizikaga  oid. 

Furye o’zgartirish  (f) – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini,  boshqa 

funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga  solishtirish, bu yangi funksiya reja 

tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini 

har-xil chastotasi  bilan amplituda kaefsentini  tavsiflaydi. 

X[n] 

diskret signali  N ta nuqtali davrga ega  bo‘lsin. Bu holda uni diskret 

sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli  kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish 

mumkin: 

 

O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz,  lekin endi 

– fazalarsiz) 

Bazisli  sinusoidlar karrali chastotalarga  ega. Qatorning birinchi a’zosi 

(k = 0) 

– signalning  doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi 

sinusoidlar 

(k = 1) 

shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi 

bilan mos. Eng yuqori chastotali  tashkil etuvchi 

(k = N/2) 

shunday chastotaga 

egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. A

k 

va B

k 

koeffitsienlari  signal spektri deb 

ataladi. 

Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun A

k 

va B

k 

koeffitsientlarini 

aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni  bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining 

summasini hisoblagan holda dastlabki signalni  tiklash mumkin. Signalni 

sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri 

o‘zgartirishi  deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi 

– Furyening teskari o‘zgartirishi  deb ataladi. 

Furye teskari o‘zgartirish  algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida 

mavjud; sintezni  olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish 

kerak). Furye to‘g’ri  o‘zgartirishining  algoritmini  ko‘rib chiqamiz,  ya’ni A

k 

va B

k 

koeffitsientlarning  topilishi. 

---

 

 

 

n argumentdan funksiya tizimi  N davrli davrli diskret signallari  fazosida 

orthogonal bazis  hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini  taqsimlash 

uchun tizimning  barcha funksiyalari bilan elementning  skalyar ko‘paytmalarini 

hisoblab, va olingan koeffitsientlarni  normallashtirish  degani. Shunda dastlabki 

signal  uchun A

k 

va B

k 

koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi 

haqiqiy bo‘ladi. 

Shunday qilib, A

k 

va B

k 

koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida 

hisoblanadi (uzluksiz  holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan  integrallar,  diskret 

holatda – diskret signallar  ko‘paytmasi  summalari): 

 

          

 𝐴

𝑘

=

𝑁

2

∑

𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑘𝑖

𝑁

𝑁−1

𝑖=0

 ,  

bunda  k=1,……,

 

𝑁

2

− 1

 

           

 𝐴

𝑘

=

𝑁

2

∑

𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠

2𝜋𝑘𝑖

𝑁

𝑁−1

𝑖=0

 ,  bunda  k=0 ,

 

𝑁

2

                               

                  (2.4)

 

           

 𝐵

𝑘

=

𝑁

2

∑

𝑥[𝑖]𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑘𝑖

𝑁

𝑁−1

𝑖=0

 ,  bunda  k=0

,……,

 

𝑁

2

 

Savol paydo bo‘ladi: nima uchun dastlabki signalda N sonlar, N+2 

koeffitsientlar yordamida yoziladi?  Savolga javob quyidagicha bo‘ladi: B

0 

va B

N/2 

koeffitsientlari har doim nolga teng (chunki ularga mos keluvchi “bazisli”  signallar 

diskret nuqtalarda ayniy ravishda nolga teng), va ularni Furyening to‘g’ri  va teskari 

o‘zgartirishini  hisoblashda tashlab yuborish mumkin. 

Hozirgacha  biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ 

ni kompleksli signallar  holati bilan birlashtiramiz.  x[n], n=0,…,N-1– N kompleks 

sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal  bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1 

belgilaymiz  – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil 

topgan. Shunda Furye to‘g’ri  va teskari o‘zgartirishining  quyidagi formulalari 

haqiqiy. 

 

                   

𝑋[𝑘] = ∑

𝑥[𝑛]𝑒

−𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)

𝑁−1

𝑛=0

                                       (2.5) 

                   

𝑋[𝑛] =

1

𝑁

∑

𝑋[𝑘]𝑒

𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)

𝑁−1

𝑘=0

                         

Agar bu formulalar bilan spektrga haqiqiy signal  taqsimlansa, unda birinchi 

N/2+1  spektrning kompleksli koeffitsientlari  “kompleksli”  ko‘rinishda keltirilgan 

“oddiy” haqiqiy DPF spektr bilan mos tushadi, qolgan koeffitsientlar esa 

diskretizatsiya  chastotasining yarmiga nisbatan ularning simmetrik aksi bo‘ladi. 

kosinusli koeffitsientlar  aksi juft, sinuslar uchun esa – toq. 

---

 

 

Xaara funksiyasi tizimlari  teoretik va amaliy  masalalarni  katta sinfini 

yechishda texnika va fanning turli sohalarida keng qo‘llanilishga  ega. Bu bu bazis 

funksiyalarning qator ajoyib xususiyatlari  va ular uchun spektral analizning 

videoeffektli hisoblash algoritmlari  mavjudligi bilan bog’liq. Ixtiyoriy  asosli 

hisoblash tizimida  sonlarni ko‘rsatish holatidagi funksiya ma’lumotlarini 

umumlashtirish imkoniyati  ham muhim ahamiyatga  ega. 

Xaaraning  normallashgan funksiyalari ko‘p ma’noli funksiya hisoblanadi. 

Shuning uchun spektral qayta ishlash amaliyoti  uchun atiga  uch oddiy qiymatlarni 

(0, +1 va -1) qo‘llaydigan  Xaaraning  normallashgan funksiyalari  ancha qulay 

hisoblanadi. Bunday  funksiyalar analitik  tarzda  quyidagi ifoda bilan beriladi va 

belgio‘zgaruvchanlik  xarakteriga  ega, bunda birinchi turning uzilishning  ichki 

nuqtalarida o‘ng tomonda uzluksiz qabul qilinadi. 

Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki, har bir guruh chegarasida bir xil quvvatga ega 

Xaara funksiyalari  yig’ilgan.Xaara  funksiyalarini  Uolsh funksiyasidan yana quyidagi 

tarzda  olish mumkin.Uolshning  birinchi funksiyasini [0,1) intervalda tanlaymiz  va uni 

intervaldan tashqarida nolga teng deb olamiz(2.1-rasm). 

 

                                      

                                2.1 

–

 rasm. N=8 uchun Xaara  funksiyalari   tizimi 

---

 

 

Endi bu funksiyani yarim intervalda z o‘qi bo‘yicha ikkiga qirqamiz. Bunda 

Xaara funksiyasi hosil bo‘ladi. siqilgan Uolsh funksiyasini z o‘qi bo‘yicha 

aniqlanish intervalining  yarimiga  o‘nga siljitamiz,  unda Xaaraning  ikkinchi guruhi 

barcha funksiyalari hosil qilinadi. Siqilgan  funksyalarni siqish va siljitish  jarayonini 

berilgan N qiymati uchun Xaara funksiyasining to‘liq tizimi  qurilishigacha davom 

ettirish  mumkin[14]. Qiziq, yoritilgan.Xaaraning  siqish va siljitish  jarayonlarini  Uolsh 

va Xaara tizimlari  orasida o‘rta o‘rinlarni egalaydigan  tizimlarini  hosil qilgan holda 

Uolshning  boshqa funksiyalariga  ham qo‘llash mumkin. Bundan tashqari, bunday 

jarayonni boshqa bazis  funksiyalarga qo‘llash mumkin, masalan: trigonometriyaga. 

Aynan shunday yondashuv veyvletlar  qurilishida ishlatiladi(2.2-rasm). 

                       2.2-rasm. N=16  uchun Xaara  funksiyalari tizimi. 

Xaara funksiyalari  multiplikativ  hisoblanmaydi, chunki bunday 

funksiyalarning ikkitasining ko‘paytmasi Xaara tizimiga  tegishli  bo‘lmagan 

natijalovchi  funksiyani beradi. Shu sababdan Xaara spektrlari multiplikativ  bazislar 

spektri hususiyatiga  ega emas. Shunga qaramay alohida signallarning  Xaara 

spektrlari bir qator foydali xususiyatlarga  ega. Masalan,  doimiylik qismlarining 

ikkilik-ratsional  soniga ega bo‘lak-doimiy signalning  Xaara  spektri yakuniy va 

k N 

≥

 

raqamli tashkil etuvchilarga ega emas. Bu shu bilan bog’liqki, 

k N 

≥ 

raqamiga ega 

barcha Xaara funksiyalari  doimiylik qismida +1 va -1 qiymatlarining  teng soniga 

ega bo‘ladi. 

Xaaraning  diskret funksiyalarini  analitik tarzda  quyidagi  munosabatlar 

yordamida yozish mumkin: N=8  uchun Xaaraning  diskret tizimini  olish. 

Bu tizimni  Xaara diskretizatsiya  yo‘li bilan olish mumkin. Ikkala holatda ham 

quyidagi matritsa ko‘rinishida keltirish mumkin bo‘lgan bir xil natija bo‘ladi: 

 

 

 

 

 

---

 

 

 

 

 

                                                                                                                 (2.8) 

 

 

 

Ma’lum  analitik yoritilgan Xaara diskret signallar spektri umumiy holatda 

Xaaraning uzluksiz  signallar spektridan ko‘ra murakkabroq hisoblanadi, va qoidaga 

ko‘ra, tugatilgan  oddiy ifodaga ega emas. Bu diskret variantida signal integrali 

o‘riniga ularning, odatda matematik hisoblanadigan va integrallardan  ancha 

murakkab yoziladigan  yig’indisini  aniqlanishiga to‘gri kelishi bilan bog’liq. Aytib 

o‘tilganlar  to‘liq ravishda darajali signallarga  ham tegishli. Biroq, ular uchun kichik 

darajalar holatida va misollarida uzluksiz  signallar uchun topilganlarga o‘xshash 

ifoda hosil qilishga  erishiladi. 

 

 

 

         (2.9) 

 

 

 

 

Diskret darajali  signallar  Xaara  spektrining o‘zgarish  xarakteri  xuddi uzluksiz 

darajali signallar Xaara spektrida bo‘lganidek saqlanadi. 

Xaara funksiyasi nol qiymatlariga  ega bo‘larkan, demak Xaara spektrining 

faqat birinchi ikkita koeffitsintigina  uni aniqlanishining butun intervalida  signal 

holatini hisobga oladi. Qolgan barcha koeffitsientlar  signalning  lokal holatini 

hisobga oladi va qancha kichik intervalda bo‘lsa, shuncha Xaara funksiyasi guruhi 

raqami shuncha katta. So‘ngi guruhning koeffitsentlari umuman faqatgina  ikki 

qo‘shni signal qiyatlari  bilan aniqlanadi. Asosan shu bilan Xaara spektri Uolsh

 

spektridan farq qiladi, chunki Uolsh  bazisi  uchun har bir spektral koeffitsent signal 

holatini butun aniqlanish intervalida hisobga oladi. Xaara  spektrining tanlash 

xarakteri  signalning  lokal xususiyatlarini  o‘rganishda foydali bo‘lib chiqishi 

mumkin. 

---

 

 

Arrasimon o‘zgartirish  quyidagi jihatlar bilan boshqa o‘zgartirishlardan  farq 

qiladi.Bu qismda ortogonal o’zgartirishlar  keltirilgan.Bu  o’zgartirishlar  quyidagi 

jihatlar  bilan boshqa o’zgartirishlardan  farq qiladi. 

1) O’zining  vektorlari orasida vektor komponentlar bilan bir xil 

2) Qisman monotonning vektor uzunligining  sakrashini maksimal  miqdordan 

minimal  miqdorgacha tushiradi. 

3) Matritsa  o’zgarishlarining  o’zining  asosiy xususiyatlariga  ega. 

4) Tez algoritmli  o’zgartirish  imkoniyati mavjud. 

5) Yuqori darajadagi konsentratsiya ta’minlanadi energiya  ko’rinshida. 

Vektorning uzunligi bo’yicha N=2 qisman o’zgartirish  mos keladi. Arrasimon 

o’zgartirishning  2-tartibi shunday: 

 

                                              

𝑆

2

=

1

√2

(

1

1

1

−1

)

                                                  (2.10) 

Arrasimon o’zgartirishli  matritsa 4-tartibi quyidagi ko’rinishdagi formula 

orqali yoziladi: 

 

 

 

                                        (2.11) 

 

Yoki, 

 

 

 

                (2.12) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

 

Signallarni  rakamli ishlov bеrishda spеktrial usullar yordamida qayta ishlash 

bir qancha qulayliklarni  yaratadi. Spеktral usullar signalning  xossalari  va 

xususiyatlarini  spеktrlarda shakllantirish, 

Diskret kosinus o'zgartirish 

Uolsha o’zgartirish 

Bеyvlеt  o’zgartirish 

Barcha ortogonal o’zgartirishlar  signallar va tasvirlarni filtrlashda, siqishda 

foydalaniladi.